第一部分 专题二 三角函数解三角形平面向量.docx
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第一部分专题二三角函数解三角形平面向量
专题二 三角函数、解三角形、平面向量
第一讲
三角函数的图象与性质
一、基础知识要记牢
(1)三角函数的定义:
若角α的终边与单位圆相交于点P(x,y),则sinα=y,cosα=x,tanα=.
(2)诱导公式:
注意“奇变偶不变,符号看象限”.
(3)基本关系:
平方关系:
sin2x+cos2x=1,商数关系:
tanx=.
(4)单位圆、三角函数线是根本,抓纲务本,就能驾简驭繁.
二、经典例题领悟好
[例1]
(1)(2017·绍兴模拟)已知点P落在角θ的终边上,且θ∈[0,2π),则θ的值为( )
A. B. C. D.
(2)如图,以Ox为始边作角α(0<α<π),终边与单位圆相交于点P,已知点P的坐标为,则=________.
[解析]
(1)tanθ===-1,
又sin>0,cos<0,
所以θ为第四象限角且θ∈[0,2π),
所以θ=.
(2)由三角函数定义,得cosα=-,
∴原式=
=
=2cos2α=2×2
=.
[答案]
(1)D
(2)
(1)涉及与圆及角有关的函数建模问题如钟表、摩天轮、水车等,常常借助三角函数的定义求解.应用定义时,注意三角函数值仅与终边位置有关,与终边上点的位置无关.
(2)应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号;利用同角三角函数关系化简的过程要遵循一定的原则,如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等.
三、预测押题不能少
1.
(1)已知α为锐角,且2tan(π-α)-3cos+5=0,tan(π+α)+6sin(π+β)=1,则sinα的值是( )
A.B.
C.D.
解析:
选C 由已知可得-2tanα+3sinβ+5=0,tanα-6sinβ=1,解得tanα=3,又α为锐角,故sinα=.
(2)已知A是单位圆上的点,且点A在第二象限,点B是此圆与x轴正半轴的交点,记∠AOB=α.若点A的纵坐标为,则sinα=________,tan2α=________.
解析:
由点A的纵坐标为及点A在第二象限,得点A的横坐标为-,所以sinα=,cosα=-,tanα=-.故tan2α==-.
答案:
-
一、基础知识要记牢
函数y=Asin(ωx+φ)的图象
(1)“五点法”作图:
设z=ωx+φ,令z=0,,π,,2π,求出x的值与相应的y的值,描点、连线可得.
(2)图象变换:
y=sinxy=sin(x+φ)
y=Asin(ωx+φ).
二、经典例题领悟好
[例2]
(1)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示,且f(α)=1,α∈,则cos=( )
A.- B.
C.±D.
(2)(2017·全国卷Ⅰ)已知曲线C1:
y=cosx,C2:
y=sin,则下面结论正确的是( )
A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2
B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2
C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2
D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2
[解析]
(1)由三角函数的图象可得A=3,=-=,所以T=π=,所以ω=2,又f=3sin=-3,0<φ<π,则φ=,所以f(x)=3sin.因为f(α)=3sin=1,所以sin=.又α∈,所以∈,则cos=-,故选A.
(2)易知C1:
y=cosx=sin,把曲线C1上的各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,得到函数y=sin的图象,再把所得函数的图象向左平移个单位长度,可得函数y=sin=sin的图象,即曲线C2.
[答案]
(1)A
(2)D
(1)在利用图象求三角函数y=Asin(ωx+φ)的有关参数时,注意直接从图中观察振幅、周期,即可求出A,ω,然后根据图象过某一特殊点来求φ,若是利用零点值来求,则要注意是ωx+φ=kπ(k∈Z),根据点在单调区间上的关系来确定一个k的值,此时要利用数形结合,否则就易步入命题人所设置的陷阱.
(2)作三角函数图象左右平移变换时,平移的单位数是指单个变量x的变化量,因此由y=sinωx(ω>0)的图象得到y=sin(ωx+φ)的图象时,应将图象上所有点向左(φ>0)或向右(φ<0)平移
个单位,而非|φ|个单位.
三、预测押题不能少
2.
(1)已知函数f(x)=2sin(π+x)sin的图象关于原点对称,其中φ∈(0,π),则函数g(x)=cos(2x-φ)的图象( )
A.关于点对称
B.可由函数f(x)的图象向右平移个单位得到
C.可由函数f(x)的图象向左平移个单位得到
D.可由函数f(-x)的图象向右平移个单位得到
解析:
选B 由已知得函数f(x)为奇函数,令f(x)=2h(x)·k(x),∵h(x)=sin(π+x)为奇函数,∴k(x)=sin为偶函数,∴+φ=+kπ(k∈Z),φ=+kπ(k∈Z),则由φ∈(0,π)得φ=,∴f(x)=-sin2x,g(x)=cos=-sin=-sin2,则将函数f(x)的图象向右平移个单位可得函数g(x)的图象,故选B.
(2)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示,则将y=f(x)的图象向右平移个单位后,得到的函数图象的解析式为( )
A.y=sin2xB.y=sin
C.y=sinD.y=cos2x
解析:
选C 由图易得A=1,T=×=-,
解得ω=2,又因为点在函数图象上,即f=sin=1,则2×+φ=+2kπ,k∈Z,解得φ=+2kπ,k∈Z,又因为|φ|<,所以φ=,f(x)=sin,则其图象向右平移个单位后得到函数y=sin=sin的图象,故选C.
一、基础知识要记牢
(1)三角函数的单调区间:
y=sinx的单调递增区间是(k∈Z),单调递减区间是2kπ+,2kπ+(k∈Z);
y=cosx的单调递增区间是[2kπ-π,2kπ](k∈Z),单调递减区间是[2kπ,2kπ+π](k∈Z);
y=tanx的递增区间是(k∈Z).
(2)y=Asin(ωx+φ),当φ=kπ(k∈Z)时为奇函数;当y=kπ+(k∈Z)时为偶函数;对称轴方程可由ωx+φ=kπ+(k∈Z)求得.
二、经典例题领悟好
[例3] (2017·浙江高考)已知函数f(x)=sin2x-cos2x-2sinxcosx(x∈R).
(1)求f的值;
(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间.
[解]
(1)由题意,f(x)=-cos2x-sin2x
=-2=-2sin,
故f=-2sin=-2sin=2.
(2)由
(1)知f(x)=-2sin.
则f(x)的最小正周期是π.
由正弦函数的性质
令+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,
解得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
所以f(x)的单调递增区间是(k∈Z).
求解三角函数的奇偶性、对称性、周期、最值和单调区间等问题时,通常要运用各种三角函数公式,通过恒等变换(降幂、辅助角公式应用)将其解析式化为y=Asin(ωx+φ),y=Acos(ωx+φ)(A,ω,φ是常数,且A>0,ω≠0)的形式,再研究其各种性质.
有关常用结论与技巧:
(1)我们往往运用整体换元法来求解单调性与对称性,求y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(A,ω,φ是常数,且A>0,ω≠0)的单调区间时一定要注意ω的取值情况,若ω<0,则最好用诱导公式将其转化为-ω>0后再去求解,否则极易出错.
(2)对y=Asin(ωx+φ),y=Acos(ωx+φ)(A,ω,φ是常数,且A>0,ω≠0)结合函数图象可观察出如下几点:
①函数图象的对称轴都经过函数的最值点,对称中心的横坐标都是函数的零点;
②相邻两对称轴(对称中心)间的距离都是半个周期;
③图象上相邻两个最大(小)值点之间的距离恰好等于一个周期.
三、预测押题不能少
3.已知函数f(x)=sinxcosx+cos2x+a.
(1)求f(x)的最小正周期及单调递减区间;
(2)若f(x)在区间上的最大值与最小值的和为,求a的值.
解:
(1)因为f(x)=sin2x++a=sin+a+,所以T=π.由+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.故函数f(x)的单调递减区间是(k∈Z).
(2)因为-≤x≤,所以-≤2x+≤,-≤sin≤1.因为函数f(x)在上的最大值与最小值的和为+=,所以a=0.
[知能专练(六)]
一、选择题
1.(2017·山东高考)函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为( )
A.B.
C.πD.2π
解析:
选C ∵y=sin2x+cos2x=2sin,
∴最小正周期T==π.
2.(2017·全国卷Ⅲ)设函数f(x)=cos,则下列结论错误的是( )
A.f(x)的一个周期为-2π
B.y=f(x)的图象关于直线x=对称
C.f(x+π)的一个零点为x=
D.f(x)在单调递减
解析:
选D 根据函数解析式可知函数f(x)的最小正周期为2π,所以函数的一个周期为-2π,A正确;当x=时,x+=3π,所以cos=-1,所以B正确;f(x+π)=cos=cos,当x=时,x+=,所以f(x+π)=0,所以C正确;函数f(x)=cos在上单调递减,在上单调递增,故D错误.
3.(2017·全国卷Ⅰ)函数y=的部分图象大致为( )
解析:
选C 令函数f(x)=,其定义域为{x|x≠2kπ,k∈Z},又f(-x)===-f(x),所以f(x)=为奇函数,其图象关于原点对称,故排除B;因为f
(1)=>0,f(π)==0,故排除A、D,选C.
4.三角形ABC是锐角三角形,若角θ终边上一点P的坐标为(sinA-cosB,cosA-sinC),则++的值是( )
A.1B.-1
C.3D.4
解析:
选B 因为三角形ABC是锐角三角形,所以A+B>90°,即A>90°-B,则sinA>sin(90°-B)=cosB,sinA-cosB>0,同理cosA-sinC<0,所以点P在第四象限,++=-1+1-1=-1.
5.(2017·嘉兴模拟)如图是函数y=Asin(ωx+φ)x∈R,A>0,ω>0,0<φ<在区间上的图象.为了得到这个函数的图象,只需将y=sinx(x∈R)的图象上所有的点( )
A.向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变
B.向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变
C.向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变
D.向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变
解析:
选A 由题意知,A=1;由=+,得ω=2;由2×+φ=+2kπ(k∈Z),0<φ<,得φ=,故y=sin.只要把函数y=sinx的图象向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,即可得y=sin的图象.
6.(2017·天津高考)设函数f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R,其中ω>0,|φ|<π.若f=2,f=0,且f(x)的最小正周期大于2π,则( )
A.ω=,φ=B.ω=,φ=-
C.ω=,φ=-D.ω=,φ=
解析:
选A 法一:
由f=2,得ω+φ=+2kπ(k∈Z),①
由f=0,得ω+φ=k′π(k′∈Z),②
由①②得ω=-+(k′-2k).
又最小正周期T=>2π,所以0<ω<1,ω=.
又|φ|<π,将ω=代入①得φ=.选项A符合.
法二:
∵f=2,f=0,且f(x)的最小正周期大于2π,
∴f(x)的最小正周期为4=3π,
∴ω==,∴f(x)=2sin.
由2sin=2,得φ=2kπ+,k∈Z.
又|φ|<π,∴取k=0,得φ=.故选A.
二、填空题
7.(2017·金华一中模拟)函数f(x)=2cosx+-1的对称轴为________,最小值为________.
解析:
由x+=kπ(k∈Z),得x=kπ-(k∈Z),即函数f(x)的对称轴为x=kπ-(k∈Z);因为2cosx+∈[-2,2],所以2cos-1∈[-3,1],所以函数f(x)的最小值为-3.
答案:
x=kπ-(k∈Z) -3
8.(2017·荆州质检)函数y=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为π,且函数图象关于点对称,则函数的解析式为________________.
解析:
由题意知最小正周期T=π=,∴ω=2,2×+φ=kπ(k∈Z),∴φ=kπ+(k∈Z).
又0<φ<π,∴φ=,∴y=sin.
答案:
y=sin
9.已知函数f(x)=Atan(ωx+φ),y=f(x)的部分图象如图,则f=________.
解析:
由图象可知,此正切函数的半周期等于-==,即周期为,所以ω=2.由题意可知,图象过定点,所以0=Atan2×+φ,即+φ=kπ(k∈Z),所以φ=kπ-(k∈Z),又|φ|<,所以φ=.再由图象过定点(0,1),可得A=1.综上可知,f(x)=tan.故有f=tan=tan=.
答案:
三、解答题
10.(2017·北京高考)已知函数f(x)=cos-2sinxcosx.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求证:
当x∈时,f(x)≥-.
解:
(1)f(x)=cos2x+sin2x-sin2x
=sin2x+cos2x
=sin.
所以f(x)的最小正周期T==π.
(2)证明:
因为-≤x≤,
所以-≤2x+≤.
所以sin≥sin=-.
所以当x∈时,f(x)≥-.
11.(2018届高三·浙江名校联盟联考)已知函数f(x)=2cosπx·cos2+sin[(x+1)π]·sinφ-cosπx的部分图象如图所示.
(1)求φ的值及图中x0的值;
(2)将函数f(x)的图象上的各点向左平移个单位,再将所得图象上各点的横坐标不变,纵坐标伸长到原来的倍,得到函数g(x)的图象,求函数g(x)在区间上的最大值和最小值.
解:
(1)f(x)=2cosπx·cos2+sin[(x+1)π]·sinφ-cosπx=cosπx·-sinπx·sinφ=cosπx·cosφ-sinπx·sinφ=cos(πx+φ).
由题图可知,cosφ=,又0<φ<,所以φ=.
又cos=,所以πx0+=,
所以x0=.
(2)由
(1)可知f(x)=cos,将图象上的各点向左平移个单位得到y=cos=cos的图象,然后将各点的横坐标不变,纵坐标伸长到原来的倍后得到g(x)=cos的图象.
因为x∈,所以-≤πx+≤.
所以当πx+=0,即x=-时,g(x)取得最大值;
当πx+=,即x=时,g(x)取得最小值-.
12.(2017·东阳市调研)已知x0,x0+是函数f(x)=cos2-sin2ωx(ω>0)的两个相邻的零点.
(1)求f的值;
(2)若对任意x∈,都有|f(x)-m|≤1,求实数m的取值范围.
解:
(1)f(x)=-
=
=
=
=
=sin.
由题意可知,f(x)的最小正周期T=π,∴=π.
又∵ω>0,∴ω=1,∴f(x)=sin.
∴f=sin=sin=.
(2)|f(x)-m|≤1,即f(x)-1≤m≤f(x)+1.
∵对任意x∈,都有|f(x)-m|≤1,
∴m≥f(x)max-1且m≤f(x)min+1.
∵-≤x≤0,∴-≤2x+≤,
∴-1≤sin≤,
∴-≤sin≤,
即f(x)max=,f(x)min=-,∴-≤m≤1-.
故m的取值范围为.
第二讲
三角恒等变换与解三角形
一、基础知识要记牢
三角恒等变换的主要考查形式是三角函数式的求值.包括:
(1)“给角求值”,即通过三角恒等变换求三角函数式的值;
(2)“给值求值”,即给出一些三角函数值,求与之有关的其他三角函数式的值;
(3)“给值求角”,即给出三角函数值,求符合条件的角.
二、经典例题领悟好
[例1]
(1)(2017·嘉兴调研)4sin80°-=( )
A. B.-
C.D.2-3
(2)(2017·全国卷Ⅲ)已知sinα-cosα=,则sin2α=( )
A.-B.-
C.D.
[解析]
(1)依题意,∵sin80°=cos10°,
∴4sin80°-=
==
=
==-,故选B.
(2)将sinα-cosα=的两边进行平方,得sin2α-2sinαcosα+cos2α=,即sin2α=-.
[答案]
(1)B
(2)A
三角函数恒等变换“六策略”
(1)常值代换:
特别是“1”的代换,1=sin2θ+cos2θ=tan45°等.
(2)项的分拆与角的配凑:
如sin2α+2cos2α=(sin2α+cos2α)+cos2α,α=(α-β)+β等.
(3)降次与升次:
正用二倍角公式升次,逆用二倍角公式降次.
(4)弦、切互化:
一般是切化弦.
(5)公式的变形应用:
如sinα=cosαtanα,tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ)等.
(6)角的合成及三角函数名的统一:
运用辅助角公式合成角及统一三角函数名称.
三、预测押题不能少
1.
(1)设α,β∈[0,π],且满足sinαcosβ-cosαsinβ=1,则sin(2α-β)+sin(α-2β)的取值范围为( )
A.[-,1]B.[-1,]
C.[-1,1]D.[1,]
解析:
选C ∵sinαcosβ-cosαsinβ=1,
即sin(α-β)=1,α,β∈[0,π],
∴α-β=,又则≤α≤π,
∴sin(2α-β)+sin(α-2β)=sin+sin(α-2α+π)=cosα+sinα=sin,
∵≤α≤π,
∴≤α+≤,
∴-1≤sin≤1,
即所求取值范围为[-1,1],故选C.
(2)若tan=,则tanα=________.
解析:
tanα=tan
===.
答案:
一、基础知识要记牢
(1)正弦定理:
在△ABC中,
===2R(R为△ABC的外接圆半径).
变形:
a=2RsinA,sinA=,
a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC等.
(2)余弦定理:
在△ABC中,
a2=b2+c2-2bccosA;
变形:
b2+c2-a2=2bccosA,cosA=.
(3)三角形面积公式:
S△ABC=absinC=cbsinA=acsinB.
二、经典例题领悟好
[例2] (2016·浙江高考)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b+c=2acosB.
(1)证明:
A=2B;
(2)若△ABC的面积S=,求角A的大小.
[解]
(1)证明:
由正弦定理得sinB+sinC=2sinAcosB,
故2sinAcosB=sinB+sin(A+B)
=sinB+sinAcosB+cosAsinB,
于是sinB=sin(A-B).
又A,B∈(0,π),故0<A-B<π,
所以B=π-(A-B)或B=A-B,
因此A=π(舍去)或A=2B,所以A=2B.
(2)由S=得absinC=,
故有sinBsinC=sinA=sin2B=sinBcosB.
因为sinB≠0,所以sinC=cosB.
又B,C∈(0,π),所以C=±B.
当B+C=时,A=;
当C-B=时,A=.
综上,A=或A=.
关于解三角形问题,首先要联想三角形三定理:
正弦、余弦及内角和定理,常见的三角变换方法和原则都适用,同时要注意“三统一”,即“统一角、统一函数、统一结构”,这是解决问题的突破口.
三、预测押题不能少
2.在△ABC中,∠A=60°,c=a.
(1)求sinC的值;
(2)若a=7,求△ABC的面积.
解:
(1)在△ABC中,因为∠A=60°,c=a,
所以由正弦定理得sinC==×=.
(2)因为a=7,所以c=×7=3.由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得72=b2+32-2b×3×,解得b=8或b=-5(舍去).所以△ABC的面积S=bcsinA=×8×3×=6.
一、经典例题领悟好
[例3] 如图,游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C,另一种是先从A沿索道乘缆车到B,然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山,甲沿AC匀速步行,速度为50m/min.在甲出发2min后,乙开始从A乘缆车,在B处停留1min后,再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运行的速度为130m/min,山路AC长为1260m.经测量,cosA=,cosC=.
(1)求索道AB的长;
(2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?
(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3min,乙步行的速度应控制在什么范围内?
[解]
(1)在△ABC中,因为cosA=,cosC=,
所以sinA=,sinC=.
从而sinB=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)
=sinAcosC+cosAsinC
=×+×=.
由正弦定理=,
得AB=×sinC=×=1040(m).
所以索道AB的长为1040m.
(2)假设乙出发tmin后,甲、乙两游客距离为dm,此时,甲行走了(100+50t)m,乙距离A处130tm,
所以由余弦定理得
d2=(100+50t)2+(130t)2-2×130t×(100+50t)×=200(37t2-70t+50),
因0≤t≤,即0≤t≤8,
故当t=(min)时,甲、乙两游客距离最短.
(3)由正弦定理=,
得BC=×sinA=×=500(m).
乙从B出发时,甲已走了50×(2+8+1)=550(m),还需走710m才能到达C.
设乙步行的速度为vm/min,
由题意得-3≤-≤3,解得≤v≤,
所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3min,乙步行的速度应控制在,(单位:
m/min)范围内.
(1)本题属于三角函数建模问题,其求解的关键是运用所学的解三角形的知识和方法对该问题进行分析,然后检验所得的解,并写出实际问题的结论便可.
(2)三角形问题求解中函数建模思想的常见类型:
①利用余弦定理转化为长度关于某一未知数的函数;
②由面积公式
转化为面积S关于角的三角函数的函数;
③由正弦定理转化为边的长度关于某一三角形内角的函数.
二、预测押题不能少
3.如图,小明同学在山顶A处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶,小明在A处测得公路上B,C两点的俯角分别为30°,45°,且∠BAC=135°.若山高AD=100m,汽车从B点到C点历时14s,则这辆汽车的速度约为________m/s(精确到0.1,≈1.414,≈2.236).
解析:
因
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