一元二次方程根的判别式和根与系数的关系.docx

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一元二次方程根的判别式和根与系数的关系

一元二次方程根的判别式和根与系数的关系

（一）

一元二次方程根的判别式和根系关系是中考的重点内容之一，即可以单独出现，又可

能在代数综合题、几何综合题、应用题中出现，我们准备用两节课的时间，帮助同学们复习

这一内容。

一、一元二次方程根的判别式

2

关于x的一元二次方程axbxc（a0）

用配方法可得（x—）2-_4aC

2a4a

2b4ac称为根的判别式

0则方程有两个不相等的实数根

0则方程有两个相等的实数根

0则方程没有实数根

反过来也成立

根的判别式主要用来解决以下两类问题

⑴不解方程，判断方程实数根的情况；

⑵根据方程实数根的情况，确定方程中某一字母系数的取值范围。

例1不解方程判断下列关于x的一元二次方程根的情况

⑴

3x2

2

2®

⑵

3

x21

恵X

2

2

⑶

ax2

bx

0

⑷

x2

2mx

4m4

解：

运用判别式先要将方程化为一般形式

⑴3x226x20

（2.6）24320

方程有两个相等实数根

、3x2

（,2）243228、30

方程没有实数根

⑶方程是一元二次方程

a0c0

22

b4a0b0

方程有两个实数根

⑷x22mx4（m1）0

222

（2m）414（m1）4m16m164（m2）0

方程有两个实数根

_2

例2—元二次方程（m1）x2mxm20有两个实数根，贝Um的取值范围是

2

解：

错误解法（2m）4（m1）（m2）

22

=4m4（mm2）

=4（m2）0

m2

注意：

应用一元二次方程判别式，首先方程应为一元二次方程，当二次项系数含有

字母时，要加上二次项系数可为0这个限制条件。

m10m3

正确解法

0m2

m2且m1

2

例3关于x的一元二次方程mx2（3m1）x2m10其根的判别式的值为1,求m的值。

22

解：

（3m1）4m（2m1）=m2m1

m22m11

m22m0

m10m22

注意m0舍去m0

m2

例4已知关于x的方程（m1）x22mxm0有实数根，求m的取值范围。

解：

注意本题并没有说方程是一元二次方程，也没有说方程有两个实数根。

一1

⑴m10m1方程为一兀一次方程2x10有一个实根x一

2

⑵m10m1方程为一元二次方程（2m）24m（m1）4m0

m0且m1时方程有两个实数根

综上，当m0时方程有实根。

小结：

⑴应用判别式的条件是方程为一元二次方程，当二次项系数为字母时，注意系数不

为o；

⑵应用判别式应将方程化为一般形式；

⑶注意有实根和有两个实根的区别。

二、一元二次方程根与系数的关系

2

如果x1,x2是方程axbxc0（a0）的两个根

"亠b

则有XiX2—

a

c

x1x2—

a

一元二次方程根与系数的关系是初中数学中重要的基础知识，主要用来解决以下四类

问题：

⑴利用两根关系确定方程的系数；

⑵不解方程，求某些关于根的代数式的值；

⑶根据根系关系构造新方程；

⑷判断方程两根的符号。

应用根系关系要注意定理的前提条件：

1方程应为一元二次方程，注意二次项系数a0

2在有实数根的条件下0

22

例5已知关于x的一元二次方程x（2m3）xm0有两个不相等的实数根

11

满足一一1求m的值

11

解：

•/1即1

又（2m3）

2

m

（2m3）m2

解之得mh3

m21

当m3时

0

当m1时

2

（213）410舍去

•••m3

例6已知方程x23x10的两个根为

2

解：

•••341150

0

1111

2==

兀二次方程。

解：

首先

42

4

0方程有两个不等实根

法1

4,

1

2

1

2

1

（2

1）2（2

24422

1）2442（22）2

2

1

2

1

（

21）（2

2222

1）1

2

2

（

）22

16

214

4

4

2

22

_22

“2-—

（

）

2

142194

2

1

2

1

194

2142

+

14

2

1

2

1

1

141

1-=1

1

所求方程为寸14y10

法2

注意到

均为原方程的根

2

4

10

2

1

4

2

4

10

2

1

4

2

1

21

4

4

2

2

2

1

21

4

4

这样计算较为简单。

一元二次方程根的判别式和根与系数的关系

（二）

22

例8⑴已知实数ab且aa10,bb10，求ab的值。

2

解：

由已知a,b是方程xx10的两个不等实根

ab1

⑵已知p2p10,1qq20且pq1，求_-的值。

q

22

解：

由pp10及1qq0

可知p0,q0

1

又pq1p-q

121

由1qq20（—）2（—）10

qq

2

又p2p10

p与丄可看作方程x2x10的两个不等实根

q

2211

⑶已知实数a,b分别满足a2a2，b2b2，求的值。

ab

2

解：

依题意a,b都是方程x2x20的实数根

①当

当a

b时

a,b是x2

2x2

0的两个不等实根

ab

2

ab

2

11abd

一一d

ab

ab

②当

当a

b时

a,b是x2

2x2

0的同一个实数根

x1

-3

当

当a

b=

13时

丄1

22门

、31

ab

a1、3

当

当a

b=

1-3时

丄1

2——1、•3

ab

a1.3

例9已知X1,X2是一元二次方程x22xm10的两个实数根，且满足

2

XiX1X21，求m的值。

X-I（x1X2）1

1

X代入方程,

2

「7亠

当m—时，

4

7

二m-

4

1

X1

2

可求出m—

4

44（-1）10

4

一21

例10已知关于X的一兀二次方程4xmX-m40，若x-i,x2为方程的两个实数

2

212根，且满足6%mx1-m2x280,求m的值。

m2m

=2（4）4（81）40

m、2〜m

（丁）2（：

1）20

48

2

m4m0

m10,m24

m28m64

当m0,4时0

二m0或4

2

例11已知：

关于x的一元二次方程ax2axc0的两个实数根之差的平方为m,

⑴试分别判断当a1,c3与a2,c2时，m4是否成立，并说明理由。

⑵若对于任意一个非零的实数a，m4总成立，求实数c及m的值。

分析：

求一元二次方程两根差的方法有两种

①求出Xi,X2，（XiX2）易得

②（XiX2）2=（XiX2）24XiX2由根系关系可得

解：

⑴

当a1,c

Xi

3时，原方程为

X2

（Xi

2x3

X2）2

0

1,X2

3,m

16

4成立

当a2,c

.2时,

原方程为

2x2

4x

2

0

i

42

4

22

0

、2

Xi

X2

2

X1X2

—

2

m

（Xi

X2

）2（Xi

X2）2

4xx2

=4

224不成立

⑵设方程的两个实数根为Xi,X2

cc

Xix22，Xix2

a

4c

a

•••c0

当c0,4a20

例12已知关于X的两个方程

2

2x（m4）x（m4）0①

和mx2（n2）x（m3）0②

方程①有两个不相等的负实数根，方程②有两个实数根。

⑴求证：

方程②的两根符号相同；

⑵设方程②的两根分别为，，若:

1:

2，且n为整数，求m的最小整数值。

分析：

利用判别式和根系关系可判别方程两根符号

0

此时

当b

a

0,两根同为负数

①若

c0

a

两根同号

.b当_

0,两根同为正数

a

②若

c0

两根异号

此时

.b当-

0,正根绝对值小于负根绝对值

a

a

当b

0,正根绝对值大于负根绝对值

a

rb

当_=

:

0，两根绝对值相等

a

③若

C=0即

c0

两根至少有

个为零

a

此时

当b

0,另一根必为负数

K当一0,另一根必为正数

a

当b=0，即b0另一根也为零a

⑴证明：

设Xi,X2为方程①的两个实数根

i0

由已知x1x20

x1x20

2

（m4）42（m4）0

即

m40

2

m4小

0

2

解得

m4

由方程②有两个实根可知m0

m3

•••当m4时，0,方程②有两根之积为正。

m

方程②有两根符号相同。

n2

m

m3

m

n不是整数

n11或n7

2

2）4m（m3）0

2

2）4m（m3）0

由⑴m4，又m为整数

2

当m5时（n2）45

当m6时（n2）281

当m6,n11时2（n

当m6,n7时2（n

m的最小整数值为6

小结：

⑴在使用根系关系时，要注意前提条件：

二次项系数

⑵求和两根有关的代数式：

如果是对称式，可用根系关系;

如果不是对称式，可考虑利用方程和根系关系相结合。

⑶根系关系和判别式相结合可判断两根的符号

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