研究生数学建模竞赛优秀论文选《多约束条件下智能飞行器航迹快速规划》140页.docx

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研究生数学建模竞赛优秀论文选《多约束条件下智能飞行器航迹快速规划》140页

中国研究生创新实践系列大赛

“HW杯”第十六届中国研究生数学建模竞赛

学校

参赛队号

1.

队员姓名

2.

3.

中国研究生创新实践系列大赛

“HW杯”第十六届中国研究生数学建模竞赛

题目多约束条件下智能飞行器航迹快速规划

摘要：

本文研究了多约束条件下智能飞行器航迹快速规划问题，这是一个多目标约束问题。

本文首先针对附件中的校正节点数据进行数据处理，构建从起点A到终点B的邻接距离网络，将航迹快速规划问题转化为0-1多目标整数规划问题。

接着通过系统建模建立0-1多目标整数规划模型，并通过自适应改进型Dijkstra算法和自适应型蚁群算法，综合求解多目标规划模型，给出多约束条件下智能飞行器航迹快速规划的方案。

针对问题一，本文通过构架0-1多目标整数规划模型，以航迹长度尽可能小和经过校正区域进行校正的次数尽可能少为目标，通过动态规划中的分阶段优化方法，给出航迹快速规划的方案。

在第一阶段利用自适应改进型Dijkstra算法和蚁群算法得出当前满足约束条件的最优路径和最佳误差校正点。

第二阶段，在满足约束条件的基础上，应用贪婪算法在实际情况中对航行轨迹进一步优化。

针对问题一，本文求出附件一的最优航行轨

迹为：

起点A→503→69→237→155→338→457→555→436→终点B，飞行器最短的航迹长度为104.9×103m，经过校正区域进行校正的次数为8次；附件二的最优航行轨迹为：

起点A→163→114→8→309→305→123→45→160⟶92→93⟶

61⟶292⟶终点B，飞行器最短的航迹长度为109.34×103m，经过校正区域进行校正的次数为12次。

针对问题二，与第一问不同的是，问题二增加了飞行器在实际飞行过程中有200米的最小转弯半径约束。

本文通过系统分析最小转弯半径约束对飞行器实际飞行路程和能否成功到达的影响，重新构建邻接距离网络和多目标规划模型。

接着，通过问题一算法

模型与优化思路，求到附件一重新满足新约束条件的最优航行轨迹为：

起点A→503→

69→237→155→338→457→555→436→终点B，飞行器最短的航迹长度为

104.903×103𝑚，经过校正区域进行校正的次数为8次；附件二的最优航行轨迹为：

起点A→163→114→8→309→305→123→45→160→92⟶93⟶61⟶292⟶

终点B。

飞行器最短的航迹长度为109.464×103𝑚，经过校正区域进行校正的次数为12

次。

针对问题三，与问题一不同的是，在飞行器飞行的实际情况中，问题三增加了部分可能发生误差校正失败的故障点。

本文根据故障点分布和误差调整类型，重新构建邻接距离网络和多目标规划模型，增加目标函数和约束条件。

接着，应用问题一的自适应改进型Dijkstra算法和蚁群算法，重新规划航行轨迹。

与前两问相比，为了使飞行器成功到达的概率尽可能大，问题三在满足约束条件的基

础上，通过不断放松和改变校正节点的方法，求得附件一航行轨迹为：

起点A→503→294→91→607→61→250→369→566→400⟶终点B，飞行器最

短的航迹长度为105.77×103𝑚，经过校正区域进行校正的次数为9次，成功概率为100%；接着综合考虑实际情况，当把针对附件二中的数据，求得成功到达概率目标约束为100%、

最优航行路径有：

起点A→140→226→288→306→237→280→65→142→310⟶

7⟶145⟶293⟶156⟶213⟶164⟶50⟶247⟶38⟶110⟶99⟶292⟶

终点B。

飞行器最短的航迹长度为155.07×103m，经过校正区域进行经过的校正节点个数为为21个，成功概率为100%。

关键词：

邻接距离网络，自适应改进型Dijkstra算法，蚁群算法，0-1多目标整数规划，多目标规划模型，贪婪算法，复杂网络，分阶段优化

1.1问题背景

一、问题重述

复杂环境下航迹快速规划是智能飞行器控制的一个重要课题。

由于系统结构限制，这类飞行器的定位系统无法对自身进行精准定位，一旦定位误差积累到一定程度可能导致任务失败。

因此，在飞行过程中对定位误差进行校正是智能飞行器航迹规划中一项重要任务。

1.2需要解决的问题

本题目是研究智能飞行器在系统定位精度限制下的航迹快速规划问题。

假设飞行器的飞行区域如图1所示，出发点为A点，目的地为B点。

其航行需要满足的约束如下：

（1）飞行器在空间飞行过程中需要实时定位，其定位误差包括垂直误差和水平误差。

飞行器每飞行1m，垂直误差和水平误差将各增加δ个专用单位，以下简称单位。

到达终点时垂直误差和水平误差均应小于𝜃个单位，并且为简化问题，假设当垂直误差和水平误差均小于𝜃个单位时，飞行器仍能够按照规划路径飞行。

（2）

飞行器在飞行过程中需要对定位误差进行校正。

飞行区域中存在一些安全位置（称之为校正点）可用于误差校正，当飞行器到达校正点即能够根据该位置的误差校正类型进行误差校正。

校正垂直和水平误差的位置可根据地形在航迹规划前确定（如图1为某条航迹的示意图,黄色的点为水平误差校正点，蓝色的点为垂直误差校正点，出发点为A点，目的地为B点，黑色曲线代表一条航迹）。

可校正的飞行区域分布位置依赖于地形，无统一规律。

若垂直误差、水平误差都能得到及时校正，则飞行器可以按照预定航线飞行，通过若干个校正点进行误差校正后最终到达目的地。

图1-1：

飞行器航迹规划区域示意图

（3）在出发地A点，飞行器的垂直和水平误差均为0。

（4）飞行器在垂直误差校正点进行垂直误差校正后，其垂直误差将变为0，水平误差保持不变。

（5）飞行器在水平误差校正点进行水平误差校正后，其水平误差将变为0，垂直误差保持不变。

（6）当飞行器的垂直误差不大于α1个单位，水平误差不大于α2个单位时才能进行垂直误差校正。

（7）当飞行器的垂直误差不大于β1个单位，水平误差不大于β2个单位时才能进行水平误差校正。

（8）飞行器在转弯时受到结构和控制系统的限制，无法完成即时转弯（飞行器前进方向无法突然改变），假设飞行器的最小转弯半径为200m。

需要通过建立数学模型，为上述智能飞行器建立从A点飞到B点满足上述约束条件

的航迹规划一般模型和算法。

解决以下几个问题：

问题1.针对附件1和附件2中的数据分别规划满足条件

（1）~（7）时飞行器的航迹，并且综合考虑以下优化目标：

（A）航迹长度尽可能小；（B）经过校正区域进行校正的次数尽可能少。

讨论算法的有效性和复杂度，并绘出两个数据集的航迹规划路径。

问题2.针对附件1和附件2中的数据（参数与第一问相同）分别规划满足条件

（1）

~（8）时飞行器的航迹，并且综合考虑以下优化目标：

（A）航迹长度尽可能小；（B）经过校正区域进行校正的次数尽可能少。

讨论算法的有效性和复杂度，并绘出两个数据集的航迹规划路径（直线用黑色，圆弧用红色）。

问题3.飞行器的飞行环境可能随时间动态变化，虽然校正点在飞行前已经确定，但飞行器在部分校正点进行误差校正时存在无法达到理想校正的情况（即将某个误差精确校正为0），例如天气等不可控因素导致飞行器到达校正点也无法进行理想的误差校正。

现假设飞行器在部分校正点（附件1和附件2中F列标记为“1”的数据）能够成功将某个误差校正为0的概率是80%，如果校正失败，则校正后的剩余误差为min（error，5）个单位（其中error为校正前误差，min为取小函数），并且假设飞行器到达该校正点时即可知道在该点处是否能够校正成功，但不论校正成功与否，均不能改变规划路径。

针对此情况重新规划问题1所要求的航迹，要求成功到达终点的概率尽可能大，并绘出两个数据集的航迹规划路径。

二、模型假设

为了便于问题的研究，对题目中某些条件进行简化及合理的假设。

1、忽略无人机自身大小对路径长度的影响，将无人机视为质点；

2、无人机总能恰好经过校正区点；

3、无人机在飞行途中不会遇到障碍物；

4、无人机到达一个校正区后立刻转弯飞向下一个校正区或终点；

5、为使路径长度尽可能小,无人机在转弯时只以最小转弯半径进行转弯。

三、符号说明

符号

意义

αβ

𝜃

𝛿

能够进行垂直误差校正的误差阈值能够进行水平误差校正的误差阈值

能够到达终点的垂直误差和水平误差阈值飞行器每飞行1m,飞行误差增加𝛿个单位

S

飞行器飞行网络图

A

飞行器飞行起点

B

飞行器飞行终点

C

校正点集:

C=[𝑐1,𝑐2,𝑐3⋯,𝑐𝑖,⋯𝑐𝑛]，n为校正点个数

U

水平校正点集:

U=[𝑢1,𝑢2,𝑢3⋯,𝑢𝑖,⋯𝑢𝑚]，m为水平校正点个数

V

垂直校正点集：

V=[𝑣1,𝑣2,𝑣3⋯,𝑣𝑖,⋯𝑣𝑄],Q为垂直校正点个数

G

故障校正点集:

G=[𝑔1,𝑔2,𝑔3⋯,𝑔𝑖,⋯𝑔𝑟]，其中r为总故障校正点个数

𝑎𝑖𝑗

邻接距离矩阵元素

𝑠𝑖𝑗

校正节点𝑐𝑖,𝑐𝑗间的距离

P𝑖𝑗

校正节点𝑐𝑖,𝑐𝑗间的误差增量

P𝑖

校正节点𝑐𝑖的水平或者垂直误差

𝒍𝑣𝑘−1,𝑣𝑘

垂直校正点𝑣𝑘−1,𝑣𝑘间的水平或者垂直误差

𝑥𝑖𝑗

0-1决策变量

p𝑘𝑖𝑗（𝑡）

蚂蚁k从城市i转移到城市j的概率

𝑏𝑖，𝑖+1

校正节点𝑐𝑖,𝑐𝑖+1间的边

γ

边𝑏𝑖，𝑖+1和𝑏𝑖+1，𝑖+2间的夹角

φ

最小半径转弯调整角度

w

为经过误差校正故障点的路径能够成功到达终点的概率

w𝑖𝑗

校正节点𝑐𝑗点的水平或垂直误差理想校正概率

四、问题一

4.1问题描述与分析

问题一是研究智能飞行器在系统定位精度限制下的航迹快速规划问题。

要针对附件1和附件2中的地点位置数据和地点安全类型，分别从A点出发到达目的地B点，规划满足约束条件

（1）~（7）时飞行器的航行轨迹，并且综合考虑以下优化目标：

（A）航迹长度尽可能小；（B）经过校正区域进行校正的次数尽可能少。

讨论算法的有效性和复杂度，并绘出两个数据集的航迹规划路径，并将结果（即飞行器从起点出发经过的误差校正点编号及校正前误差）依次填入航迹规划结果表中。

其中附件1数据的参数为：

α1=25，α2=15，β1=20，β2=25，𝜃=30，𝛿=0.001

附件2中数据的参数为：

α1=20，α2=10，β1=15，β2=20，𝜃=20，𝛿=0.001

问题一的目的是在使得航迹长度尽可能小的同时，经过校正区域进行校正的次数也尽可能少，即为多目标动态规划问题。

由于智能飞行器在飞行过程中每飞行1m，垂直误差和水平误差将各增加𝛿个专用单位使得智能飞行器在飞行过程中必须选择误差校正位置进行垂直或者水平误差调整，而不能直接选择从起点到终点的航行轨迹。

智能飞行器的航迹长度大小与飞行器在飞行过程中选择的校正点位置、校正点的垂直或水平误差校正类型有关。

经过校正区域进行校正的次数与飞行器在飞行过程中不断累加的飞行定位误差值、每个校正点允许的垂直或水平误差阈值α,β个单位和终点B允许到达的垂直误差和水平误差𝜃个单位。

需要注意的是飞行器在飞行过程中需要不断调整飞行方向以达到航迹长度尽可能小的目的。

根据题目和参考文献，给出智能飞行器轨迹规划策略如下：

（1）对附件中的起点A、校正节点和终点B的三维坐标以及校正点类型进行数据处理，构建飞行器飞行邻接距离矩阵，并在邻接距离矩阵中剔除不满足条件的校正节点关系，从而构建飞行器飞行网络图。

（2）飞行器在飞行过程中需要满足飞行路程最短的同时，尽可能经过少的飞行误差校正节点。

此时我们通过建模选择最优路线和最佳误差点数量和。

（3）根据最优路线和最佳误差点数量和带入实际问题中综合考虑多目标规划问题的最优解。

（4）以上问题中，不考虑无人机大小，无人机为质点。

（5）应用不同算法，应用自适应改进型Dijkstra算法与基于蚁群寻优的智能优化蚁群算法在解决组合优化问题，通过调整数据，应用贪婪算法对航行轨迹进一步优化。

图4-1：

问题一求解思路及算法

4.2模型建立

4.2.1数据处理

根据附件中的起点A、校正节点和终点B的三维坐标以及校正点类型，以附件一为例，从起点A到终点B共有611个水平和垂直节点，如下图4-2所示。

图4-2：

附件一校正节点分布图

首先进行数据处理，构建飞行器飞行邻接距离矩阵。

邻接距离矩阵的基本原理是将图中n个顶点的数据存放在一组一维数组中，用一个n×n矩阵的形式来表示各个顶点间的邻接关系。

图可分为有向图和无向图，在飞行器的航迹规划中，涉及到的是无向图。

其中网络图的实质是结构较为复杂的一种数据结构，图的基本信息由两个部分组成：

图中所有顶点的数据和各个顶点之间的关系，即边或者弧的关系。

并在邻接距离矩阵中剔除不满足条件的校正节点关系，从而构建飞行器飞行网络图。

设D’为无向图，根据D’的各个顶点之间是否可以直接连接，编写一个矩阵，1表示可以直接连接，0表示不能直接连接，其定义如下：

𝑖𝑗

A=（𝑎）称作无向图D’的邻接距离矩阵，其中n为校正节点个数加2，

𝑛×𝑛

𝑎𝑖𝑗

={1，起点or校正点𝑐𝑖到终点or校正点𝑐𝑗，i≠j0，未从起点or校正点𝑐到终点or校正点𝑐，i≠j

𝑖𝑗

因为任何顶点自身不能相连，所以在任何无向图的邻接矩阵中，主对角线一定皆为0，其余可以相连的顶点皆为1。

由此可得，每个无向图的邻接矩阵皆为关于主对角线对称的n×n的矩阵。

邻接矩阵中包含了图的一切性质，邻接矩阵与它所唯一对应的图成一一对应关系。

针对于本题的航迹规划问题，将无向图转化为飞行器飞行网络图S，也就是测量出各个可以相连的校正点之间的距离，将无向图邻接矩阵中的“1”用实际距离代替，并在邻接距离矩阵中剔除不满足条件的校正节点关系，从而构建飞行器飞行网络图。

即其中针对相连

的各个顶点之间的距离不满足最大允许调整的水平和垂直误差，用“∞”表示，即将无向图邻接矩阵中的“0”用“∞”代替。

S=（𝑠𝑖𝑗）𝑛×𝑛称作飞行器飞行网络图，𝑠𝑖𝑗,i,j=1,2,3⋯,n其中n为校正节点个数加2，

𝑠={𝑠𝑖𝑗,𝑠𝑖𝑗≤最大误差阈值

𝑖𝑗

∞,𝑠𝑖𝑗

≤最大误差阈值

经过数据处理得到的飞行器飞行网络图如图4-3所示：

4.2.2航迹规划模型建立

根据校正节点的数据处理得到的飞行器飞行网络图，飞行器在从起点A到终点B飞行过程中需要满足飞行路程最短的同时，尽可能经过少的飞行误差校正节点。

我们通过建模选择最优路线和最佳误差点数量和，这是一个多目标动态规划问题。

飞行器在飞行过程中

经过校正节点𝑐𝑖到校正节点𝑐𝑗,则选中飞行器飞行网络图中的边𝑠𝑖𝑗，加入最优飞行路径中。

否则，𝑠𝑖𝑗取零。

因此航迹规划问题可以转化为0-1整数规划问题。

为了达到整体最优的情况，我们将航迹规划的整体过程分为两步，进行分阶段优化。

先规划从起点A到终点B的最短路径，再找出满足约束条件的最优路径使得飞行器在从起点A到终点B飞行过程中需要满足飞行路程最短的同时，尽可能经过少的飞行误差校正节点。

这也是一个组合网络优化问题。

对所有校正点进行编号：

（1）校正点集:

C=[𝑐1,𝑐2,𝑐3⋯,𝑐𝑖,⋯𝑐𝑛],i=1,2,3⋯,n，其中n为校正点个数；

（2）水平校正点集:

U=[𝑢1,𝑢2,𝑢3⋯𝑢𝑖⋯𝑢𝑚],i=1,2,3⋯,m，其中m为水平校正点个数；

（3）垂直校正点集：

V=[𝑣1,𝑣2,𝑣3⋯𝑣𝑖⋯𝑣𝑄],i=1,2,3⋯,Q,其中Q为垂直校正点个数；

其中校正点集C、水平校正点集U和垂直校正点集V之间的关系为U∪V=C，且U∩

V=∅，

对于任意一点𝑐𝑖,i=1,2,3⋯,n根据附件中给出的该点水平或垂直误差调整类型信息，进行判定该点属于水平点集U或者垂直点集V，其判定步骤如下：

（程序见附件1）

Step1：

校正点初始化。

根据附件中数据，将起点A到终点B中的点按附件数据依次标号到𝑐𝑖,i=1,2,3⋯,n。

Step2:

校正点类型判断。

根据附件中标出的校正点𝑐𝑖,i=1,2,3⋯n的类型，分别将水平或者垂直校正点𝑐𝑖分别依次标号到水平校正点集U垂直校正点集V，且对:

（1）∀𝑢𝑘,𝑢𝑘+1∈水平校正点集𝑈，𝑢𝑘,𝑢𝑘+1对应到校正点集C中的𝑐𝑖和𝑐𝑗，i,jϵ{1,2,3⋯,n}

有：

i<𝑗。

（2）∀𝑣𝑘,𝑣𝑘+1∈垂直校正点集𝑉，𝑣𝑘,𝑣𝑘+1对应到校正点集C中的𝑐𝑖和𝑐𝑗，i,jϵ{1,2,3⋯,n}有：

i<𝑗；

Step3:

直到完成所有校正节点的编号和校正节点判断。

首先根据问题一的规定模型假设：

首先假设飞行器从一个校正节点到另一个校正节点之间始终匀速直线运动，忽略转弯引起的轨迹变化。

飞行器在从起点A到终点B的飞行过程中需要依次选择水平校正节点和垂直校正节点进行误差校正，以满足能够在误差允许的

范围内到达各个水平或者垂直校正节点进行水平和垂直误差校正。

其中需要注意的是飞行器到达终点B的允许误差和到达各校正节点的允许误差值是不一致的，这是一个多目标航迹规划问题。

多目标规划的优化目标是获得在从起点A到终点B的飞行中，航迹路程最小的同时，经过的飞行误差调整点𝑢𝑖𝑜𝑟𝑣𝑖,i=1,2,3⋯,morQ尽可能的少。

飞行器飞行路程目标函数为：

𝑛𝑛

min∑∑𝑥𝑖𝑗∙𝑠𝑖𝑗

𝑖=1𝑗=1

飞行器经过水平或者垂直误差校正点的目标函数为：

（4−1）

𝑛𝑛

min∑∑𝑥𝑖𝑗

𝑖=1𝑗=1

（4−2）

式中，0−1变量：

𝑥𝑖𝑗={

1，当飞行器从起点or校正点𝑐𝑖到终点or校正点𝑐𝑗，i≠j

0，当飞行器未从起点or校正点𝑐𝑖到终点or校正点𝑐𝑗，i≠j

起点or校正点𝑐𝑖到终点or校正点𝑐𝑗的路程长度：

𝑠𝑖𝑗=2√（X𝑖−X𝑗）2+（Y𝑖−Y𝑗）2+（Z𝑖−Z𝑗）2

（4−3）

约束条件包括：

⑴飞行器在空间飞行过程中需要实时定位，其定位误差包括垂直误差和水平误差。

飞行器每飞行1m，垂直误差和水平误差将各增加δ个专用单位，则飞行器从起点或者校正点

𝑐𝑖到终点或者下一个校正点𝑐𝑗的误差增量P𝑖𝑗为：

P𝑖𝑗

=（𝑠𝑖𝑗∙δ

𝑠𝑖𝑗∙δ

）（4−4）

式中（a,b）为1×2维矩阵，因为任意一个误差校正点𝑐𝑖，i=1,2,3⋯n在误差允许范围内可调整水平或者垂直误差。

则在任意一个校正点𝑐𝑖，i=1,2,3⋯n的剩余误差为：

P𝑖𝑢+𝑥𝑖𝑗𝑠𝑖𝑗δ

P𝑗𝑢

P𝑖𝑢

1（0），v𝑗∈V

（

P𝑗=（P𝑗𝑣）=（P𝑖𝑣）+𝑥𝑖𝑗𝑠𝑖𝑗δ∙

（1）=

0

），u𝑗∈U

（4−5）

{P𝑖𝑣+𝑥𝑖𝑗𝑠𝑖𝑗δ

式中P𝑗𝑢表示：

校正点𝑐𝑖，i=1,2,3⋯n的水平剩余误差；P𝑗𝑣表示：

校正点𝑐𝑖，i=1,2,3⋯n的垂直剩余误差。

要求到达终点时垂直误差和水平误差均应小于𝜃个单位，即：

P𝑖𝑢+𝑥𝑖𝐵𝑠𝑖𝐵δ≤𝜃且P𝑖𝑣+𝑥𝑖𝐵𝑠𝑖𝐵δ≤𝜃（4−6）

⑵当飞行器的垂直误差不大于α1个单位，水平误差不大于α2个单位时才能进行垂直误差校正，即：

P𝑖𝑣+𝑥𝑖𝑗𝑠𝑖𝑗δ≤α1，v𝑗∈V（4−7）

P𝑖𝑢+𝑥𝑖𝑗𝑠𝑖𝑗δ≤α2，v𝑗∈V（4−8）

附件一中α1=25，α2=15,附件二中α1=20，α2=10。

⑶当飞行器的垂直误差不大于β1个单位，水平误差不大于β2个单位时才能进行水平误差校正。

P𝑖𝑣+𝑥𝑖𝑗𝑠𝑖𝑗δ≤β1，u𝑗∈U（4−9）

P𝑖𝑢+𝑥𝑖𝑗𝑠𝑖𝑗δ≤β2，u𝑗∈U（4−10）

附件一中β1=20，β2=25，附件二中β1=15，β2=20。

⑷飞行器在飞行过程中会根据最优路径和节点数选择经过水平误差补偿和垂直误差补偿点，在算法的实际计算中常常需要直接约束任意两个水平或者垂直误差的阈值，约束条件如下所示：

𝒍𝑣𝑘−1,𝑣𝑘∙𝛿≤α1（4−11）

𝑖𝑘

𝒍𝐶max{𝑖|𝐶∉𝑉,𝑖<𝑜𝑟𝑑（𝑣）},𝑣𝑘∙𝛿≤α2（4−12）

𝒍𝑢𝑘−1,𝑢𝑘∙𝛿≤β1（4−13）

𝑖𝑘

𝒍𝐶max{𝑖|𝐶∉𝑉,𝑖<𝑜𝑟𝑑（𝑣）},𝑣𝑘∙𝛿≤β2（4−14）

综上所述，飞行器飞行航迹的多目标规划为：

𝑛𝑛

min∑∑𝑥𝑖𝑗∙𝑠𝑖𝑗

𝑖=1𝑗=1

𝑛𝑛

min∑∑𝑥𝑖𝑗

𝑖=1𝑗=1

（4−15）

0−1变量𝑥

={1，当飞行器从起点or校正点𝑐𝑖到终点or校正点𝑐𝑗，i≠j

𝑖𝑗

0，当飞行器未从起点or校正点𝑐到终点or校正点𝑐，i≠j

s.t

{

𝑖𝑗

P𝑖𝑣+𝑥𝑖𝑗𝑠𝑖𝑗δ≤α1，v𝑗∈VP𝑖𝑢+𝑥𝑖𝑗𝑠𝑖𝑗δ≤α2，v𝑗∈VP𝑖𝑣+𝑥𝑖𝑗𝑠𝑖𝑗δ≤β1，u𝑗∈UP𝑖𝑢+𝑥𝑖𝑗𝑠𝑖𝑗δ≤β2，u𝑗∈UP𝑖𝑢+𝑥𝑖𝐵𝑠𝑖𝐵δ≤𝜃,B为终点P𝑖𝑣+𝑥𝑖𝐵