全国一卷理科数学高考真题和答案.docx

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全国一卷理科数学高考真题和答案

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2017年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

一、选择题：

本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1．已知集合A={x|x<1}，B={x|3x1}，则

A．AB{x|x0}B．ABRC．AB{x|x1}D．AB

2．如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方

形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是

A．1

B．π

C．1

π

D．

4

8

2

4

3．设有下面四个命题

p1：

若复数z满足

1

R，则z

R；

p2

：

若复数z满足z2

R，则z

R；

z

p3：

若复数z1,z2满足z1z2

R，则z1

z2；

p4

：

若复数z

R，则zR.

其中的真命题为

A．p1,p3

B．p1,p4

C．p2,p3

D．p2,p4

4．记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4

a524，S6

48，则{an}的公差为

A．1

B．2

C．4

D．8

5

f（x）

在

（,）

单调递减，且为奇函数．若

f

（1）

1

，则满足

1f（x2）

1

的x的取值范

．函数

围是

A．[

2,2]

B．[1,1]

C．[0,4]

D．[1,3]

6．（1

1）（1

x）6展开式中x2的系数为

x2

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A．15B．20C．30D．35

7．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长

为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为

A．10B．12C．14D．16

8．右面程序框图是为了求出满足3n-2n>1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填

入

A．A>1000和n=n+1B．A>1000

和n=n+2

C．A1000和n=n+1

D．A1000和

n=n+2

9．已知曲线C1：

y=cosx，C2：

y=sin（2x+2π），则下面结论正确的是

3

A．把1上各点的横坐标伸长到原来的

2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移

π个单位长度，

C

6

得到曲线C2

B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的

2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移

π个单位长度，

12

得到曲线C2

C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的

1倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移

π个单位长度，

2

6

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得到曲线C2

D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的

1倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移

π个单位长度，

2

12

得到曲线C2

10．已知F为抛物线C：

y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线

l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，

直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为

A．16

B．14

C．12

D．10

11

．设xyz为正数，且2x

3y

5z，则

A．2x<3y<5z

B．5z<2x<3y

C．3y<5z<2x

D．3y<2x<5z

12

．几位大学生响应国家的创业号召，

开发了一款应用软件。

为激发大家学习数学的兴趣，

他们推出了“解

数学题获取软件激活码”的活动

.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：

已知数列

1，1，2，1，2，

4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，⋯，其中第一项是

20，接下来的两项是

20，21，再接下来的三

项是20，21，22，依此类推。

求满足如下条件的最小整数

N：

N>100且该数列的前N项和为2的整数幂。

那么该款软件的激活码是

A．440

B．330

C．220

D．110

二、填空题：

本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知向量a，b的夹角为60°，|a|=2，|b|=1，则|a+2b|=.

x

2y

1

14

．设x，y满足约束条件

2xy

1，则z3x2y的最小值为.

x

y

0

2

2

15

．已知双曲线C：

x2

y

2

1（a>0，b>0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径做圆

A，圆A与双曲

a

b

线C的一条渐近线交于

M、N两点。

若∠MAN=60°，则C的离心率为________。

16

．如图，圆形纸片的圆心为

O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形

ABC的中心为O。

D、E、F为圆

O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形。

沿虚线剪开后，分

别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥。

当△ABC

的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：

cm3）的最大值为_______。

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三、解答题：

共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考题，每个试题考

生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：

共60分。

a2

17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为

3sinA

（1）求sinBsinC;

（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长.

17.（12分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，且BAPCDP90.

（1

）证明：

平面PAB⊥平面PAD；

（2

）若PA=PD=AB=DC，APD

90，求二面角A-PB-C的余弦值.

19．（12分）

为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取

16个零件，并测量

其尺寸（单位：

cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分

布N（,2）．

（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在（3,3）之外的零件

数，求P（X1）及X的数学期望；

（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（3,3）之外的零件，就认为这条生产线在这一

天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．

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（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；

（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：

10.1

10.0

10.0

9.95

9.96

9.96

9.92

9.98

2

1

4

10.2

10.1

10.0

10.0

10.0

9.91

9.22

9.95

6

3

2

4

5

经计算得x

1

16

xi9.97，

s

1

16

（x

i

x）2

1（

16

x216x2）2

0.212，其中xi为抽取

16i1

16i1

16

i1

i

的第i个零件的尺寸，i

1,2,

16．

用样本平均数

x作为

的估计值

?

，用样本标准差s作为

的估计值

?

，利用估计值判断是否需对

当天的生产过程进行检查？

剔除

（?

3?

?

3

?

）之外的数据，用剩下的数据估计

和

（精确到

0.01）．

附：

若随机变量

Z服从正态分布

N（

2），则P（

3

Z

3

）0.9974，

0.997416

0.9592，

0.008

0.09．

20.（12分）

已知椭圆

C

：

x2

y2

=1（a>b>0），四点P

1（1,1），

P

2（0,1），

P

3

），

P

3

）中恰

a2

b2

3（–1，

4（1，

2

2

有三点在椭圆

C上.

（1）求C的方程；

（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点。

若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：

l过定点.

21.（12分）

已知函数（fx）

ae2x+（a﹣2）ex﹣x.

（1

）讨论f（x）的单调性；

（2

）若f（x）有两个零点，求

a的取值范围.

（二）选考题：

共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4―4：

坐标系与参数方程]（10分）

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在直角坐标系

xOy

中，曲线

C

x

3cos

为参数），直线

l

的参数方程为

的参数方程为

（

y

sin

θ

xa4t,

（t为参数）.

y1t,

（1）若a=-1，求C与l的交点坐标；

（2）若C上的点到l的距离的最大值为

17，求a.

23．[选修4—5：

不等式选讲]（10分）

已知函数f（x）=–x2+ax+4，g（x）=│x+1│+│x–1│.

（1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；

（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[–1，1]，求a的取值范围.

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2017年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学参考答案

一、选择题：

本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1.A2．B3．B4．C5．D6．C

7．B8．D9．D10．A11．D12．A

二、填空题：

本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．23

14．-5

15．23

16．15cm3

3

三、解答题：

共

70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第

17~21题为必考题，每个试题考

生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：

共60分。

a2

17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为

3sinA

（1）求sinBsinC;

（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长.

解：

（1）

由题意可得SABC

1bcsinA

a2

，

2

3sinA

化简可得2a2

3bcsin2

A，

根据正弦定理化简可得：

2sin2

A3sinBsinCsin2A

sinBsinC

2

。

3

（2）

sinBsinC

2

3

1

2

由

cosA

cosA

BsinBsinC

cosBcosC

A

1

2

，

cosBcosC

3

6

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因此可得B

C，

3

将之代入sinBsinC

2

中可得：

sin

3

CsinC

3sinCcosC

1sin2C0，

3

2

2

化简可得tanC

3

C,B

，

3

6

6

利用正弦定理可得

b

a

3

1

sinB

3

3，

sinA

2

2

同理可得c3，

故而三角形的周长为323。

18.（12分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，且BAPCDP90.

（1）证明：

平面PAB⊥平面PAD；

（2）若PA=PD=AB=DC，APD90，求二面角A-PB-C的余弦值.

（1）证明：

AB//CD,CDPDABPD,

又ABPA,PAPDP,PA、PD都在平面PAD内，

故而可得ABPAD。

又AB在平面PAB内，故而平面PAB⊥平面PAD。

（2）解：

不妨设PAPDABCD2a，

以AD中点O为原点，OA为x轴，OP为z轴建立平面直角坐标系。

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故而可得各点坐标：

P0,0,

2a,A

2a,0,0

B

2a,2a,0

C

2a,2a,0

，

因此可得PA

2a,0,

2a

PB

2a,2a,

2a,PC

2a,2a,

2a

，

假设平面PAB的法向量n1

x,y,1，平面PBC的法向量n2

m,n,1，

n1

PA

2ax

2a

0

x

1

，即n1

1,0,1

故而可得

PB

2ax

2ay

2a

0

y

0

，

n1

n2

PC

2am

2an

2a

0

m

0

2,1

同理可得

2

，即

n2

0,

。

n2

PB

2am

2an

2a

0

n

2

2

因此法向量的夹角余弦值：

cos

n1,n2

1

3

3。

2

3

2

3

很明显，这是一个钝角，故而可得余弦为。

3

19．（12分）

为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量

其尺寸（单位：

cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分

布N（,2）．

（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在（3,3）之外的零件

数，求P（X1）及X的数学期望；

（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（3,3）之外的零件，就认为这条生产线在这一

天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．

（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；

（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的

16个零件的尺寸：

10.1

10.0

10.0

9.95

9.96

9.96

9.92

9.98

2

1

4

10.2

10.1

10.0

10.0

10.0

9.91

9.22

9.95

6

3

2

4

5

专业整理

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1

16

1

16

1

16

经计算得x

xi9.97，s

（x

x）2

（

x2

16x2）2

0.212，其中xi为抽取

i

16i1

16i1

16

i

i

1

的第i个零件的尺寸，

i

1,2,

16．

用样本平均数

x作为

的估计值

?

，用样本标准差s作为

的估计值

?

，利用估计值判断是否需对

当天的生产过程进行检查？

剔除

（?

3

?

?

3

?

）之外的数据，用剩下的数据估计

和（精确到0.01）．

附：

若随机变量

Z服从正态分布

N（,

2），则P（

3

Z

3

）0.9974，

0.997416

0.9592

，

0.008

0.09

．

解：

（1）PX

1

1

PX

0

1

0.997416

10.9592

0.0408

由题意可得，X满足二项分布

X~B16,0.0016

，

因此可得EX16,0.0016

16

0.0016

0.0256

（2）

○由

（1）可得PX

1

0.0408

5%，属于小概率事件，

1

故而如果出现（

3

3）的零件，需要进行检查。

○由题意可得

9.97,

0.212

39.334,310.606，

2

故而在9.334,10.606

范围外存在

9.22这一个数据，因此需要进行检查。

此时：

x

9.97

16

9.22

10.02，

15

1

15

15

xx0.09。

i1

20.（12分）

已知椭圆C：

x2

y2

（ab

>0

），四点P1（1,1），P2（0,