⎪⎪⎪⎪
⎨⎪⎪⎩
(横坐标不变),即y1=y/A⇒y=f(x)
⎪函数图象的画法(⎪2)变换法⎨⎧
:
{x+x1=2x0
{x1=2x0-x
⎪⎪⎪关于点(x0,y0)对称
⎪⎪⎪
y+y1=2y0⇒y1=2y0-y⇒2y0-y=f(2x0-x)
⎪⎪⎪⎪关于直线x=x0对称:
{x+x1=2x0⇒{x1=2x0-x⇒y=f(2x0-x)
⎪⎪对称变换⎪
y=y1
y1=y
⎪
⎪⎪⎨
⎪
0{y+1=2y
{1=2y-y20(
⎪⎪关于直线y=y对称:
x=x
⇒x=x
⇒y-y=fx)
⎪⎪⎪
1y0
y10
⎪⎪⎪⎪关于直线y=x对称:
{x=x1⇒y=f-1(x)
⎪
⎩⎪⎪⎩
⎪⎪⎩
⎩⎪
y=y1
附:
一、函数的定义域的常用求法:
1、分式的分母不等于零;2、偶次方根的被开方数大于等于零;3、对数的真数大于零;4、指数函
数和对数函数的底数大于零且不等于1;5、三角函数正切函数y=tanx中x≠kπ+π(k∈Z);余切函
2
数y=cotx中;6、如果函数是由实际意义确定的解析式,应依据自变量的实际意义确定其取值范围。
二、函数的解析式的常用求法:
1、定义法;2、换元法;3、待定系数法;4、函数方程法;5、参数法;6、配方法三、函数的值域的常用求法:
1、换元法;2、配方法;3、判别式法;4、几何法;5、不等式法;6、单调性法;7、直接法四、函数的最值的常用求法:
1、配方法;2、换元法;3、不等式法;4、几何法;5、单调性法五、函数单调性的常用结论:
1、若f(x),g(x)均为某区间上的增(减)函数,则f(x)+g(x)在这个区间上也为增(减)函数
2、若f(x)为增(减)函数,则-f(x)为减(增)函数
3、若f(x)与g(x)的单调性相同,则y=f[g(x)]是增函数;若f(x)与g(x)的单调性不同,则
y=f[g(x)]是减函数。
4、奇函数在对称区间上的单调性相同,偶函数在对称区间上的单调性相反。
5、常用函数的单调性解答:
比较大小、求值域、求最值、解不等式、证不等式、作函数图象。
六、函数奇偶性的常用结论:
1、如果一个奇函数在x=0处有定义,则f(0)=0,如果一个函数y=f(x)既是奇函数又是偶函
数,则f(x)=0(反之不成立)
2、两个奇(偶)函数之和(差)为奇(偶)函数;之积(商)为偶函数。
3、一个奇函数与一个偶函数的积(商)为奇函数。
4、两个函数y=f(u)和u=g(x)复合而成的函数,只要其中有一个是偶函数,那么该复合函数就
是偶函数;当两个函数都是奇函数时,该复合函数是奇函数。
5、若函数
f(x)
的定义域关于原点对称,则
f(x)
可以表示为
f(x)=1[f(x)+f(-x)]+1[f(x)-f(-x)],该式的特点是:
右端为一个奇函数和一个偶函数的
22
和。
⎧
⎧
⎪⎪⎧零点:
对于函数y=
f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=
f(x)的零点。
⎪⎪定理:
如果函数y=
f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)⋅f(b)<0,
⎪⎪零点与根的关系⎨
那么,函数y=
f(x)在区间[a,b]内有零点。
即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也是方
ïïï
程f(x)
=0的根。
(反之不成立)
⎪⎪⎩关系:
方程f(x)
=0有实数根⇔函数y=
f(x)有零点⇔
函数y=
f(x)的图象与x轴有交点
ïïì
函数与方程⎨⎪
(1)确定区间[a,b],验证f(a)⋅f(b)
<0,给定精确度ε;
⎪⎪
(2)求区间(a,b)的中点c;
函数的应用⎨⎪
⎪⎪(3)计算f(c);
⎪
⎪二分法求方程的近似解①若f(c)
=0,则c就是函数的零点;
í
⎪⎪⎪
②若f(a)⋅f(c)<0,则令b
=c(此时零点x0∈(a,b));
ïïï
③若f(c)⋅f(b)<0,则令a
=c(此时零点x0
∈(c,b));
⎪⎩⎩⎪(4)判断是否达到精确度ε:
即若a-b
<ε,则得到零点的近似值a(或b);否则重复2
~4。
⎪⎨
⎪⎧几类不同的增长函数模型
函数模型及其应用用已知函数模型解决问题
⎪⎩⎩建立实际问题的函数模型
nam
⎧⎧⎧根式:
na,n为根指数,a为被开方数⎫⎪m
⎪⎪⎪⎬=an
⎪⎪⎪分数指数幂⎪⎭
⎨
⎪⎪
⎪⎪指数的运算
⎪⎧aras
=ar+s(a
>0,r,s∈Q)
⎪指数函数
⎪⎪性质
⎪
rs
(a)
=ars(a
>0,r,s∈Q)
⎪⎨⎪
⎪⎪⎪
⎪⎪⎩
⎨
⎩
⎪(ab)r
=arbs(a
>0,b
>0,r∈Q)
⎪⎪⎧定义:
一般地把函数y=
ax(a
>0且a
≠1)叫做指数函数。
⎪⎪指数函数⎨
⎩
⎪⎪⎩性质:
见表1
⎪
⎪⎧⎧对数:
x=
⎪⎪⎪
loga
N,a为底数,N为真数
⎨
基本初等函数⎪
⎪⎪⎧loga(M
⎪⎪⎪
⋅N)=
logaM
+
logaN;
⎪⎪⎪
⎪logaM
=logaM
-
logaN;
⎪⎪对数的运算
⎨性质⎪N.
⎪对数函数⎪⎪
⎨logaMn
=nloga
M;(a
>0,a
≠1,M
>0,N
>0)
⎪⎨⎪⎪
⎪⎪⎪⎪
logb
⎪⎪⎪
⎪换底公式:
log
b=c(a,c>
0且a,c
≠1,b>0)
c
⎪⎪⎩⎩
⎪⎪
aloga
⎪⎪对数函数
⎪
⎪
⎪⎩
⎪
⎧定义:
一般地把函数y
⎨
⎩性质:
见表1
=loga
x(a
>0且a
≠1)叫做对数函数
⎪⎧定义:
一般地,函数y=
xα叫做幂函数,
x是自变量,α是常数。
⎪幂函数
⎪⎩
⎨
⎩性质:
见表2
表
1
y=ax(a>0,a≠1)
指数函数
对数数函数
y=logax(a>0,a≠1)
定
义域
x∈R
x∈(0,+∞)
值
域
y∈(0,+∞)
y∈R
图象
性质
过定点(0,1)
过定点(1,0)
减函数
增函数
减函数
增函数
x∈(-∞,0)时,y∈(1,
x∈(0,+∞)时,y∈(0,
x∈(-∞,0)时,y∈(0,1
x∈(0,+∞)时,y∈(1,+
x∈(0,1)时,y∈(0,+
x∈(1,+∞)时,y∈(-
∞x∈(0,1)时,y∈(-∞,
∞x∈(1,+∞)时,y∈(0,
a
a>b
a
a>b
表2
幂函数y=xα(α∈R)
α=p
q
α<0
0<α<1
α>1
α=1
p为奇数q为奇数
奇函数
p为奇数q为偶数
p为偶数q为奇数
偶函数
第一象限
性质
减函数
增函数
过定点
(0,1)
高中数学知识点2
一、直线与方程
(1)直线的倾斜角
定义:
x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。
特别地,当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。
因此,倾斜角的取值范围是0°≤α<180°
(2)直线的斜率
①定义:
倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。
直线的斜率常用k表示。
即
k=tanα。
斜率反映直线与轴的倾斜程度。
当α∈[0,90)时,k≥0;当α∈(90,180)时,k<0;当α=90时,k不存在。
y2-y1
②过两点的直线的斜率公式:
k=
x2-x1
(x1≠x2)
注意下面四点:
(1)当x1=x2时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角为90°;
(2)k与P1、P2的顺序无关;(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得;(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。
(3)直线方程
①点斜式:
y-y1=k(x-x1)直线斜率k,且过点(x1,y1)
注意:
当直线的斜率为0°时,k=0,直线的方程是y=y1。
当直线的斜率为90°时,直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示.但因l上每一点的横坐标都等于x1,所以它的方程是x=x1。
②斜截式:
y=kx+b,直线斜率为k,直线在y轴上的截距为b
③两点式:
y-y1
=x-x1
(x≠x,y≠y
)直线两点(x,y),(x,y)
y2-y1
④截矩式:
x+y=1
ab
x2-x1
1212
1122
其中直线l与x轴交于点(a,0),与y轴交于点(0,b),即l与x轴、y轴的截距分别为a,b。
⑤一般式:
Ax+By+C=0(A,B不全为0)注意:
○1各式的适用范围○2特殊的方程如:
平行于x轴的直线:
y=b(b为常数);平行于y轴的直线:
x=a(a为常数);
(5)直线系方程:
即具有某一共同性质的直线
(一)平行直线系
平行于已知直线A0x+B0y+C0=0(A0,B0是不全为0的常数)的直线系:
A0x+B0y+C=0(C为常数)
(二)过定点的直线系
(ⅰ)斜率为k的直线系:
y-y0=k(x-x0),直线过定点(x0,y0);
(ⅱ)过两条直线l1:
A1x+B1y+C1=0,l2:
A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程为
(A1x+B1y+C1)+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ为参数),其中直线l2不在直线系中。
(6)两直线平行与垂直
当l1:
y=k1x+b1,l2:
y=k2x+b2时,
l1//l2⇔k1=k2,b1≠b2;l1⊥l2⇔k1k2=-1
注意:
利用斜率判断直线的平行与垂直时,要注意斜率的存在与否。
(7)两条直线的交点
l1:
A1x+B1y+C1=0l2:
A2x+B2y+C2=0相交
⎧Ax+By+C=0
交点坐标即方程组⎨11
1的一组解。
⎩A2x+B2y+C2=0
方程组无解⇔l1//l2;方程组有无数解⇔l1与l2重合
(8)两点间距离公式:
设A(x1,y1),B(x2,y2)是平面直角坐标系中的两个点,
21
则
|AB|=
Ax0+By0+C
A2+B2
(9)点到直线距离公式:
一点P(x0,y0)到直线l1:
Ax+By+C=0的距离d=
(10)两平行直线距离公式在任一直线上任取一点,再转化为点到直线的距离进行求解。
二、圆的方程
1、圆的定义:
平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆,定点为圆心,定长为圆的半径。
2、圆的方程
(1)标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2,圆心(a,b),半径为r;
(2)一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0
ç-
当D2+E2-4F>0时,方程表示圆,此时圆心为⎛
⎝
D,-2
E⎫,半径为
D2+E2-4F
r=
⎪
2⎭2
当D2+E2-4F=0时,表示一个点;当D2+E2-4F<0时,方程不表示任何图形。
(3)求圆方程的方法:
一般都采用待定系数法:
先设后求。
确定一个圆需要三个独立条件,若利用圆的标准方程,需求出a,b,r;若利用一般方程,需要求出D,E,F;
另外要注意多利用圆的几何性质:
如弦的中垂线必经过原点,以此来确定圆心的位置。
3、直线与圆的位置关系:
直线与圆的位置关系有相离,相切,相交三种情况,基本上由下列两种方法判断:
Aa+Bb+C
A2+B2
(1)设直线l:
Ax+By+C=0,圆C:
(x-a)2+(y-b)2=r2,圆心C(a,b)到l的距离为d=,
则有d>r⇔l与C相离;d=r⇔l与C相切;d(2)设直线l:
Ax+By+C=0,圆C:
(x-a)2+(y-b)2=r2,先将方程联立消元,得到一个一元二次方程之后,令其中的判别式为∆,则有
0
∆<0⇔l与C相离;∆=0⇔l与C相切;∆>0⇔l与C相交
注:
如果圆心的位置在原点,可使用公式xx0点坐标,r表示半径。
(3)过圆上一点的切线方程:
+
yy0
=r2去解直线与圆相切的问题,其中(x
y0
)表示切
①圆x2+y2=r2,圆上一点为(x0,y0),则过此点的切线方程为xx0
+
yy0
=r2
(课本命题).
②圆(x-a)2+(y-b)2=r2,圆上一点为(x0,y0),则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2(课本命题的推广).
4、圆与圆的位置关系:
通过两圆半径的和(差),与圆心距(d)之间的大小比较来确定。
设圆C
:
(x-a)2+(y-b)2=r2,C
:
(x-a
)2+(y-b
)2=R2
111222
两圆的位置关系常通过两圆半径的和(差),与圆心距(d)之间的大小比较来确定。
当d>R+r时两圆外离,此时有公切线四条;
当d=R+r时两圆外切,连心线过切点,有外公切线两条,内公切线一条;当R-r当d=
当d<
R-r时,两圆内切,连心线经过切点,只有一条公切线;
R-r时,两圆内含;当d=0时,为同心圆。
三、立体几何初步
1、柱、锥、台、球的结构特征
(1)棱柱:
定义:
有两个面互相平行,其余各面都是四边形