初三数学复习研究528142933327.docx
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初三数学复习研究528142933327
初三数学复习研究
直角坐标系在几何中的应用
大屯煤电集团公司第二中学柯华
初中数学包含两部分,大致分为八个模块,几何分为:
三角形和四边形、相似形、解直角三角形、圆;代数分为:
数与式、方程、函数、统计。
直角坐标系在几何和代数中起到了桥梁和纽带的作用,它能把代数和几何有机的联系在一起。
直角坐标系的复习是重要的复习内容。
复习时,总结归纳如下三个方面:
一、关键选题,以题带点。
复习直角坐标系的有关知识和概念,如坐标系的有关名称、象限、坐标的特点以及两点间的距离。
如果按照常规模式复习这些知识,半节课都讲不完,并且会使学生感觉枯燥无味;如果选好题,以题带点,学生的学习兴趣会明显提高,学习效果就会明显不同。
例如:
如图所示,在直角坐标系中,有一个边长为2的等边△ABC,边AB落在x轴的正半轴上,顶点A与原点重合,另一顶点C在第一象限,请写出△ABC三个顶点的坐标。
选择此题,就能把直角坐标系的有关概念和知识都复习到,并且还能巩固三角形的有关知识以及勾股定理。
△ABC的三个顶点坐标就很清楚了;A(0,0),B(2,0),C(1,
)。
这样,既复习了基础,又掌握了数学方法;既抓住了重点,又提高了复习效果。
二、精讲串讲,举一反三。
复习课要抓重点,要把相关知识点有机地融为一体,使学生明白数学的整合性。
设计合适的例题进行精讲,并且在此基础上串讲相关知识点。
如上例,改变△ABC位置,绕点A顺时针旋转90°,让学生自己操作,这时,△ABC会落在直角坐标系什么位置?
如图所示:
这样,既培养了学生的动手操作能力,又能提高学生的想象能力。
老师可以借助“几何画板”演示三角形的旋转,进一步验证学生的操作的正确性。
这时,再让学生写出点B'、C'的坐标。
并求CC'两点间的距离。
求两点间的距离可用两点间的距离公式,也可以用勾股定理。
这样复习,既复习了公式、定理,又有效地将两个知识点结合在一起,同时,学生又掌握了解题的方法和技巧。
在此基础上进一步地引导学生思考:
如果将三角形逆时针旋转呢?
旋转角分别为30°、45°、60°图形又如何呢?
再进一步引导学生思考:
如果把上面例题中的三角形转换成正方形,又该如何求正方形的顶点坐标呢?
如图所示,边长为4的正方形ABCD,点A在x轴的负半轴上,点B在y轴的正半轴上,点C、D落在第二象限,边AB与x轴的夹角为45°,写出正方形ABCD的顶点坐标。
分析:
A、B两点在坐标轴上,边AB与x轴的夹角为45°,边长为4,所以△AOB是等腰直角三角形,根据锐角三角比或勾股定理,易求出OA、OB的长。
可知A点坐标(-2
0),B点坐标(0,2
)。
求C、D两点的坐标,可连结AC、BD,则AC⊥BD且互相平分。
可知点D与点B是关于直线AC对称,点C与点A关于直线BD对称,所以,D点坐标(-4
,2
),C点坐标(-2
,4
)。
如果一条抛物线经过正方形ABCD三个顶点A、B、D,怎样求抛物线的解析式呢?
这要用“待定系数法”来解决这个问题。
设所求抛物线的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0)。
将A、B、D三点的坐标代入解析式,得三元一次方程组,
解得,
b=2,c=2
。
所求的解析式为
。
此题综合性强,变化性大,复习面广,既复习了基础知识,如勾股定理、轴对称图形、待定系数法,又揭示了知识点之间的联系。
此题还可以进一步拓展,扩大知识面,增加复习量。
如果把直线型中的特殊图形变为曲线中的圆呢?
如图,点P在x轴的正半轴上,坐标为(1,0),以点P为圆心,作⊙P使圆经过点E(-1,0),且与y轴交于A、B两点。
(1)求AB弦的长;
(2)求过点A且与⊙P相切的直线的解析式;(3)判断直线
与⊙P的位置关系。
分析:
(1)由题意可知,半径PE=PA=2,OP=1,根据勾股定理得,A点坐标(0,
),再根据垂径定理得,弦AB的长为2
。
(2)根据切线的性质,直线AF垂直圆的半径PA,可证△AOP∽△FAP,得PF=4,F的坐标(-3,0),设直线AF的解析式y=kx+b,求得
,
即直线AF的解析式为
。
反过来,已知直线AF的解析式,求证直线AF是⊙P的切线。
(3)根据点到直线的距离,可求得圆心到直线的距离是
<2,所以,直线
与圆相交。
此题综合了圆与直线的判定和性质,又复习了勾股定理、相似三角形和函数解析式的求法——待定系数法。
由以上一个例题,拓展为三个例题,就把初中数学重点内容容纳、串联在一起。
例1,主要是直角坐标系的有关知识,侧重由点求坐标,图形的运动——旋转,两点间的距离公式与勾股定理的关系。
例2,主要是把正方形的有关知识与锐角三角比、二次函数联系在一起。
例3把一次函数、相似三角形、圆等有关知识有机融合在一起,重点知识得到强化巩固,学生明确各知识点之间的密切联系和内在关系。
三、讲练结合、题组练习
在知识环环相扣的基础上设计出应用性、综合性、开放性较强的题组,让学生“牵一发而动全身”,以最少的题目达到全方位的练习巩固和延伸。
题组练习除了让学生在回忆,再现已学过的基础知识和基本技能的同时,通过拓展和延伸,还可以使学生对已有知识有新的认识,获得与已有知识相关的新知识,并产生新的体会,就真正达到“温故而知新”的效果。
练习1、如图已知平行四边形OABC的边OA在x轴上,∠AOC=60°,OA=3,OC=2,
(1)求点B、点C的坐标;
(2)假设P、Q两点同时从O点出发,点P沿着OC、CB路线运动,点Q沿着射线OA运动,点P的速度是2个单位/秒,点Q的速度是1个单位/秒,当点P运动到点B时,点Q也相应停止。
设连结PQ与P、Q两点运动的路线所围成的图形的面积为y,运动的时间为t秒。
①求y与t之间的函数关系式并写出函数的定义域;②点P、Q在运动过程中,PQ是否可能与BC所在的直线垂直?
若存在,请求出t的值。
(3)PQ与AB是否平行?
分析:
1〉要分类讨论:
1当点P在OC上运动时,围成的图形是Rt△OPQ。
根据直角三角形面积公式,
,(0 ②当点P在CB上运动时,围成的图形是梯形,根据梯形的面积公式, 。 2〉当0 3〉当PC=OQ时,即2t-2=t,t=2秒。 直线PQ与BC所在的直线平行。 还可以将此题进一步拓展为: (4)求经过O、C、B三点的抛物线的解析式; (5)在抛物线的对称轴上是否存在点M,以点M为圆心,经过A、B两点的圆与OC相切? 练习2: 把平行四边形改为矩形。 如图,矩形OABC边OA在x轴正半轴上,点C在y轴上,点B在第一象限。 已知OA=3,OC=2,点P是对角线OB上的一点,且PB: OP=1: 2,将直线OB绕点P逆时针旋转,交边BC于点M,交x轴于点N。 (1)求证: ON=2BM; (2)设BM=x,△PON的面积为y,求y与x的函数解析式,并写出函数的定义域; (3)当直线MN在绕点P运动过程中,△PON是否为等腰三角形,若是等腰三角形,求x的值。 (4)如果将矩形折叠,使点A落在y轴上的点D(0,4)处,求折痕的长度 分析: (1)四边形OABC是矩形,BM//ON,△BPM∽△OPN, 所以, ,即ON=2BM. (2)设BM=x,则ON=2x,函数的解析式可由三角形的面积公式求得。 现在,只要过点P作垂线PE,根据三角形的相似比,可得高PE为 ,因此,△OPN的面积, ,函数的定义域是 。 (3)△OPN是等腰三角形,则有三种两边相等的情况,因此,要分类讨论。 ①当OP=PN时,则有x=2;②当OP=ON时, ;③当ON=PN时, 。 (4)翻折后图形如图所示,点A、D关于折痕GQ对称,线段GQ垂直平分线段AD,在Rt△AOD中,OA=3,OD=4,则AD=5,DQ= ,可证△DQG∽△DOA,得 ,所以,GQ= ,即折痕的长为 此题组涉及的知识点较多,运用的解题方法也比较灵活,是复习的重点和考试的热点。 并且题组设计有层次和梯度,能激发每个学生的参与热情,充分发挥学生的主体作用;实践应用性强,符合“课标”新要求;也有针对性和代表性,故能收到事半功倍的效果。 总之,如此复习直角坐标系,既复习了数学基础和方法,又训练了学生解题能力,更好地避免了学生的题海战术,减轻了学生的课业负担,最终达到了复习的目的。
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