小升初数学复习正反比例含练习题及答案讲课讲稿.docx

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小升初数学复习正反比例含练习题及答案讲课讲稿

小升初数学复习-正反比例（含练习题及答案）

小学数学总复习专题讲解及训练（八）

主要内容

正比例和反比例

学习目标

1、使学生结合实际情境认识成正比例和反比例的量，能根据正、反比例的意义判断两

种相关联的量是否成正比例或反比例。

2、使学生初步认识正比例的图像是一条直线，能利用给出的具有正比例关系的数据在

方格纸上画出相应的直线，能根据具有正比例关系的一个量的数值看图估计另一个

量的数值。

3、使学生在认识成正比例、反比例的量的过程中，初步体会数量之间相依互变的关系，

感受有效表示数量关系及其变化规律的不同数学模型，进一步提升思维水平。

4、使学生进一步体会数学与日常生活的密切联系，增强探索数学知识和规律的意识，

养成积极主动地参与学习活动的习惯，提高学好数学的信心。

考点分析

1、两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。

如果这两种量中相对应的两

个数的比的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们之间的关

系叫做正比例关系。

如果用字母ｘ和ｙ分别表示两种相关联的量，用ｋ表示它们的比值，正比例关系可

以用这样的式子来表示：

y

x

=K（一定）。

2、用“描点法”可以得到正比例的图像，正比例的图像是一条直线。

对照图像，能根

据一种量的值，估计另一种量相对应的值。

3、两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。

如果这两种量中相对应的两

个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们之间的关系叫做反比例关系。

如果用字母ｘ和ｙ分别表示两种相关联的量，用ｋ表示它们的积，反比例关系可以

用这样的式子来表示：

ｘｙ=K（一定）。

4、两个变量的比值一定，这两个变量成正比例；两个变量的积一定，这两个变量成反

比例；没有上述两种关系，这两个变量不成比例。

典型例题

例1、（正比例的意义）一列火车行驶的时间和路程如下表。

这两种量有什么关系？

时间/时123456⋯⋯

路程/千米120240360480600720⋯⋯

分析与解：

（1）从上表可以看出，表中有时间和路程两种量。

（2）从左往右看，时间扩大，路程也扩大；从右往左看，时间缩小，路程也

缩小。

所以它们是两种相关联的量。

（3）路程和时间的比值始终不变，

这个比值就是火车的行驶速度。

120

1

240

2

=120，

360

3

=120，

=120⋯⋯

通过观察和计算，我们对路程和时间的关系有两点发现：

第一点路程和时

间是两种相关联的量，也就是时间变化，路程也随着变化；第二点路程和

对应的时间的比的比值（也就是速度）是一定的，有这样的关系：

路程

时间

=

速度（一定）。

具备了这两个条件，我们就可以得到结论：

行驶的路程和时间成正比例关

系；行驶的路程和时间成正比例的量。

点评：

判断两种量是不是成正比例，分三步：

一看它们是不是相关联的两种量；二是看

一种量变化，另一种量是不是也随着变化；满足了前面两个条件，再看它们的比

值是否一定。

不要省去任何一步。

如果用字母ｘ和ｙ分别表示两种相关联的量，

用ｋ表示它们的比值，正比例关系可以用这样的式子来表示：

y

x

=K（一定）。

例2、（判断是否成正比例）

练习本的单价一定，买练习本的数量和总价是不是成正比例？

为什么？

分析与解：

根据正比例的意义，看两个变量的比值是否一定，如果两个变量的比值一定，

那么这两个变量就成正比例，反之，则不成正比例。

买练习本的数量和总价是两种相关联的量，它们与练习本的单价有下面的关

系：

买练习本的总价

数量

=练习本的单价（一定）

所以练习本的数量和总价成正比例。

例3、（正比例的图像）磁悬浮列车匀速行驶时，路程与时间的关系如下。

时间/分1234567⋯⋯

路程/千米7142128354249⋯⋯

（1）图中的点A表示时间为1分钟时，磁悬浮列车驶过的路程为7千米。

请你试着描

出其他各点。

（2）连接各点，它们在一条直线上吗？

（3）根据图像判断，列车运行2分半钟时，行驶的路程是多少千米？

行驶30千米大约

需要几分钟？

路程/千米

42

35

28

21

14

7●A

0

1234567时间/分

分析与解：

根据提供的各组数据描出图像的许多个点，再依次连成直线。

路程和时间相

对应的数的比值都是7，即速度一定，路程和时间成正比例，图像是一条

直线。

对照图像，可以根据时间的值估计出路程的值，也可以根据路程的

值估计出时间的值，估计时允许有一定的出入。

（1）描点、连线如图。

路程/千米

42●

35●

28●

21●

14●

7●A

0

1234567时间/分

（2）在一条直线上，因为路程和时间成正比例，正比例的图像是一条直线。

（3）根据图像，列车运行2分半钟时，行驶的路程是17.5千米；行驶30千米大约需

要4.3分钟。

例4、（辨析）圆的周长和直径成正比例，圆的面积和半径成正比例？

分析与解：

圆的周长和直径成正比例，而圆的面积和半径却不成正比例。

可列表判断。

半径/cm123456⋯⋯

直径/cm24681012⋯⋯

周长/cm6.2812.5618.8425.1231.437.68⋯⋯

面积/cm23.1412.5628.2650.2478.5113.04⋯⋯

圆的周长和直径的相对应的数的比值都是3.14，所以圆的周长和直径成正比例。

而圆

的面积和半径的相对应的数的比值是变化的，所以圆的面积和半径不成正比例。

圆的周长和直径成正比例，圆的面积和半径却不成正比例。

例5、（反比例的意义）

下表是王师傅加工一批零件时，每小时加工零件个数随时间变化的情况。

这两种量有什

么关系？

每小时加工零件的个数/个2030406080⋯⋯

加工的时间/时128643⋯⋯

分析与解：

（1）从上表可以看出，表中有每小时加工零件的个数和加工的时间两种量。

（2）从左往右看，每小时加工零件的个数扩大，加工的时间反而缩小；

从右往左看，每小时加工零件的个数缩小，加工的时间反而扩大。

所

以它们是两种相关联的量。

（3）每小时加工零件的个数和相对应的加

工的时间的积都始终不变，如20×12=240，30×8=240，40×

6=240⋯⋯而这个积就是这批零件的总个数。

通过观察和计算，我们发现：

每小时加工零件的个数和加工的时

间是两种相关联的量，每小时加工零件的个数随着加工的时间变化而

变化，但无论它们怎么变化，相对应的积是一定的，有这样的关系：

每小时加工零件的个数×加工的时间=零件的总个数（一定）。

所以每小时加工零件的个数和加工的时间成反比例的量，它们之间的

关系叫做反比例关系。

点评：

判断两种量是不是成反比例，和正比例一样，分三步：

一看它们是不是相关联的

两种量；二是看一种量变化，另一种量是不是也随着变化；满足了前面两个条件，

再看它们的乘积是否一定，进行判断。

不要省去任何一步。

如果用字母ｘ和ｙ分

别表示两种相关联的量，用ｋ表示它们的比值，正比例关系可以用这样的式子来

表示：

ｘｙ=K（一定）。

例6、（判断是否成反比例）

总产量一定，每公顷的产量和公顷数是不是成反比例？

为什么？

分析与解：

根据反比例的意义，看两个变量的乘积是否一定，如果两个变量的积一定，

那么这两个变量就成反比例，反之，则不成反比例。

每公顷的产量和公顷数是两种相关联的量，它们与总产量有下面的关系：

每公顷的产量×公顷数=总产量（一定）

所以每公顷的产量和公顷数成反比例。

例7、（辨析）和一定，一个加数和另一个加数成反比例。

分析与解：

判断两个变量是否成反比例，关键是看两个变量的乘积是否一定。

很明显，

和一定，两个加数的积是变化的，所以它们不成反比例。

和一定，一个加数和另一个加数不成反比例。

因为它们的积不一定。

点评：

有些相关联的量，虽然也是一种量变化，另一种量也随着变化，但它们不是积一

定，也不是比值一定，它们就不成比例。

像这样的还有：

人的跳高高度

和身高；减数一定，被减数和差等。

例8、（综合题1）

（1）长方形的面积一定，长和宽成反比例吗？

为什么？

（2）长方形的周长一定，长和宽成反比例吗？

为什么？

分析与解：

判断时可以用列表的方式列举数据，也可以根据计算的公式来推导。

（1）因为长方形的长×宽=长方形的面积（一定），所以长和宽成反比例。

（2）长方形的周长=（长+宽）×2，长方形的周长一定，长+宽的和一定，

但不是积一定，所以长和宽不成反比例。

例9、（综合题2）

分别说明大米的总千克数、每天吃的千克数和天数这三种量中，每两种量的比例关系。

（1）大米的总千克数一定，每天吃的千克数和天数；

（2）每天吃的千克数一定，大米的总千克数和天数；

（3）天数一定，大米的总千克数和每天吃的千克数。

分析与解：

在大米的总千克数、每天吃的千克数和天数这三种量中，当某一种量一定时，

另外两种量可能成正比例关系，也可能成反比例关系。

可以根据数量关系式

来判断。

（1）因为每天吃的千克数×天数=大米的总千克数（一定），所以大米的总千克数

一定时，每天吃的千克数和天数成反比例。

大米的总千克数

（2）因为=每天吃的千克数（一定），所以每天吃的千克数一定时，

天数

大米的总千克数和天数成正比例。

（3）因为

大米的总千克数

每天吃的千克数

=天数（一定），所以天数一定时，大米的总千克数和每

天吃的千克数成正比例。

（八）模拟试题

1、仔细观察每张表格，思考表格中两种量之间有关系吗？

有什么关系？

为什么？

表格1

数量/本13681020⋯⋯

总价/元41224324080⋯⋯

表格2

单价/元1.523456⋯⋯

总价/元6812162024⋯⋯

表格3用60元钱购买笔记本，笔记本的单价和可以购买的数量如下表：

单价/元1.523456⋯⋯

数量/本403020151210⋯⋯

2、用一批纸装订练习本，每本25页，可以装订400本。

如果要装订500本，每本有X页。

题中（）量一定，关系式：

（）○（）＝（）（一定），（）和（）

成（）比例。

3、一间会客室地面用边长0.3米的正方形地砖铺，需要640块。

如果改用边长0.4米的正

方形地砖，需要Y块。

题中（）量一定，关系式：

（）○（）＝（）（一定），（）

和（）成（）比例。

4、在圆柱的侧面积、底面周长、高这三种量中

当底面周长一定时，（）与（）成（）比例；

当高一定时，（）与（）成（）比例；

当侧面积一定时，（）与（）成（）比例。

5、在被除数、除数、商这三种量中，

当（）一定时，（）与（）成正比例；

当（）一定时，（）与（）成反比例；

6、当a×b＝c（a、b、c为三种量，且均不为0）。

（）一定，（）与（）成（）比例；

（）一定，（）与（）成（）比例；

（）一定，（）与（）成（）比例；

7、判断。

（1）、工作总量一定，工作效率和工作时间成反比例。

（）

（2）、图上距离和实际距离成正比例。

（）

（3）、X和Y表示两种变化的相关联的量，同时5X－7Y＝0，X和Y不成比例。

（）

（4）、分数的大小一定，它的分子和分母成正比例。

（）

（5）、在一定的距离内，车轮周长和它转动的圈数成反比例。

（）

（6）、两种相关联的量，不成正比例，就成反比例。

（）

（7）订阅《小学数学评价手册》的份数与所需钱数成正比例。

（）

（8）在400米赛跑中，跑步的速度和所用时间成反比例。

（）

（9）工作总量一定，已完成的量和未完成的量成反比例。

（）

（10）正方体的棱长和体积成正比例。

（）

（11）被除数一定，除数和商成反比例。

（）

（12）圆的周长和它的直径成正比例。

（）

8、判断下面每题中的两种量是不是成比例，如果成比例，成什么比例。

（1）、装配一批电视机，每天装配台数和所需的天数（）。

（2）、正方形的边长和周长（）。

（3）、水池的容积一定，水管每小时注水量和所用时间（）。

（4）、房间面积一定，每块砖的面积和铺砖的块数（）。

（5）、在一定时间里，加工每个零件所用的时间和加工零件的个数（）。

（6）、在一定时间里，每小时加工零件的个数和加工零件的个数（）。

9、思考：

明明三岁时体重12千克，十一岁时体重44千克。

于是小张就说：

“明明的体重和

身高成正比例。

”你认为小张的说法对吗？

为什么？

10、某造纸厂每小时造纸1.5吨，2小时、3小时┈┈各造纸多少吨？

（1）把下表填写完整。

造纸时间/时1234⋯⋯

造纸吨数/吨1.5⋯⋯

（2）根据表中的数据，在下图中描出造纸时间和造纸吨数对应的点，再把它们连起来。

吨数/吨

6

5

4

3

2

1

0

1234567时间/时

（3）造纸吨数与造纸时间成正比例吗？

为什么？

（4）根据图像判断，5小时造纸多少吨？

（八）参考答案：

1、仔细观察每张表格，思考表格中两种量之间有关系吗？

有什么关系？

为什么？

表格1

数量/本13681020⋯⋯

总价/元41224324080⋯⋯

4

1

=4，

12

3

=4，

24

6

=4⋯⋯

因为

总价

数量

=单价（一定），所以单价一定时，总价和数量成正比例。

表格2

单价/元1.523456⋯⋯

总价/元6812162024⋯⋯

6

1.5

=4，

8

2

=4，

12

3

=4⋯⋯

因为

总价

单价

=数量（一定），所以数量一定时，总价和单价成正比例。

表格3用60元钱购买笔记本，笔记本的单价和可以购买的数量如下表：

单价/元1.523456⋯⋯

数量/本403020151210⋯⋯

1.5×40=60，2×30=60，4×15=60⋯⋯

因为单价×数量=总价（一定），所以总价一定时，单价和数量成反比例。

2、用一批纸装订练习本，每本25页，可以装订400本。

如果要装订500本，每本有X页。

题中（纸的总页数）量一定，关系式：

（每本页数）×（装订本数）＝（纸

的总页数）（一定），（每本页数）和（装订本数）成（反）比例。

3、一间会客室地面用边长0.3米的正方形地砖铺，需要640块。

如果改用边长0.4米的正

方形地砖，需要Y块。

题中（会客室地面面积）量一定，关系式：

（每块砖的面积）×（砖的块数）

＝（会客室地面面积（）一定）（，每块砖的面积）和（砖的块数）成（反）

比例。

4、在圆柱的侧面积、底面周长、高这三种量中

当底面周长一定时，（侧面积）与（高）成（正）比例；

当高一定时，（侧面积）与（底面周长）成（正）比例；

当侧面积一定时，（底面周长）与（高）成（反）比例。

5、在被除数、除数、商这三种量中，

当（除数）一定时，（被除数）与（商）成正比例；

当（被除数）一定时，（除数）与（商）成反比例；

6、当a×b＝c（a、b、c为三种量，且均不为0）。

（c）一定，（a）与（b）成（反）比例；

（a）一定，（c）与（b）成（正）比例；

（b）一定，（c）与（a）成（正）比例；

7、判断。

（1）、工作总量一定，工作效率和工作时间成反比例。

（√）

（2）、图上距离和实际距离成正比例。

（×）

（3）、X和Y表示两种变化的相关联的量，同时5X－7Y＝0，X和Y不成比例。

（×）

（4）、分数的大小一定，它的分子和分母成正比例。

（√）

（5）、在一定的距离内，车轮周长和它转动的圈数成反比例。

（√）

（6）、两种相关联的量，不成正比例，就成反比例。

（×）

（7）订阅《小学数学评价手册》的份数与所需钱数成正比例。

（√）

（8）在400米赛跑中，跑步的速度和所用时间成反比例。

（√）

（9）工作总量一定，已完成的量和未完成的量成反比例。

（×）

（10）正方体的棱长和体积成正比例。

（×）

（11）被除数一定，除数和商成反比例。

（√）

（12）圆的周长和它的直径成正比例。

（√）

8、判断下面每题中的两种量是不是成比例，如果成比例，成什么比例。

（1）、装配一批电视机，每天装配台数和所需的天数（反比例）。

（2）、正方形的边长和周长（正比例）。

（3）、水池的容积一定，水管每小时注水量和所用时间（反比例）。

（4）、房间面积一定，每块砖的面积和铺砖的块数（反比例）。

（5）、在一定时间里，加工每个零件所用的时间和加工零件的个数（反比例）。

（6）、在一定时间里，每小时加工零件的个数和加工零件的个数（正比例）。

9、思考：

明明三岁时体重12千克，十一岁时体重44千克。

于是小张就说：

“明明的体重和

身高成正比例。

”你认为小张的说法对吗？

为什么？

答：

小张的说法是错误的，体重和身高不是两种相关联的量，体重和身高不成比例。

10、某造纸厂每小时造纸1.5吨，2小时、3小时┈┈各造纸多少吨？

（1）把下表填写完整。

造纸时间/时1234⋯⋯

造纸吨数/吨1.534.56⋯⋯

（2）根据表中的数据，在下图中描出造纸时间和造纸吨数对应的点，再把它们连起来。

吨数/吨

6●

5

●

4

3●

2

●

1

0

1234567时间/时

（3）造纸吨数与造纸时间成正比例吗？

为什么？

造纸吨数

因为

造纸时间

=每小时造纸吨数（一定），所以每小时造纸吨数一定时，造纸吨数与

造纸时间成正比例。

（4）根据图像判断，5小时造纸多少吨？

根据图像判断，5小时造纸7.5吨