周长最小值专题完整版师用.docx
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周长最小值专题完整版师用
周长最小值专题(完整版师用)
A.线段和最小值
两种基本模型
如图,要在街道旁修建一个奶站P,向居民区A、B提供牛奶,奶站
P应建在什么地方,才能使从A,B到它的距离之和最短?
为什么?
A(
求线段和最小值的一般步骤:
1选点P所在直线I为对称轴;画出点A的对称点A'
2连结对称点A'与B之间的线段,交直线I于点P,
点P即为所求的点,线段A'B的长就是AP+BP的最小值基本解法:
:
利用对称性,将“折”转“直”
基础训练
1.如图11,梯形ABCD中,AD//BC,AB=CD=AD=1,ZB=60°,
直线MN为梯形ABCD的对称轴,P为MN上一点,那么PC+PD
的最小值为
A.1B.C.D.2
试题分析:
连接AC,与MN所得交点即为所求P点,因为D与
2.如图4,菱形ABCD中,AB=2,/BAD=60°,E是AB的中点,
P是对角线AC上的一个动点,则PE+PB的最小值是
分析:
首先分解此图形,构建如图5模型,因为E、B在直线AC
的同侧,要在AC上找一点P,使PE+PB最小,关键是找出点B或
E关于AC的对称点。
如图6,由菱形的对称性可知点B和D关于
AC对称,连结DE,此时DE即为PE+PB的最小值,
图5图6
由/BAD=60°,AB二AD,AE=BE知,
DE323
2
故PE+PB的最小值为■.3。
2•如图,已知点A是半圆上一个三等分点,点B是弧AN的中点,点P是半径ON上的动点,若。
O的半径长为1,则AP+BP的最小
值为
作A关于MN的对称点A',根据圆的对称性,则A'必在圆上,
连接BA'交MN于P,连接PA,则PA+PB最小,此时PA+PB=PA
+PB=AB,连接OA、OA'、OB,
IPAP+BPK&JmI是迈・
B.三角形周长最小值
1.福建彰州)如图4,/AOB=45°,P是/AOB内一点,PO=10,
(福建彰州)如图4,/AOB=45°,P是ZAOB内一点,PO=10,Q、R分别是OA、
OB上的动点,求△PQR周长的最小值.
分析:
点P是角内部的一个定点,要在角的两边各确定一点使这三点连成的三角
形周长最小,只需将这三边的和转化为以两定点为端点的一条折线.
解:
分别作点P关于OA、OB的对称点Pi、P2,连结P1P2,
根据轴对称性易知:
OP1=OP2=OP=1O,ZP1OP2=2ZAOB=90°,因而
P1P2=210,
故△PQR周长的最小值为2J0.
2•如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(1,0),B(-3,0)两点,
(1)求该抛物线的解析式
(2)设
(1)中的抛物线交y轴于点C,在该抛物线的对称轴上是否存在点
Q,使得QAC的周长最小?
如果存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由。
(3)在第二象限的抛物线上是否存在一点P,是APBC的面积最大?
若存在,求出点P坐标
及APBC面积的最大值;若不存在,请说明理由
<4)若点M从B点臥毎秒扌个单位沿Ba方向向止点运动,同时,点II从
C点以每科农个单也问沿6方向A点运动,问t当为何煩时,以巧趴*为顶点的三角形与△<)蛮相佩?
重点分析第
(2)问,要使△QAC的周长最小即AC+CQ+QA最小,由于AC
长度一定,故只要CQ+QA最小时,周长最小。
设抛物线的对称轴为直线MN,则可分解出图形,构建模型,要在直线MN上找点Q,使CQ+QA最小。
由抛物线的对称性可知,点A、点B关于直线MN对称,连结BC交MN于点Q,只要找出点Q的位置,其坐标不难求得。
解:
(1)将A(110)!
B(7J□)代yr-x'+bx+C中得
(EK,Z
[-9—3沁二0
(b=-2JL
■J・心分)
咒抛物纸解析式为;尸-沪-力+3;W分}
(2)存在.C5分〕
理由如下:
由题知两点关于抛物线的对称曲対称,
;・StlBC与沪-1的交点即为Q点p曲时周辰最小,
'/y=-K"~2x+3)
二C的坐标为;(山"*
Siy=x+3i<6S)
k=-1.时iy=-H-3=2j
二点Q的坐标是Q(-1?
2)?
(?
分)
(3)存花.辽分)
则PE=(-x=-2x+3)-(t+3)=-xz-3i
■'■SA=FC=|xPEX[h-(-3)]4xpEX(0-k),
zz
(Kd+3x)r
当匸抽砸c的ffiiflw®大值,最大值是务
jLK
当孟二时*-:
r-2算+3二丄.
24
二点F坐标为(-右:
(11分》
14
go
奈上所逹,t为寸或F时,以恥恥N再顶点的三角形与山吒C相似.
3.如图,已知抛物线y=ax2+bx+c过A(3,3.5)、B(4,2)、C(0,2)三点,点P
是x轴上的动点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图甲所示,连接AC、CP、PB、BA,是否存在点P,使四边形ABPC为等腰梯形?
若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由;
(3)点H是题中抛物线对称轴I上的动点,如图乙所示,求四边形AHPB周长的最小值.
(1)利用待定系数法,将点A,B,C的坐标代入解析式即可求得;
(2)根据等腰梯形的判定方法分别从PC//AB与BP//AC去分析,注意不要漏解;
(3)首先确定点P与点H的位置,再求解各线段的长即可.
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二四12?
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B.四边形周长最小值
基本模型
(一)定长不动:
做双对称
思路与方法
1)总有两个已知点,即一条边是定值。
2)分别做两个已知点关于xy轴的对称点,则与两坐标轴的焦点就是所求两点
3)此时,两个对称点与坐标轴上的两个点在一条直线上,即四点共线,所以最小。
1•在直角坐标系中,设A(4,-5)B(8,-3)C(m,0)D(0,n),当四边形的周长最短时,m/n的值为.
【分祈】由于AB崔芮定值,四周長最姮其实atlAD+DC+BCt<^不妨作吕B点关于y轴的內亦点
―5)-A点关于工牺的对称fiV<-3.-3)再逹極AT1该亶珈F交注于G站轴于D,
求岀#沪的需ff戒•偲SD点的坐标优入首线方程,求出n.n的值即可・
如图所示,作B点关升轴的对祢点B1(8,3)>上点关于丫抽的对称点(-4--5)再连援
w,«s«rrsy轴千c,交轴于m
设直如V的解析式为护k沪b(k剂八把点XLQ,-5)iF⑶3)代入得,
HS—-4k-Z>①
(3=Sfct6②'
①一②得,k=|-代入②得,-
17
故此函埶的解析弍知y=^s---
33
、.2?
7
分别把C(mt0)!
D(0!
'n)All*jm-r=O>n---t
B177
wm=-fn=-y»
!
UZx(J)丄
n172
故吾臬为已-学
2
2.在直角坐标系中有四个点A(-6,3),B(-2,5),C(0,m),
D(n,0),当四边形ABCD周长最短时,贝Um+n=
C
D
0%
:
分析,设卫点关于孟釉的对称点为"・则!
(-6-^3)・蘋关于y轴的对称点是(2-5厂设盲莪A』
Bf解析式为y=kx-i-L?
ISA/<-6»-3)*B*(2^5)代入iWk=1?
所以尸n斗3,令慕=Q*得
y=3i令y=0、律k=-:
3,即m=3,n=-3»即i»+n=0-
:
觸音"解;丁四边形肺CD周岷最魁—定,
A5即$、0、匚■'片/孔議"
作A点关于孟轴的对称点曲、B点关于y轴的対称克是盼,设亘线ABz药尸宓小,
贝1|点,C-6^-3)、Bzg5>,
将其代i入亘绒中谒:
k=rW力
'■-y=x+3,
'-'C(0»m)aD(n»0)i
代入盲銭方程111,i?
=m二3,n=-3?
:
、m+ii=[J・
故填D■
- 配套讲稿:
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