直线与直线的位置关系 学生版.docx
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直线与直线的位置关系学生版
直线与直线的位置关系
学习目标:
1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.
2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.
3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离.
知识梳理
1.两直线的位置关系
平面上两条直线的位置关系包括平行、相交、重合三种情况.
(1)两直线平行
对于直线l1:
y=k1x+b1,l2:
y=k2x+b2,l1∥l2⇔________________________.
对于直线l1:
A1x+B1y+C1=0,
l2:
A2x+B2y+C2=0(A2B2C2≠0),l1∥l2⇔________________________.
(2)两直线垂直
对于直线l1:
y=k1x+b1,l2:
y=k2x+b2,l1⊥l2⇔k1·k2=____.
对于直线l1:
A1x+B1y+C1=0,
l2:
A2x+B2y+C2=0,l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=____.
2.两条直线的交点
两条直线l1:
A1x+B1y+C1=0,l2:
A2x+B2y+C2=0,
如果两直线相交,则交点的坐标一定是这两个方程组成的方程组的____;反之,如果这个方程组只有一个公共解,那么以这个解为坐标的点必是l1和l2的________,因此,l1、l2是否有交点,就看l1、l2构成的方程组是否有________.
3.有关距离
(1)两点间的距离
平面上两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离|P1P2|=_____________________.
(2)点到直线的距离
平面上一点P(x0,y0)到一条直线l:
Ax+By+C=0的距离d=________________________.
(3)两平行线间的距离
已知l1、l2是平行线,求l1、l2间距离的方法:
①求一条直线上一点到另一条直线的距离;
②设l1:
Ax+By+C1=0,l2:
Ax+By+C2=0,则l1与l2之间的距离d=________________.
自我检测
1.(2011·济宁模拟)若点P(a,3)到直线4x-3y+1=0的距离为4,且点P在不等式2x+y-3<0表示的平面区域内,则实数a的值为( )
A.7B.-7C.3D.-3
2.若直线l1:
y=k(x-4)与直线l2关于点(2,1)对称,则直线l2恒过定点( )
A.(0,4)B.(0,2)C.(-2,4)D.(4,-2)
3.已知直线l1:
ax+by+c=0,直线l2:
mx+ny+p=0,则
=-1是直线l1⊥l2的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4.(2009·上海)已知直线l1:
(k-3)x+(4-k)y+1=0与l2:
2(k-3)x-2y+3=0平行,则k的值是( )
A.1或3B.1或5C.3或5D.1或2
5.已知2x+y+5=0,则
的最小值是________.
知识研究
探究点一 两直线的平行与垂直
例1已知两条直线l1:
ax-by+4=0和l2:
(a-1)x+y+b=0.求满足以下条件的a、b的值:
(1)l1⊥l2且l1过点(-3,-1);
(2)l1∥l2,且原点到这两条直线的距离相等.
变式迁移1 已知直线l1:
ax+2y+6=0和直线l2:
x+(a-1)y+a2-1=0,
(1)试判断l1与l2是否平行;
(2)l1⊥l2时,求a的值.
探究点二 直线的交点坐标
例2已知直线l1:
4x+7y-4=0,l2:
mx+y=0,l3:
2x+3my-4=0.当m为何值时,三条直线不能构成三角形.
变式迁移2 △ABC的两条高所在直线的方程分别为2x-3y+1=0和x+y=0,顶点A的坐标为(1,2),求BC边所在直线的方程.
探究点三 距离问题
例3(2011·厦门模拟)已知三条直线:
l1:
2x-y+a=0(a>0);l2:
-4x+2y+1=0;l3:
x+y-1=0.且l1与l2的距离是
.
(1)求a的值;
(2)能否找到一点P,使P同时满足下列三个条件:
①点P在第一象限;
②点P到l1的距离是点P到l2的距离的
;
③点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是
∶
.
若能,求点P的坐标;若不能,说明理由.
变式迁移3 已知直线l过点P(3,1)且被两平行线l1:
x+y+1=0,l2:
x+y+6=0截得的线段长为5,求直线l的方程.
例4.已知直线l:
2x-3y+1=0,点A(-1,-2).求:
(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标;
(2)直线m:
3x-2y-6=0关于直线l的对称直线m′的方程;
(3)直线l关于点A(-1,-2)对称的直线l′的方程.
课堂练习
1.直线3x+2y+4=0与2x-3y+4=0( )
A.平行B.垂直C.重合D.关于直线y=-x对称
2.(2011·六安月考)若直线x+ay-a=0与直线ax-(2a-3)y-1=0互相垂直,则a的值是( )
A.2B.-3或1C.2或0D.1或0
3.已知直线l的倾斜角为
,直线l1经过点A(3,2)、B(a,-1),且l1与l垂直,直线l2:
2x+by+1=0与直线l1平行,则a+b等于( )
A.-4B.-2C.0D.2
4.P点在直线3x+y-5=0上,且点P到直线x-y-1=0的距离为
,则P点坐标为( )
A.(1,2)B.(2,1)C.(1,2)或(2,-1)D.(2,1)或(-1,2)
5.设两条直线的方程分别为x+y+a=0,x+y+b=0,已知a、b是方程x2+x+c=0的
两个实根,且0≤c≤
,则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是( )
A.
,
B.
,
C.
,
D.
,
6.(2011·重庆云阳中学高三月考)直线l1:
x+my+6=0和l2:
3x-3y+2=0,若l1∥l2,则m的值为______.
7.设直线l经过点(-1,1),则当点(2,-1)与直线l的距离最大时,直线l的方程为______________.
8.若直线m被两平行线l1:
x-y+1=0与l2:
x-y+3=0所截得的线段的长为2
,则m的倾斜角可以是
①15° ②30° ③45° ④60° ⑤75°
其中正确答案的序号是________.
9.(2011·福州模拟)k为何值时,直线l1:
y=kx+3k-2与直线l2:
x+4y-4=0的交点在第一象限.
10.已知点P1(2,3),P2(-4,5)和A(-1,2),求过点A且与点P1,P2距离相等的直线方程.
11.(2011·杭州调研)过点P(3,0)作一直线,使它夹在两直线l1:
2x-y-2=0与l2:
x+y+3=0之间的线段AB恰被点P平分,求此直线的方程.
课后作业
1.直线l过点(-1,2)且与直线2x-3y+4=0垂直,则l的方程是( )
A.3x+2y-1=0B.3x+2y+7=0C.2x-3y+5=0D.2x-3y+8=0
2.直线ax+2y-1=0与直线2x-3y-1=0垂直,则a的值为( )
A.-3B.-
C.2D.3
3.(2014·济南模拟)已知两条直线l1:
(a-1)x+2y+1=0,l2:
x+ay+3=0平行,则a=( )
A.-1B.2C.0或-2D.-1或2
4.已知直线l1:
(k-3)x+(4-k)y+1=0与l2:
2(k-3)x-2y+3=0平行,则k的取是( )
A.1或3B.1或5C.3或5D.1或2
5.两直线3x+y-3=0与6x+my+1=0平行,则它们之间的距离为( )
A.4B.
C.
D.
6.(2015·成都检测)已知直线l1的方程为3x+4y-7=0,直线l2的方程为6x+8y+1=0,则直线l1与l2的距离为( )
A.
B.
C.4D.8
7.已知直线3x+4y-3=0与直线6x+my+14=0平行,则它们之间的距离是( )
A.1B.2C.
D.4
8.(2015·金华调研)当0 时,直线l1: kx-y=k-1与直线l2: ky-x=2k的交点在( ) A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 9.过点A(1,2)且与原点距离最大的直线方程为( ) A.x+2y-5=0B.2x+y-4=0C.x+3y-7=0D.3x+y-5=0 10.设a∈R,则“a=1”是“直线l1: ax+2y-1=0与直线l2: x+2y+4=0平行”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 11.设a∈R,则“a=1”是“直线l1: ax+2y-1=0与直线l2: x+(a+1)y=0平行”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 12.已知直线l的倾斜角为 ,直线l1经过点A(3,2),B(a,-1),且l1与l垂直,直线l2: 2x+by+1=0与直线l1平行,则a+b=( ) A.-4B.-2C.0D.2 13.若直线l1: y=k(x-4)与直线l2关于点(2,1)对称,则直线l2经过定点( ) A.(0,4)B.(0,2)C.(-2,4)D.(4,-2) 14.(2014·泉州一模)若点(m,n)在直线4x+3y-10=0上,则m2+n2的最小值是( ) A.2B.2 C.4D.2 15.如图所示,已知两点A(4,0),B(0,4),从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上,最后经直线OB反射后又回到P点,则光线所经过的路程是( ) A.2 B.6 C.3 D.2 16.若直线l1: y=k(x-4)与直线l2关于点(2,1)对称,则直线l2恒过定点( ) A.(0,4)B.(0,2)C.(-2,4)D.(4,-2) 17.已知两直线l1: mx+y-2=0和l2: (m+2)x-3y+4=0与两坐标轴围成的四边形有外接圆,则实数m的值为( ) A.1或-3B.-1或3C.2或 D.-2或 18.已知直线l1: ax+3y-1=0与直线l2: 2x+(a-1)y+1=0垂直,则实数a=________. 19.若三条直线y=2x,x+y=3,mx+2y+5=0相交于同一点,则m的值为________. 20.(2015·秦皇岛检测)已知直线l过点P(3,4)且与点A(-2,2),B(4,-2)等距离,则直线l的方程为________. 21.与直线2x+3y+5=0平行,且距离等于 的直线方程是______________. 22.直线Ax+3y+C=0与直线2x-3y+4=0的交点在y轴上,则C的值为________. 23.若直线ax+2y+3a=0与直线3x+(a-1)y=-7+a平行,则实数a=________. 24.(2014·四川卷)设m∈R,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于点P(x,y),则|PA|·|PB|的最大值是________. 25.若y=a|x|的图像与直线y=x+a(a>0)有两个不同的交点,则a的取值范围是________. 26.已知 + =1(a>0,b>0),则点(0,b)到直线3x-4y-a=0的距离的最小值是________. 27.已知三条直线: l1: 2x-y+a=0(a>0);l2: -4x+2y+1=0;l3: x+y-1=0,且l1与l2间的距离是 . (1)求a的值; (2)能否找到一点P,使P同时满足下列三个条件: ①点P在第一象限; ②点P到l1的距离是点P到l2的距离的 ; ③点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是 ∶ .若能,求点P的坐标;若不能,说明理由. 28.已知两直线l1: mx+8y+n=0和l2: 2x+my-1=0,试确定m、n的值,使 (1)l1与l2相交于点P(m,-1); (2)l1∥l2; (3)l1⊥l2,且l1在y轴上的截距为-1. 29.已知两条直线l1: ax-by+4=0和l2: (a-1)x+y+b=0,求满足下列条件的a、b的值. (1)l1⊥l2,且l1过点(-3,-1); (2)l1∥l2,且坐标原点到这两条直线的距离相等. 30.过点P(0,1)作直线l使它被直线l1: 2x+y-8=0和l2: x-3y+10=0截得的线段被点P平分,求直线l的方程. 31.在直线l: 3x-y-1=0上求一点P,使得P到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大.
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