6机械能专题.docx

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6机械能专题

专题四：

机械能及功能关系

●思维导图：

内容

要求

功和功率

动能和动能定理

重力做功与重力势能

功能关系、机械能守恒定律及其应用

II

II

II

II

实验：

探究动能定理

实验：

验证机械能守恒定律

II

II

一．功和功率

[基础导引]

1．图1表示物体在力F的作用下在水平面上发生了一段位移l，分别计算这三种情形下力对物体做的功．设这三种情形下力和位移的大小都相同：

F＝10N，l＝2m．角θ的大小如图所示．

图1

2．用起重机把重量为2×104N的物体匀速地提高了5m，钢绳的拉力做了多少功？

重力做了多少功？

物体克服重力做了多少功？

这些力所做的总功是多少？

[知识梳理]

1．功的定义：

力对物体所做的功，等于力的大小、位移的大小、力与位移夹角的余弦这三者的乘积．

2．功的计算公式：

W＝________.

特别提醒　只适用于恒力做功的计算．

3．力做功的两个必要因素：

力和物体在____________发生的位移．

4．功是________，没有方向，但有正、负之分．

思考：

“正功”、“负功”的物理意义是什么？

“正功”、“负功”中的“＋”、“－”号表示功的大小吗？

[基础导引]

1．运动员在某次体能训练中，用100s的时间跑上了20m高的高楼．那么，与他登楼时的平均功率最接近的估测值是（　　）

A．10WB．100WC．1kWD．10kW

2．某型号汽车发动机的额定功率为60kW，在水平路面上行驶时受到的阻力是1800N，求发动机在额定功率下汽车匀速行驶的速度？

在同样的阻力下，如果以较低的速度54km/h行驶时，发动机输出的实际功率是多少？

[知识梳理]

1．功率的定义：

功跟完成这些功所用________的比值．

2．功率的物理意义：

描述做功的________．

3．功率的两个公式

（1）P＝

，P为时间t内的____________．

（2）P＝Fvcosα（α为F与v的夹角）

①v为平均速度，则P为____________．

②v为瞬时速度，则P为____________．

4．额定功率：

机械____________时输出的________功率．

5．实际功率：

机械____________时输出的功率．实际功率往往小于____________．

思考：

对机车的功率P＝Fv，式中F为机车的牵引力，还是机车的合外力？

考点一　功的计算

考点解读

1．恒力做功的计算公式W＝Flcosα，其中F为恒力，l是物体相对地面的位移，而不是相对于和它接触的物体的位移．

2．变力做功的计算

（1）用动能定理W＝ΔEk计算

（2）当变力做功的功率一定时，用功率和时间计算：

W＝Pt.

（3）将变力做功转化为恒力做功．

3．总功的计算：

（1）先求物体所受的合外力，再求合外力的功；

（2）先求每个力做的功，再求各力做功的代数和．

典例剖析

例1　如图2所示，质量为m的物体静止在倾角为θ的斜面上，物体

与斜面间的动摩擦因数为μ，现使斜面水平向左匀速移动距离l.

（1）摩擦力对物体做的功为（物体与斜面相对静止）（　　）

A．0B．μmglcosθ图2

C．－mglsinθcosθD．mglsinθcosθ

（2）斜面对物体的弹力做的功为（　　）

A．0B．mglsinθcos2θ

C．－mglcos2θD．mglsinθcosθ

（3）重力对物体做的功为（　　）

A．0B．mgl

C．mgltanθD．mglcosθ

（4）斜面对物体做的功是多少？

各力对物体所做的总功是多少？

跟踪训练1　如图3所示，水平路面上有一辆质量为M的汽车，

车厢中有一质量为m的人正用力F向前推车厢．

（1）当车匀速向前行驶距离L的过程中，人推车的力做了多少功？

人对车做了多少功？

车对人做了多少功？

图3

（2）若车以加速度a向后行驶距离L的过程中，人推车的力做了

多少功？

人对车做了多少功？

车对人做了多少功？

考点二　判断功的正负

考点解读

判断正负功的方法

（1）根据力的方向和位移的方向的夹角α判断功的正负．

（2）从能量角度入手，根据功是能量转化的量度进行判断．若有能量转化，则必有力对物体做功．此法既适用于恒力做功，也适用于变力做功．

（3）看力F与物体运动速度方向之间的夹角α的大小．若α＝90°，则力F不做功；若α<90°，则力F做正功；若α>90°，则力F做负功（或者说物体克服力F做功）．此法常用于判断曲线运动中力做功的情况．

典例剖析

例2　如图4所示，小物体位于光滑斜面上，斜面位于光滑的水

平地面上．从地面上看，在小物体沿斜面下滑过程中，斜面对

物体的作用力（　　）

A．不垂直接触面，做功为零图4

B．垂直接触面，做功为零

C．垂直接触面，做功不为零

D．不垂直接触面，做功不为零

跟踪训练2　物体在合外力作用下做直线运动的v－t图象如

图5所示．下列表述正确的是（　　）

A．在0～1s内，合外力做正功

B．在0～2s内，合外力总是做负功

C．在1～2s内，合外力不做功图5

D．在0～3s内，合外力总是做正功

考点三　功率的两个公式P＝

和P＝Fv的区别

考点解读

1．P＝

是功率的定义式，P＝Fv是功率的计算式．

2．在计算中，P＝

只能计算平均值，而P＝Fv能计算平均值和瞬时值．

（1）若v是瞬时值，则计算出的功率是瞬时值．

（2）若v是平均值，则计算出的功率是平均值．

3．应用公式P＝Fv时需注意

（1）F与v方向在同一直线上时：

P＝Fv.

（2）F与v方向有一夹角α时：

P＝Fvcosα.

典例剖析

例3　如图6所示，水平传送带正以v＝2m/s的速度运行，两端

水平距离l＝8m，把一质量m＝2kg的物块轻轻放到传送带的

A端，物块在传送带的带动下向右运动．若物块与传送带间的

动摩擦因数μ＝0.1，不计物块的大小，g取10m/s2，则把这个图6

物块从A端传送到B端的过程中，摩擦力对物块做功的平均功

率是多少？

1s时，摩擦力对物体做功的功率是多少？

皮带克服

摩擦力做功的功率是多少？

跟踪训练3　质量为m的物体静止在光滑水平面上，从t＝0时

刻开始受到水平力的作用．力的大小F与时间t的关系如图7

所示，力的方向保持不变，则（　　）

A．3t0时刻的瞬时功率为

B．3t0时刻的瞬时功率为

C．在t＝0到3t0这段时间内，水平力的平均功率为

图7

D．在t＝0到3t0这段时间内，水平力的平均功率为

考点四　机动车两种启动方式

考点解读

对机动车等交通工具，在启动的时候，通常有两种启动方式，即以恒定功率启动和以恒定加速度启动．现比较如下：

两种方式

以恒定功率启动

以恒定加速度启动

P－t图和v－t图

OA段

过程分析

v↑⇒F＝

↓

⇒a＝

↓

a＝

不变⇒F不变

P＝Fv↑直到P额＝Fv1

运动性质

加速度减小的加速直线运动

匀加速直线运动，维持时间t0＝

AB段

过程分析

F＝F阻⇒a＝0⇒F阻＝

v↑⇒F＝

↓⇒a＝

↓

运动性质

以vm匀速直线运动

加速度减小的加速运动

BC段

无

F＝F阻⇒a＝0⇒以vm＝

匀速运动

特别提醒　图表中的v1为机车以恒定加速度启动时匀加速运动的末速度，而vm为机车以额定功率运动时所能达到的最大速度．

典例剖析

例4　在检测某种汽车性能的实验中，质量为3×103kg的汽车由静止开始沿平直公路行驶，达到的最大速度为40m/s，利用传感器测得此过程中不同时刻该汽车的牵引力F与对应速度v，并描绘出如图8所示的F－

图象（图线ABC为汽车

由静止到最大速度的全过程，AB、BO均为直线）．假设该汽车行驶中所受的阻力恒定，根据图线ABC，求：

图8

（1）该汽车的额定功率；

（2）该汽车由静止开始运动，经过35s达到最大速度40m/s，求其在BC段的位移．

跟踪训练4　质量为m的汽车在平直路面上启动，启动过程的速度—时间图象如图9所示．从t1时刻起汽车的功率保持不变，整个运动过程中汽车所受阻力恒为Ff，则（　　）

A．0～t1时间内，汽车的牵引力等于m

B．t1～t2时间内，汽车的功率等于（m

＋Ff）v1

C．汽车运动的最大速度v2＝

v1图9

D．t1～t2时间内，汽车的平均速度小于

例5　某力F＝10N作用于半径R＝1m的转盘的边缘上，力F的大小保持不变，但方向始终保持与作用点的切线方向一致，则转动一周的过程中这个力F做的总功应为（　　）

A．0B．20πJC．10JD．20J

例6　用铁锤将一铁钉击入木块，设木块对铁钉的阻力与铁钉进入木块内的深度成正比．铁锤击打第一次后，能把铁钉击入木块内1cm.则击打第二次后，能击入多少深度？

（设铁锤每次做功相等）

方法提炼　求变力功的几种方法

1．微元法

当物体在变力的作用下做曲线运动时，若力的方向与物体运动的切线方向之间的夹角不变，且力与位移的方向同步变化时，可用微元法将曲线分成无限个小段，每一个小段可认为是恒力做功，总功即为各个小段做功的代数和．

2．平均力法

如果参与做功的变力，其方向不变，而大小随位移线性变化，则可求出平均力等效代入公式W＝

lcosα求解．

3．图象法

如果参与做功的变力方向与位移方向始终一致而大小随位移变化，我们可作出该力随位移变化的图象．那么图线与坐标轴所围成的面积，即为变力做的功．

4．功率法

用W＝Pt求恒定功率下的变力（如汽车、轮船的牵引力）做功．

跟踪训练5　如图10所示，某人用大小不变的力F拉着放在光滑水

平面上的物体，开始时与物体相连接的绳与水平面间的夹角是α，

当拉力F作用一段时间后，绳与水平面间的夹角为β.已知图中的

高度是h，求绳的拉力FT对物体所做的功．假定绳的质量、滑轮图10

质量及绳与滑轮间的摩擦不计．

　　【巩固提升】

A组　功的判断与计算

1．物体沿直线运动的v－t关系如图11所示，已知在第1秒内合外力对物体做的功为W，则（　　）

图11

A．从第1秒末到第3秒末合外力做功为4W

B．从第3秒末到第5秒末合外力做功为－2W

C．从第5秒末到第7秒末合外力做功为W

D．从第3秒末到第4秒末合外力做功为－1.5W

2．一人乘电梯从1楼到20楼，在此过程中经历了先加速、后匀速、再减速的运动过程，则电梯支持力对人做功情况是（　　）

A．加速时做正功，匀速时不做功，减速时做负功

B．加速时做正功，匀速和减速时做负功

C．加速和匀速时做正功，减速时做负功

D．始终做正功

3.如图12所示，木板质量为M，长度为L，小木块（可视为质点）的

质量为m，水平地面光滑．一根不计质量的轻绳通过定滑轮分别

与木板和小木块连接，小木块与木板间的动摩擦因数为μ，开

始时小木块静止在木板左端．现用水平向右的力将小木块拉至木图12

板右端，拉力至少做功为（　　）

A.

B．2μmgLC．μmgLD．μ（M＋m）gL

B组　功率的计算及分析

4．如图13所示，汽车通过轻质光滑的定滑轮，将一个质量为m的

物体从井中拉出，绳与汽车连接点距滑轮顶点高A，开始时物体

静止，滑轮两侧的绳都竖直绷紧，汽车以v向右匀速运动，运动

到跟汽车连接的细绳与水平方向的夹角为30°，则（　　）

A．从开始到绳与水平方向的夹角为30°时，拉力做功mgh

B．从开始到绳与水平方向的夹角为30°时，拉力做功mgh＋

mv2图13

C．在绳与水平方向的夹角为30°时，拉力功率为mgv

D．在绳与水平方向的夹角为30°时，拉力功率小于

mgv

5．汽车以额定功率在平直公路上匀速行驶，在t1时刻司机减小了油门，使汽车的功率立即减小一半，并保持该功率继续行驶，到t2时刻汽车又开始做匀速直线运动（设整个过程中汽车所受的阻力不变），则在t1～t2的这段时间内（　　）

A．汽车的加速度先减小后增大　　B．汽车的加速度逐渐增大

C．汽车的速度逐渐减小D．汽车的速度逐渐增大

二．动能和动能定理

[基础导引]

关于某物体动能的一些说法，正确的是（　　）

A．物体的动能变化，速度一定变化

B．物体的速度变化，动能一定变化

C．物体的速度变化大小相同时，其动能变化大小也一定相同

D．选择不同的参考系时，动能可能为负值

E．动能可以分解到两个相互垂直的方向上进行运算

[知识梳理]

1．定义：

物体由于________而具有的能．

2．公式：

______________，式中v为瞬时速度．

3．矢标性：

动能是________，没有负值，动能与速度的方向______．

4．动能是状态量，动能的变化是过程量，等于__________减初动能，即ΔEk＝__________________.

思考：

动能一定是正值，动能的变化量为什么会出现负值？

正、负表示什么意义？

[基础导引]

1．质量是2g的子弹，以300m/s的速度射入厚度是5cm的木板（如图1

所示），射穿后的速度是100m/s.子弹射穿木板的过程中受到的平均阻

力是多大？

你对题目中所说的“平均”一词有什么认识？

图1

2．质量为500g的足球被踢出后，某人观察它在空中的飞行情况，估计上升的最大高度是10m，在最高点的速度为20m/s.根据这个估计，计算运动员踢球时对足球做的功．

[知识梳理]

内容

力在一个过程中对物体所做的功等于物体在这个过程中____________

表达式

W＝ΔEk＝________________

对定理

的理解

W>0，物体的动能________

W<0，物体的动能________

W＝0，物体的动能不变

适用

条件

（1）动能定理既适用于直线运动，也适用于________

（2）既适用于恒力做功，也适用于________

（3）力可以是各种性质的力，既可以同时作用，也可以____________

考点一　动能定理的基本应用

考点解读

1．应用动能定理解题的步骤

（1）选取研究对象，明确并分析运动过程．

（2）分析受力及各力做功的情况，求出总功．

→

→

→

→

→

（3）明确过程初、末状态的动能Ek1及Ek2.

（4）列方程W＝Ek2－Ek1，必要时注意分析题目潜在的条件，列辅助方程进行求解．

2．应用动能定理的注意事项

（1）动能定理中的位移和速度必须是相对于同一个参考系的，一般以地面或相对地面静止的物体为参考系．

（2）应用动能定理时，必须明确各力做功的正、负．当一个力做负功时，可设物体克服该力做功为W，将该力做功表示为－W，也可以直接用字母W表示该力做功，使其字母本身含有负号．

（3）应用动能定理解题，关键是对研究对象进行准确的受力分析及运动过程分析，并画出物体运动过程的草图，借助草图理解物理过程和各量关系．

（4）动能定理是求解物体位移或速率的简捷公式．当题目中涉及到位移和速度而不涉及时间时可优先考虑动能定理；处理曲线运动中的速率问题时也要优先考虑动能定理．

典例剖析

例1　如图2所示，用恒力F使一个质量为m的物体由静止开始

沿水平地面移动的位移为l，力F跟物体前进的方向的夹角为α，

物体与地面间的动摩擦因数为μ，求：

（1）力F对物体做功W的大小；图2

（2）地面对物体的摩擦力Ff的大小；

（3）物体获得的动能Ek.

跟踪训练1　如图3所示，用拉力F使一个质量为m的木箱由静

止开始在水平冰道上移动了l，拉力F跟木箱前进方向的夹角为

α，木箱与冰道间的动摩擦因数为μ，求木箱获得的速度．图3

考点二　利用动能定理求功

考点解读

由于功是标量，所以动能定理中合力所做的功既可通过合力来计算（W总＝F合lcosα），也可用每个力做的功来计算（W总＝W1＋W2＋W3＋…）．这样，原来直接利用功的定义不能计算的变力的功可以利用动能定理方便的求得，它使得一些可能无法进行研究的复杂的力学过程变得易于掌握和理解．

典例剖析

例2　如图4所示，质量为m的小球用长为L的轻质细线悬于

O点，与O点处于同一水平线上的P点处有一个光滑的细钉．

已知OP＝

，在A点给小球一个水平向左的初速度v0，

发现小球恰能到达跟P点在同一竖直线上的最高点B.则：

（1）小球到达B点时的速率？

图4

（2）若不计空气阻力，则初速度v0为多少？

（3）若初速度v0＝3

，则在小球从A到B的过程中克服空气阻力做了多少功？

跟踪训练2　如图5所示，一位质量m＝65kg参加“挑战极限运动”的业余选手要越过一宽度为x＝3m的水沟，跃上高为h＝1.8m的平台．采用的方法是：

人手握一根长L＝3.05m的轻质弹性杆一端，从A点由静止开始匀加速助跑，至B点时，杆另一端抵在O点的阻挡物上，接着杆发生形变，同时人蹬地后被弹起，到达最高点时杆处于竖直，人的重心恰位于杆的顶端，此刻人放开杆水平飞出，最终趴落到平台上，运动过程中空气阻力可忽略不计．（g取10m/s2）

图5

（1）设人到达B点时速度vB＝8m/s，人匀加速运动的加速度a＝2m/s2，求助跑距离xAB.

（2）设人跑动过程中重心离地高度H＝1.0m，在

（1）问的条件下，在B点人蹬地弹起瞬间，人至少再做多少功？

例3　如图6所示是某公司设计的“2009”玩具轨道，是用透明的薄壁圆管弯成的竖直轨道，其中引入管道AB及“200”管道是粗糙的，AB是与“2009”管道平滑连接的竖直放置的半径为R＝0.4m的

圆管轨道，已知AB圆管轨道半径与“0”字型圆形轨道半径相同．“9”管道是由半径为2R的光滑

圆弧和半径为R的光滑

圆弧以及两段光滑的水平管道、一段光滑的竖直管道组成，“200”管道和“9”管道两者间有一小缝隙P.现让质量m＝0.5kg的闪光小球（可视为质点）从距A点高H＝2.4m处自由下落，并由A点进入轨道AB，已知小球到达缝隙P时的速率为v＝8m/s，g取10m/s2.求：

图6

（1）小球通过粗糙管道过程中克服摩擦阻力做的功；

（2）小球通过“9”管道的最高点N时对轨道的作用力；

（3）小球从C点离开“9”管道之后做平抛运动的水平位移．

方法提炼

1．分析法：

将未知推演还原为已知的思维方法．用分析法研究问题时，需要把问题化整为零，然后逐步引向待求量．具体地说也就是从题意要求的待求量出发，然后按一定的逻辑思维顺序逐步分析、推演，直到待求量完全可以用已知量表达为止．因此，分析法是从未知到已知，从整体到局部的思维过程．

2．分析法的三个方面：

（1）在空间分布上可以把整体分解为各个部分：

如力学中的隔离，电路的分解等；

（2）在时间上把事物发展的全过程分解为各个阶段：

如运动过程可分解为性质不同的各个阶段；

（3）对复杂的整体进行各种因素、各个方面和属性的分析．

跟踪训练3　如图7所示，在一次消防演习中模拟解救高楼被

困人员，为了安全，被困人员使用安全带上挂钩挂在滑竿上

从高楼A点沿轻滑杆下滑逃生．滑杆由AO、OB两段直杆通

过光滑转轴在O处连接，且通过O点的瞬间没有机械能的

损失；滑杆A端用挂钩钩在高楼的固定物上，可自由转动，B

端固定在消防车云梯上端．已知AO长为L1＝5m，OB长为

L2＝10m．竖直墙与端点B的间距d＝11m．挂钩与两段滑杆间图7

的动摩擦因数均为μ＝0.5.（g＝10m/s2）

（1）若测得OB与水平方向的夹角为37°，求被困人员下滑到B点时的速度大小；（sin37°＝0.6，cos37°＝0.8）

（2）为了安全，被困人员到达B点的速度大小不能超过v，若A点高度可调，而竖直墙与云梯上端点B的间距d不变，求滑杆两端点A、B间的最大竖直距离h？

（用题给的物理量符号表示）

【巩固提升】

A组　利用动能定理求变力功

1．如图8所示，光滑斜面的顶端固定一弹簧，一物体向右滑行，并冲上

固定在地面上的斜面．设物体在斜面最低点A的速度为v，压缩弹簧

至C点时弹簧最短，C点距地面高度为h，则从A到C的过程中弹簧

弹力做功是（　　）图8

A．mgh－

mv2B.

mv2－mgh

C．－mghD．－（mgh＋

mv2）

B组　用动能定理分析多过程问题

2．如图9所示，摩托车做特技表演时，以v0＝10.0m/s的初速度冲向高台，然后从高台水平飞出．若摩托车冲向高台的过程中以P＝4.0kW的额定功率行驶，冲到高台上所用时间t＝3.0s，人和车的总质量m＝1.8×102kg，台高h＝5.0m，摩托车的落地点到高台的水平距离x＝10.0m．不计空气阻力，取g＝10m/s2.求：

图9

（1）摩托车从高台飞出到落地所用时间；

（2）摩托车落地时速度的大小；

（3）摩托车冲上高台过程中克服阻力所做的功．

3．推杯子游戏是一种考验游戏者心理和控制力的游戏，游戏规则是在杯子不掉下台面的前提下，杯子运动得越远越好．通常结果是：

力度不够，杯子运动得不够远；力度过大，杯子将滑离台面．此游戏可以简化为如下物理模型：

质量为0.1kg的空杯静止在长直水平台面的左边缘，现要求每次游戏中，在水平恒定推力作用下，沿台面中央直线滑行x0＝0.2m后才可撤掉该力，此后杯子滑行一段距离停下．在一次游戏中，游戏者用5N的力推杯子，杯子沿直线共前进了x1＝5m．已知水平台面长度x2＝8m，重力加速度g取10m/s2，试求：

（1）游戏者用5N的力推杯子时，杯子在撤掉外力后在长直水平台面上运动的时间；（结果可用根式表示）

（2）游戏者用多大的力推杯子，才能使杯子刚好停在长直水平台面的右边缘．

4.如图10所示，光滑

圆弧形槽的底端B与长L＝5m的水平传送带相接，滑块与传送带间动摩擦因数为0.2，与足够长的斜面DE间的动摩擦因数为0.5，斜面与水平面间的夹角θ＝37°.CD段为光滑的水平平台，其长为1m，滑块经过B、D两点时无机械能损失．质量m＝1kg的滑块从高为R＝0.8m的光滑圆弧形槽的顶端A处无初速度地滑下．求（sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g＝10m/s2，不计空气阻力）：

图10

（1）当传送带不转时，滑块在传送带上滑过的距离；

（2）当传送带以2m/s的速度顺时针转动时，滑块从滑上传送带到第二次到达D点所经历的时间t；

（3）当传送带以2m/s的速度顺时针转动时，滑块在斜面上的最大位移．

三．机械能守恒定律

[基础导引]

1．如图1所示，质量为m的足球在地面1的位置被踢出后落到地面3的位置，在空中达到的最高点2的高度为h.

图1

（1）足球由位置1运动到位置2时，重力所做的功是多少？

足球克服重力所做的功是多