分式不等式放缩裂项证明.docx
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分式不等式放缩裂项证明
放缩法的常见技巧
(1)舍掉(或加进)一些项
(2)在分式中放大或缩小分子或分母。
(3)应用基本不等式放缩(例如均值不等式)。
(4)应用函数的单调性进行放缩(5)根据题目条件进行放缩。
(6)构造等比数列进行放缩。
(7)构造裂项条件进行放缩。
(8)利用函数切线、割线逼近进行放缩。
使用放缩法的注意事项
(1)放缩的方向要一致。
(2)放与缩要适度。
(3)很多时候只对数列的一部分进行放缩法,保留一些项不变(多为前几项或后几项)。
(4)用放缩法证明极其简单,然而,用放缩法证不等式,技巧性极强,稍有不慎,则会出现放缩失当的现象。
所以对放缩法,只需要了解,不宜深入。
先介绍工具
柯西不等式(可以通过向量表示形式记住即摸摸大于向量乘积)
均值不等式
调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数
绝对值三角不等式
定理1:
|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|
推论1:
|a1+a2+a3|≤|a1|+|a2|+|a3|
此性质可推广为|a1+a2+…+an|≤|a1|+|a2|+…+|an|.
推论2:
|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|
定理2:
如果a,b,c是实数,那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)≥0时,等号成立.
常用放缩思想
这几个务必牢记
不常见不常用的不等式
这几个一般用不到,放的太大了,知道有印象就好了
下面就是常用思路了,主要就是裂项部分
二项平方和
f(x)=(a1x-b1)^2+(a2x-b2)^2+……(anx-bn)^2
由f(x)≥0可得△小于等于0
1.分式不等式中的典范,典范中的典范,放缩、裂项、去等,步步精彩
解析:
步步经典,用笔化化就能明白思想,换元或许更直观,即令t=1/(x+2)
第一步意义--开不了方的,开方,并且可取等号
第二步意义--开不了方的,开方,裂项,并且可取等号
个人认为这俩个放缩,很犀利,没见过,看似难实则简单,看似简单实则难
2.构造+三角形★★★★
平面内三点A、B、C,连接三点,令AB=c,AC=b,BC=a,求
解析:
构造,主要就是构造,b/c就是很明显的提示。
三角形中两边之和大于第三边,两边之差小于第三边。
构造★★★★
为了方便观察,没有采用换元,直接写更清楚,这题应该是一直在向目标上凑得题目了
3.反证法典例★★
解析:
4.柯西不等式典例★★★
有些方法就是那么气人,神奇的气人
或者用三角函数也可以不过要用到三角恒等式:
令x+2y+3z=t则(t-3z)^2/√5≤√(5-z^2)
即14z^2-6tz+t^2-25≤0△=-20t^2+1400≤0
所以tmax=√70
5.
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- 分式 不等式 放缩裂项 证明