高考数学知识点总结及高中数学解题思想方法全部.docx

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高考数学知识点总结及高中数学解题思想方法全部

高考数学知识点总结及高中数学解题思想方法全部内容精华版

高中数学第一章-集合

考试知识要点

一、知识结构:

本章知识主要分为集合、简单不等式的解法（集合化简）、简易逻辑三部分：

二、知识回顾：

（一）集合

1.基本概念：

集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用.

2.集合的表示法：

列举法、描述法、图形表示法.

集合元素的特征：

确定性、互异性、无序性.

集合的性质：

①任何一个集合是它本身的子集，记为AÍA；

②空集是任何集合的子集，记为fÍA；

③空集是任何非空集合的真子集；

如果AÍB，同时BÍA，那么A=B.

如果AÍB，BÍC，那么AÍC.

[注]：

①Z={整数}（√）Z={全体整数}（³）

②已知集合S中A的补集是一个有限集，则集合A也是有限集.（³）（例：

S=N；A=N+，则CsA={0}）

③空集的补集是全集.

第1页共163页

④若集合A=集合B，则CBA=Æ，CAB=ÆCS（CAB）=D（注：

CAB=Æ）.

3.①{（x，y）|xy=0，x∈R，y∈R}坐标轴上的点集.

②{（x，y）|xy＜0，x∈R，y∈R}二、四象限的点集.

③{（x，y）|xy＞0，x∈R，y∈R}一、三象限的点集.

[注]：

①对方程组解的集合应是点集.

例：

ìx+y=3í2x-3y=1î解的集合{（2，1）}.

②点集与数集的交集是f.（例：

A={（x，y）|y=x+1}B={y|y=x2+1}则A∩B=Æ）

4.①n个元素的子集有2n个.②n个元素的真子集有2n－1个.③n个元素的非空真子集有2－2个.

5.⑪①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真.否命题Û逆命题.

②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真.原命题Û逆否命题.

例：

①若a+b¹5，则a¹2或b¹3应是真命题.

解：

逆否：

a=2且b=3，则a+b=5，成立，所以此命题为真.

②

x¹1且y¹2+y¹3.

解：

逆否：

x+y=3

\x¹1且y¹2nx=1或y=2.x+y¹3,故x+y¹3是x¹1且y¹2的既不是充分，又不是必要条件.⑫小范围推出大范围；大范围推不出小范围.

3.例：

若xf5，Þxf5或xp2.

4.集合运算：

交、并、补.

交：

AIBÛ{x|xÎA,且xÎB}

并：

AUBÛ{x|xÎA或xÎB}

补：

CUAÛ{xÎU,且xÏA}

5.主要性质和运算律

（1）包含关系：

AÍA,FÍA,AÍU,CUAÍU,

AÍB,BÍCÞAÍC;AIBÍA,AIBÍB;AUBÊA,AUBÊB.

（2）等价关系：

AÍBÛAIB=AÛAUB=BÛCUAUB=U

（3）集合的运算律：

交换律：

AIB=BIA;AUB=BUA.

结合律:

（AIB）IC=AI（BIC）;（AUB）UC=AU（BUC）

分配律:

.AI（BUC）=（AIB）U（AIC）;AU（BIC）=（AUB）I（AUC）

0-1律：

FIA=F,FUA=A,UIA=A,UUA=U

第2页共163页

等幂律：

AIA=A,AUA=A.

求补律：

A∩CUA=φA∪CUA=UðCUU=φðCUφ=U

反演律：

CU（A∩B）=（CUA）∪（CUB）CU（A∪B）=（CUA）∩（CUB）

6.有限集的元素个数

定义：

有限集A的元素的个数叫做集合A的基数，记为card（A）规定card（φ）=0.

基本公式：

（1）card（AUB）=card（A）+card（B）-card（AIB）

（2）card（AUBUC）=card（A）+card（B）+card（C）

-card（AIB）-card（BIC）-card（CIA）+card（AIBIC）

（3）card（ðUA）=card（U）-card（A）

（二）含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸1.整式不等式的解法根轴法（零点分段法）

①将不等式化为a0（x-x1）（x-x2）„（x-xm）>0（<0）形式，并将各因式x的系数化“+”；（为

了统一方便）

②求根，并在数轴上表示出来；

③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点（为什么？

）；

④若不等式（x的系数化“+”后）是“>0”,则找“线”在x轴上方的区间；若不等

式是“<0”,则找“线”在x轴下方的区间.

x

（自右向左正负相间）则不等式a0x+a1x

n

n-1

+a2x

n-2

+L+an>0（<0）（a0>0）的解可以根据各区间的符号

确定.

特例①一元一次不等式ax>b解的讨论；

2第3页共163页

2.分式不等式的解法

（1）标准化：

移项通分化为

f（x）g（x）

>0（或

f（x）g（x）

<0）；

f（x）g（x）

≥0（或

f（x）g（x）

≤0）的形式，

（2）转化为整式不等式3.含绝对值不等式的解法

f（x）g（x）

>0Ûf（x）g（x）>0;

f（x）g（x）³0

³0Ûìíg（x）¹0

îg（x）

f（x）

（1）公式法：

ax+bc（c>0）型的不等式的解法.

（2）定义法：

用“零点分区间法”分类讨论.

（3）几何法：

根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题.4.一元二次方程根的分布一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）

（1）根的“零分布”：

根据判别式和韦达定理分析列式解之.

（2）根的“非零分布”：

作二次函数图象，用数形结合思想分析列式解之.（三）简易逻辑

1、命题的定义：

可以判断真假的语句叫做命题。

2、逻辑联结词、简单命题与复合命题：

“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词；不含有逻辑联结词的命题是简单命题；由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题。

构成复合命题的形式：

p或q（记作“p∨q”）；p且q（记作“p∧q”）；非p（记作“┑q”）。

3、“或”、“且”、“非”的真值判断

（1）“非p”形式复合命题的真假与F的真假相反；

（2）“p且q”形式复合命题当P与q同为真时为真，其他情况时为假；

（3）“p或q”形式复合命题当p与q同为假时为假，其他情况时为真．

4、四种命题的形式：

原命题：

若P则q；逆命题：

若q则p；否命题：

若┑P则┑q；逆否命题：

若┑q则┑p。

（1）交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题；

（2）同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题；

（3）交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题．

第4页共163页

否命题若┐p则┐q互否原命题若p则q

互逆否

逆命题若q则p

互

逆否命题若┐q则┐p

2

逆互

5、四种命题之间的相互关系：

一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系：

（原命题Û逆否命题）

①、原命题为真，它的逆命题不一定为真。

②、原命题为真，它的否命题不一定为真。

③、原命题为真，它的逆否命题一定为真。

6、如果已知pÞq那么我们说，p是q的充分条件，q是p的必要条件。

若pÞq且qÞp,则称p是q的充要条件，记为p⇔q.

7、反证法：

从命题结论的反面出发（假设），引出（与已知、公理、定理„）矛盾，从而否定假设证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。

高中数学第二章-函数

考试和性质．

（5）理解对数的概念，掌握对数的运算性质；掌握对数函数的概念、图像和性质．

（6）能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题．

一、本章知识网络结构：

F:

A®B

二次函数§02.函数知识要点

二、知识回顾：

第5页共163页

（一）映射与函数

1.映射与一一映射

2.函数

函数三要素是定义域，对应法则和值域，而定义域和对应法则是起决定作用的要素，因为这二者确定后，值域也就相应得到确定，因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数才是同一函数.

3.反函数

反函数的定义

设函数y=f（x）（xÎA）的值域是C，根据这个函数中x,y的关系，用y把x表示出，得到x=j（y）.若对于y在C中的任何一个值，通过x=j（y），x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x=j（y）就表示y是自变量，x是自变量y的函数，这样的函数x=j（y）（yÎC）叫做函数y=f（x）（xÎA）的反函数，记作x=f-1（y）,习惯上改写成y=f-1（x）

（二）函数的性质

⒈函数的单调性

定义：

对于函数f（x）的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2,

⑪若当x1<x2时，都有f（x1）<f（x2）,则说f（x）在这个区间上是增函数；

⑫若当x1<x2时，都有f（x1）>f（x2）,则说f（x）在这个区间上是减函数.

若函数y=f（x）在某个区间是增函数或减函数，则就说函数y=f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数y=f（x）的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.

2.函数的奇偶性

第6页共163页

正确理解奇、偶函数的定义。

必须把握好两个问题：

（1）定义域在数轴上关于原点对称是函数f（x）为奇

函数或偶函数的必要不充分条件；

（2）f（-x）=f（x）或

f（-x）=-f（x）是定义域上的恒等式。

2．奇函数的图象关于原点成中心对称图形，偶函数

的图象关于y轴成轴对称图形。

反之亦真，因此，也

可以利用函数图象的对称性去判断函数的奇偶性。

3.奇函数在对称区间同增同减；偶函数在对称区间增

减性相反.

4．如果f（x）是偶函数，则f（x）=f（|x|），反之亦成立。

若奇函数在x=0时有意义，则f（0）=0。

7.奇函数，偶函数：

⑪偶函数：

f（-x）=f（x）

设（a,b）为偶函数上一点，则（-a,b）也是图象上一点.

偶函数的判定：

两个条件同时满足

①定义域一定要关于y轴对称，例如：

y=x2+1在[1,-1）上不是偶函数.

②满足f（-x）=f（x），或f（-x）-f（x）=0，若f（x）¹0时，

⑫奇函数：

f（-x）=-f（x）

设（a,b）为奇函数上一点，则（-a,-b）也是图象上一点.

奇函数的判定：

两个条件同时满足

①定义域一定要关于原点对称，例如：

y=x3在[1,-1）上不是奇函数.

②满足f（-x）=-f（x），或f（-x）+f（x）=0，若f（x）¹0时，

y轴对称8.对称变换：

①y=f（x）¾¾¾¾®f（x）f（-x）=1.f（x）f（-x）=-1.y=f（-x）

x轴对称②y=f（x）¾¾¾¾®y=-f（x）

y=-f（-x）③y=f（x）¾原点对称¾¾¾®

9.判断函数单调性（定义）作差法：

对带根号的一定要分子有理化，例如：

（x1+x2）f（x）-f（x）=x2+b2-x2+b2=（x1-x2）

在进行讨论.1212xx+b22+x1+b22

10.外层函数的定义域是.

解：

f（x）的值域是f（f（x））的定义域B，f（x）的值域ÎR，故BÎR，而A={x|x¹1}，故BÉA.

11.常用变换：

①f（x+y）=f（x）f（y）Ûf（x-y）=f（x）

f（y）.

第7页共163页

f（y）f（x）

证：

②

f（

f（x-y）=xy

Ûf（x）=f[（x-y）+y]=f（x-y）f（y）

）=f（x）-f（y）Ûf（x×y）=f（x）+f（y）

xy

xy

证：

f（x）=f（×y）=f（）+f（y）

12.⑪熟悉常用函数图象：

例：

y=2→|x|关于y轴对称.

|x|

æ1öy=ç÷

è2ø

|x+2|

→

æ1öy=ç÷

è2ø

|x|

→

æ1öy

=ç÷

è2ø

|x+2|

y=|2x+2x-1|→|y|关于x轴对称.

2

⑫熟悉分式图象：

例：

y

=2x+1x-3

=2+

7x-3

Þ

定义域{x|x¹3,x

值域{y|y¹2,yÎR}→值域¹（三）指数函数与对数函数

x

前的系数之比.

指数函数y=a（a>0且a¹1）的图象和性质

第8页共163页

a对数运算：

loga（M×N）=log

log

log

log

alogaM+logaaN

（1）MaNMn=logaM-loga（±Na=nlog1nM）12）aaM==NlogaMN

换底公式：

log

推论：

log

Þloga1aaN=bloglogbbNab×logc×logca=1a3×...×logan-1a2×loga2an=loga1an

n（以上Mf0,Nf0,af0,a¹1,bf0,b¹1,cf0,c¹1,a1,a2...a

f0且¹1）

第9页共163页

注⑪：

当a,b

⑫：

当Mp0时，log（a×b）=log（-a）+log（-b）.是偶数时且Mp0f0时，取“+”，当n时，Mnf0，而Mp0，故取”—”.

2例如：

logax¹2logaxQ（2logax中x＞0而logax2中x∈R）.

⑫y=ax（af0,a¹1）与y=logax互为反函数.

ap1时，则相反.当af1时，y=logax的a值越大，越靠近x轴；当0p

（四）方法总结

⑪.相同函数的判定方法：

定义域相同且对应法则相同.⑪对数运算：

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loga（M×N）=log

log

log

log

alogaM+logaaN

（1）MaNMn=logaM-logaNa=nlog1n（±aM）12）aaM==NlogMN

a换底公式：

log

推论：

log

Þloga1aN=bloglogbbNab×logc×logca=1a3×...×logan-1a2×loga2an=loga1an

（以上Mf0,Nf0,af0,a¹1,bf0,b¹1,cf0,c¹1,a1,a2...anf0且¹1）

注⑪：

当a,b

⑫：

当Mp0时，log（a×b）=log（-a）+log（-b）.是偶数时且Mp0f0时，取“+”，当n时，Mnf0，而Mp0，故取“—”.例如：

logax2¹2logaxQ（2logax中x＞0而logax2中x∈R）.

⑫y=ax（af0,a¹1）与y=logax互为反函数.

ap1时，则相反.当af1时，y=logax的a值越大，越靠近x轴；当0p

⑫.函数表达式的求法：

①定义法；②换元法；③待定系数法.

⑬.反函数的求法：

先解x,互换x、y，注明反函数的定义域（即原函数的值域）.

⑭.函数的定义域的求法：

布列使函数有意义的自变量的不等关系式，求解即可求得函数的定义域.常涉及到的依据为①分母不为0；②偶次根式中被开方数不小于0；③对数的真数大于0，底数大于零且不等于1；④零指数幂的底数不等于零；⑤实际问题要考虑实际意义等.

⑮.函数值域的求法：

①配方法（二次或四次）；②“判别式法”；③反函数法；④换元法；⑤不等式法；⑥函数的单调性法.

⑯.单调性的判定法：

①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f（x1）与f（x2）的大小；③作差比较或作商比较.

⑰.奇偶性的判定法：

首先考察定义域是否关于原点对称，再计算f（-x）与f（x）之间的关系：

①f（-x）=f（x）为偶函数；f（-x）=-f（x）为奇函数；②f（-x）-f（x）=0为偶；f（x）+f（-x）=0为奇；③f（-x）/f（x）=1是偶；f（x）÷f（-x）=-1为奇函数.

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⑱.图象的作法与平移：

①据函数表达式，列表、描点、连光滑曲线；②利用熟知函数的图象的平移、翻转、伸缩变换；③利用反函数的图象与对称性描绘函数图象.

高中数学第三章数列

考试知识要点

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第13页共163页

⑫看数列是不是等差数列有以下三种方法：

①an-an-1=d（n³2,d为常数）②2an=an+1+an-1（n³2）③an=kn+b（n,k为常数）.

⑬看数列是不是等比数列有以下四种方法：

①an=an-1q（n³2,q为常数,且¹0）

2

②an=an+1×an-1（n

³2，anan+1an-1¹0）

①

注①：

i.b=ac，是a、b、c成等比的双非条件，即b=acii.b=ac（ac＞0）→为a、b、c等比数列的充分不必要.iii.b=±ac→为a、b、c等比数列的必要不充分.iv.b=±ac且ac

f0→为

、b、c等比数列.

a、b、c等比数列的充要.

注意：

任意两数a、c不一定有等比中项，除非有ac＞0，则等比中项一定有两个.③an=cqn（c,q为非零常数）.

④正数列{an}成等比的充要条件是数列{logxan}（x

f1）成等比数列.

ìs1=a1（n=1）

a=⑭数列{an}的前n项和Sn与通项an的关系：

ní

s-s（n³2）n-1în

[注]：

①an=a1+（n-1）d=nd+（a1-d）（d可为零也可不为零→为等差数列充要条件（即常数列也是等差数列）→若d不为0，则是等差数列充分条件）.②等差{an}前n项和Sn=

döædö2æ2

An+Bn=ç÷n+ça1-÷n

2øè2øè

→

d2

可以为零也可不为零→为等差

的充要条件→若d为零，则是等差数列的充分条件；若d不为零，则是等差数列的充分条件.③非零常数列既可为等比数列，也可为等差数列.（不是非零，即不可能有等比数列）．．

2.①等差数列依次每k项的和仍成等差数列，其公差为原公差的k2倍Sk,S2k-Sk,S3k-S2k...；

②若等差数列的项数为2n（nÎN+），则S偶-S奇=ndS

S奇

偶

=

anan+1

；

=

nn-1

③若等差数列的项数为2n-1（nÎN+），则S2n-1=（2n-1）an，且S奇-S偶=an，S奇

Þ代入n到2n-1得到所求项数

S偶

.

n（n+1）2

3.常用公式：

①1+2+3„+n=②12+22+32+Ln2=

n（n+1）（2n+1）

6

第14页共163页

③13+23+33Ln3=

én（n+1）ùêú

2ëû

2

59

[注]：

熟悉常用通项：

9，99，999，…Þan=10n-1；5，55，555，…Þ4.等比数列的前n项和公式的常见应用题：

an=

（10

n

-1

）.

⑪生产部门中有增长率的总产量问题.例如，第一年产量为a，年增长率为r，则每年的产量成等比数列，公比为1+r.其中第n年产量为a（1+r）n-1，且过n年后总产量为：

a[a-（1+r）]1-（1+r）

n

a+a（1+r）+a（1+r）+...+a（1+r）

2n-1

=

.

⑫银行部门中按复利计算问题.例如：

一年中每月初到银行存a元，利息为r，每月利息按复利计算，则每月的a元过n个月后便成为a（1+r）n元.因此，第二年年初可存款：

a（1+r）[1-（1+r）

1-（1+r）

12

a（1+r）

12

+a（1+r）

11

+a（1+r）

10

+...+a（1+r）=

]

.

⑬分期付款应用题：

a为分期付款方式贷款为a元；m为m个月将款全部付清；r为年利率.

a（1+r）

m

=x（1+r）

m-1

+x（1+r）

m-2

+......x（1+r）+xÞa（1+r）

m

=

x（1+r）

r

m

-1

Þx=

ar（1+r）

m

（1+r）

m

-1

5.数列常见的几种形式：

⑪an+2=pan+1+qan（p、q为二阶常数）®用特证根方法求解.

具体步骤：

①写出特征方程x2=Px+q（x2对应an+2，x对应an+1），并设二根x1,x2②若x1¹x2

nn可设an.=c1xn1+c2x2，若x1=x2可设an=（c1+c2n）x1；③由初始值a1,a2确定c1,c2.

⑫an=Pan-1+r（P、r为常数）®用①转化等差，等比数列；②逐项选代；③消去常数n转化为an+2=Pan+1+qan的形式，再用特征根方法求an；④an=c1+c2Pn-1（公式法），c1,c2由a1,a2确定.

①转化等差，等比：

an+1+x

=P（an+x）Þan+1=Pan+Px-xÞx=

LÞan=（a1+

rP-1

）P

rP-1

n-1

.

r

=（a1+x）P

n-1

②选代法：

an=Pan-1+r=P（Pan-2+r）+r=

=P

n-1

-

P-1

-x

a1+P

n-2

×r+L+Pr+r

.

③用特征方程求解：

an+1=Pan+rü

ý相减，Þan+1-an=Pan-Pa

an=Pan-1+rþ

（Pn-1Þan+1=+1）an-Pa

n-1

.

④由选代法推导结果：

c1=

r1-P

，c2=a1+

rP-1

，an=c2P

n-1

+c1=（a1+

rP-1

）P

n-1

+

r1-P

.

6.几种常见的数列的思想方法：

第15页共163页

⑪等差数列的前n项和为Sn，在d两种方法：

p0

时，有最大值.如何确定使Sn取最大值时的n值，有

d2

d2

一是求使an³0,an+1p0，成立的n值；二是由Sn的值.

=n

2

+（a1-

）n

利用二次函数的性质求n

⑫如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积，求此数列前n项和可依照等比数列前n项和的推倒导方法：

错位相减求和.例如：

1×

12,314

...（2n-1）

12

n

...

⑬两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相同项，公差是两个数列公差d1，d2的最小公倍数.

2.判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：

（1）定义法:

对于n≥2的任意自然数,验证an-an-1（

anan-1

）为同一常数。

（2）通项公式法。

（3）中项公式法:

验证

2an+1=an+an-2（an+1=anan+2）nÎN都成立。

2

ìam³0

3.在等差数列｛an｝中,有关Sn的最值问题：

（1）当a1>0,d<0时，满足í的项数m

a£0îm+1ìam£0

使得sm取最大值.

（2）当a1<0,d>0时，满足í的项数m使得sm取最小值。

在解含绝

a³0îm+1

对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。

（三）、数列求和的常用方法

1.公式法:

适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。

ìcü

2.裂项相消法:

适用于íý其中{an}是各项不为0的等差数列，c为常数；部

aaînn+1þ

分无理数列、含阶乘的数列等。

3.错位相减法:

适用于{anbn}其中{an}是等差数列，{bn}是各项不为0的等比数列。

4.倒序相加法:

类似于等差数列前n项和公式的推导方法.

5.常用结论1）:

1+2+3+...+n=