学年人教A版选修22课时跟踪训练+章节测试+章末复习 汇编含答案105页.docx
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学年人教A版选修22课时跟踪训练+章节测试+章末复习汇编含答案105页
2017-2018学年【人教A版】选修2-2课时跟踪训练
+章节测试+章末复习汇编
课时跟踪检测
(一)变化率问题导数的概念
层级一 学业水平达标
1.如果一个函数的瞬时变化率处处为0,则这个函数的图象是( )
A.圆 B.抛物线
C.椭圆D.直线
解析:
选D 当f(x)=b时,瞬时变化率==0,所以f(x)的图象为一条直线.
2.设函数y=f(x)=x2-1,当自变量x由1变为1.1时,函数的平均变化率为( )
A.2.1B.1.1
C.2D.0
解析:
选A ===2.1.
3.设函数f(x)在点x0附近有定义,且有f(x0+Δx)-f(x0)=aΔx+b(Δx)2(a,b为常数),则( )
A.f′(x)=aB.f′(x)=b
C.f′(x0)=aD.f′(x0)=b
解析:
选C f′(x0)=
=(a+b·Δx)=a.
4.如果质点A按照规律s=3t2运动,则在t0=3时的瞬时速度为( )
A.6 B.18
C.54 D.81
解析:
选B ∵s(t)=3t2,t0=3,
∴Δs=s(t0+Δt)-s(t0)=3(3+Δt)2-3·32=18Δt+3(Δt)2.∴=18+3Δt.∴=(18+3Δt)=18,故应选B.
5.已知f(x)=x2-3x,则f′(0)=( )
A.Δx-3B.(Δx)2-3Δx
C.-3D.0
解析:
选C f′(0)=
==(Δx-3)=-3.故选C.
6.设f(x)=ax+4,若f′
(1)=2,则a=________.
解析:
∵f′
(1)=
==a,∴a=2.
答案:
2
7.
汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图,在时间段[t0,t1],[t1,t2],[t2,t3]上的平均速度分别为1,2,3,则三者的大小关系为________.
解析:
1=kOA,2=kAB,3=kBC,
由图象知kOA<kAB<kBC.
答案:
1<2<3
8.球的半径从1增加到2时,球的体积平均膨胀率为______.
解析:
∵Δy=π×23-π×13=,
∴==.
答案:
9.质点按规律s(t)=at2+1做直线运动(s单位:
m,t单位:
s).若质点在t=2时的瞬时速度为8m/s,求常数a的值.
解:
∵Δs=s(2+Δt)-s
(2)=[a(2+Δt)2+1]-(a×22+1)=4aΔt+a(Δt)2,∴=4a+aΔt,
∴在t=2时,瞬时速度为=4a,4a=8,∴a=2.
10.已知函数f(x)=求f′(4)·f′(-1)的值.
解:
当x=4时,Δy=-+
=-=
=.
∴=.
∴=
==.
∴f′(4)=.
当x=-1时,=
==Δx-2,
由导数的定义,得f′(-1)=(Δx-2)=-2,
∴f′(4)·f′(-1)=×(-2)=-.
层级二 应试能力达标
1.已知函数f(x)=2x2-4的图象上一点(1,-2)及邻近一点(1+Δx,-2+Δy),则等于( )
A.4 B.4x
C.4+2ΔxD.4+2(Δx)2
解析:
选C ====2Δx+4.
2.
甲、乙两人走过的路程s1(t),s2(t)与时间t的关系如图,则在[0,t0]这个时间段内,甲、乙两人的平均速度v甲,v乙的关系是( )
A.v甲>v乙
B.v甲<v乙
C.v甲=v乙
D.大小关系不确定
解析:
选B 设直线AC,BC的斜率分别为kAC,kBC,由平均变化率的几何意义知,s1(t)在[0,t0]上的平均变化率v甲=kAC,s2(t)在[0,t0]上的平均变化率v乙=kBC.因为kAC<kBC,所以v甲<v乙.
3.若可导函数f(x)的图象过原点,且满足=-1,则f′(0)=( )
A.-2B.-1
C.1D.2
解析:
选B ∵f(x)图象过原点,∴f(0)=0,
∴f′(0)===-1,
∴选B.
4.已知f(x)=,且f′(m)=-,则m的值等于( )
A.-4B.2
C.-2D.±2
解析:
选D f′(x)==-,于是有-=-,m2=4,解得m=±2.
5.已知函数f(x)=-x2+x在区间[t,1]上的平均变化率为2,则t=________.
解析:
∵Δy=f
(1)-f(t)=(-12+1)-(-t2+t)=t2-t,
∴==-t.又∵=2,∴t=-2.
答案:
-2
6.一物体的运动方程为s=7t2+8,则其在t=________时的瞬时速度为1.
解析:
==7Δt+14t0,
当(7Δt+14t0)=1时,t=t0=.
答案:
7.枪弹在枪筒中运动可以看作匀加速运动,如果它的加速度是5.0×105m/s2,枪弹从枪口射出时所用时间为1.6×10-3s,求枪弹射出枪口时的瞬时速度.
解:
位移公式为s=at2,
∵Δs=a(t0+Δt)2-at=at0Δt+a(Δt)2,
∴=at0+aΔt,∴==at0,
已知a=5.0×105m/s2,t0=1.6×10-3s,∴at0=800m/s.
所以枪弹射出枪口时的瞬时速度为800m/s.
8.设函数f(x)在x0处可导,求下列各式的值.
(1);
(2.
解:
(1)
=-m=-mf′(x0).
(2)原式
=
=-
=4-5
=4f′(x0)-5f′(x0)=-f′(x0).
课时跟踪检测
(二)导数的几何意义
层级一 学业水平达标
1.下面说法正确的是( )
A.若f′(x0)不存在,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处没有切线
B.若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处有切线,则f′(x0)必存在
C.若f′(x0)不存在,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线斜率不存在
D.若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处没有切线,则f′(x0)有可能存在
解析:
选C f′(x0)的几何意义是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处切线的斜率,当切线垂直于x轴时,切线的斜率不存在,但存在切线.
2.曲线f(x)=-在点M(1,-2)处的切线方程为( )
A.y=-2x+4 B.y=-2x-4
C.y=2x-4D.y=2x+4
解析:
选C ==,所以当Δx→0时,f′
(1)=2,即k=2.所以直线方程为y+2=2(x-1).即y=2x-4.故选C.
3.曲线y=x3-2在点处切线的倾斜角为( )
A.1B.
C.D.-
解析:
选B ∵y′=
==x2,
∴切线的斜率k=y′|x=1=1.
∴切线的倾斜角为,故应选B.
4.曲线y=ax2在点(1,a)处的切线与直线2x-y-6=0平行,则a等于( )
A.1B.
C.-D.-1
解析:
选A ∵y′|x=1==
=li(2a+aΔx)=2a,
∴2a=2,∴a=1.
5.过正弦曲线y=sinx上的点的切线与y=sinx的图象的交点个数为( )
A.0个B.1个
C.2个D.无数个
解析:
选D 由题意,y=f(x)=sinx,
则f′=
=.
当Δx→0时,cosΔx→1,
∴f′=0.
∴曲线y=sinx的切线方程为y=1,且与y=sinx的图象有无数个交点.
6.已知函数y=f(x)的图象在点M(1,f
(1))处的切线方程是y=x+2,则f
(1)+f′
(1)=________.
解析:
由导数的几何意义得f′
(1)=,由点M在切线上得f
(1)=×1+2=,所以f
(1)+f′
(1)=3.
答案:
3
7.已知曲线f(x)=,g(x)=过两曲线交点作两条曲线的切线,则曲线f(x)在交点处的切线方程为____________________.
解析:
由,得
∴两曲线的交点坐标为(1,1).
由f(x)=,
得f′(x)=li==,
∴y=f(x)在点(1,1)处的切线方程为y-1=(x-1).
即x-2y+1=0,
答案:
x-2y+1=0
8.曲线y=x2-3x的一条切线的斜率为1,则切点坐标为________.
解析:
设f(x)=y=x2-3x,切点坐标为(x0,y0),
f′(x0)=
==2x0-3=1,故x0=2,
y0=x-3x0=4-6=-2,故切点坐标为(2,-2).
答案:
(2,-2)
9.已知抛物线y=x2,直线x-y-2=0,求抛物线上的点到直线的最短距离.
解:
根据题意可知与直线x-y-2=0平行的抛物线y=x2的切线对应的切点到直线x-y-2=0的距离最短,设切点坐标为(x0,x),则y′|x=x0==2x0=1,所以x0=,所以切点坐标为,
切点到直线x-y-2=0的距离d==,所以抛物线上的点到直线x-y-2=0的最短距离为.
10.已知直线l:
y=4x+a和曲线C:
y=x3-2x2+3相切,求a的值及切点的坐标.
解:
设直线l与曲线C相切于点P(x0,y0),
∵=
=(Δx)2+(3x0-2)Δx+3x-4x0.
∴当Δx→0时,→3x-4x0,即f′(x0)=3x-4x0,
由导数的几何意义,得3x-4x0=4,
解得x0=-或x0=2.
∴切点的坐标为或(2,3),
当切点为时,
有=4×+a,∴a=,
当切点为(2,3)时,有3=4×2+a,∴a=-5,
当a=时,切点为;
a=-5时,切点为(2,3).
层级二 应试能力达标
1.已知y=f(x)的图象如图,则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是( )
A.f′(xA)>f′(xB)
B.f′(xA) C.f′(xA)=f′(xB) D.不能确定 解析: 选B 由图可知,曲线在点A处的切线的斜率比曲线在点B处的切线的斜率小,结合导数的几何意义知f′(xA) 2.已知曲线y=2x3上一点A(1,2),则点A处的切线斜率等于( ) A.0 B.2 C.4D.6 解析: 选D Δy=2(1+Δx)3-2×13=6Δx+6(Δx)2+2(Δx)3,=[2(Δx)2+6Δx+6]=6,故选D. 3.设f(x)存在导函数,且满足=-1,则曲线y=f(x)上点(1,f (1))处的切线斜率为( ) A.2B.-1 C.1D.-2 解析: 选B ==f′(x)=-1. 4.已知直线ax-by-2=0与曲线y=x3在点P(1,1)处的切线互相垂直,则为( ) A.B. C.-D.- 解析: 选D 由导数的定义可得y′=3x2,∴y=x3在点P(1,1)处的切线斜率k=y′|x=1=3,由条件知,3×=-1,∴=-. 5.如图,函数f(x)的图象是折线段ABC,其中A,B,C的坐标分别为(0,4),(2,0),(6,4),则 =______. 解析: 由导数的概念和几何意义知, =f′ (1)=kAB==-2. 答案: -2 6.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c的导数为f′(x),f′(0)>0,对于任意实数x,有f(x)≥0,则的最小值为________. 解析: 由导数的定义,得f′(0)= ==(a·Δx+b)=b. 又因为对于任意实数x,有f(x)≥0, 则所以ac≥,所以c>0. 所以=≥≥=2. 答案: 2 7.已知函数f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx,若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求a,
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