《一元二次方程的解法》教案.docx
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《一元二次方程的解法》教案
2.2一元二次方程的解法
2.2.1配方法
(1)
教学目标
1、理解“配方”是一种常用的数学方法,在用配方法将一元二次方程变形的过程中,让学生进一步体会化归的思想方法。
2、会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程。
重点难点
重点:
会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程。
难点:
用配方法将一元二次方程变形成可用因式分解法或直接开平方法解的方程。
教学过程
(一)复习引入
1、a2±2ab+b2=?
2、用两种方法解方程(x+3)2-5=0。
如何解方程x2+6x+4=0呢?
(二)创设情境
如何解方程x2+6x+4=0呢?
(三)探究新知
1、利用“复习引入”中的内容引导学生思考,得知:
反过来把方程x2+6x+4=0化成(x+3)2-5=0的形式,就可用前面所学的因式分解法或直接开平方法解。
2、怎样把方程x2+6x+4=0化成(x+3)2-5=0的形式呢?
让学生完成课本P.10的“做一做”并引导学生归纳:
当二次项系数为“1”时,只要在二次项和一次项之后加上一次项系数一半的平方,再减去这个数,使得含未知数的项在一个完全平方式里,这种做法叫作配方.将方程一边化为0,另一边配方后就可以用因式分解法或直接开平方法解了,这样解一元二次方程的方法叫作配方法。
(四)讲解例题
例1
[解]
(1)x2+2x-3(观察二次项系数是否为“l”)
=x2+2x+12-12-3(在一次项和二次项之后加上一次项系数一半的平方,再减去这个数,使它与原式相等)
=(x+1)2-4。
(使含未知数的项在一个完全平方式里)
用同样的方法讲解
(2),让学生熟悉上述过程,进一步明确“配方”的意义。
例2引导学生完成P.11~P.12例6的填空。
(五)应用新知
1、课本练习。
2、学生相互交流解题经验。
(六)课堂小结
1、怎样将二次项系数为“1”的一元二次方程配方?
2、用配方法解一元二次方程的基本步骤是什么?
(七)思考与拓展
解方程:
(1)x2-6x+10=0;
(2)x2+x+=0;(3)x2-x-1=0。
说一说一元二次方程解的情况。
[解]
(1)将方程的左边配方,得(x-3)2+1=0,移项,得(x-3)2=-1,所以原方程无解。
(2)用配方法可解得x1=x2=-。
(3)用配方法可解得x1=,x2=
一元二次方程解的情况有三种:
无实数解,如方程
(1);有两个相等的实数解,如方程
(2);有两个不相等的实数解,如方程(3)。
课后作业
课本习题
教学后记:
2.2.1配方法
(2)
教学目标
1、理解用配方法解一元二次方程的基本步骤。
2、会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程。
3、进一步体会化归的思想方法。
重点难点
重点:
会用配方法解一元二次方程.
难点:
使一元二次方程中含未知数的项在一个完全平方式里。
教学过程
(一)复习引入
1、用配方法解方程x2+x-1=0,学生练习后再完成课本P.13的“做一做”.
2、用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的基本步骤是什么?
(二)创设情境
现在我们已经会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程,而对于二次项系数不为1的一元二次方程能不能用配方法解?
怎样解这类方程:
2x2-4x-6=0
(三)探究新知
让学生议一议解方程2x2-4x-6=0的方法,然后总结得出:
对于二次项系数不为1的一元二次方程,可将方程两边同除以二次项的系数,把二次项系数化为1,然后按上一节课所学的方法来解。
让学生进一步体会化归的思想。
(四)讲解例题
1、展示课本P.14例8,按课本方式讲解。
2、引导学生完成课本P.14例9的填空。
3、归纳用配方法解一元二次方程的基本步骤:
首先将方程化为二次项系数是1的一般形式;其次加上一次项系数的一半的平方,再减去这个数,使得含未知数的项在一个完全平方式里;最后将配方后的一元二次方程用因式分解法或直接开平方法来解。
(五)应用新知
课本练习。
(六)课堂小结
1、用配方法解一元二次方程的基本步骤是什么?
2、配方法是一种重要的数学方法,它的重要性不仅仅表现在一元二次方程的解法中,在今后学习二次函数,高中学习二次曲线时都要经常用到。
3、配方法是解一元二次方程的通法,但是由于配方的过程要进行较繁琐的运算,在解一元二次方程时,实际运用较少。
4、按图1—l的框图小结前面所学解
一元二次方程的算法。
(七)思考与拓展
不解方程,只通过配方判定下列方程解的
情况。
(1)4x2+4x+1=0;
(2)x2-2x-5=0;
(3)–x2+2x-5=0;
[解]把各方程分别配方得
(1)(x+)2=0;
(2)(x-1)2=6;
(3)(x-1)2=-4
由此可得方程
(1)有两个相等的实数根,方程
(2)有两个不相等的实数根,方程(3)没有实数根。
点评:
通过解答这三个问题,使学生能灵活运用“配方法”,并强化学生对一元二次方程解的三种情况的认识。
布置作业
2.2.2公式法
教学目标
1、理解求根公式法与配方法的联系.
2、会用求根公式法解一元二次方程.
3、注意培养学生良好的运算习惯.
重点难点
重点:
会运用求根公式法解一元二次方程.
难点:
由配方法导出一元二次方程的求根公式.
教学过程
(一)创设情境
由用配方法解一元二次方程的基本步骤知:
对于每个具体的一元二次方程,都使用了相同的一些计算步骤,这启发我们思考,能不能对一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)使用这些步骤,然后求出解x的公式?
这样做了以后,我们可以运用这个公式来求每一个具体的一元二次方程的解,取得一通百通的效果.
(二)探究新知
按课本的方式引导学生,用配方法导出一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),当b2-40c≥0时的求根公式为:
x=
(b2-4ac≥0).并让学生知道,运用一元二次方程的求根公式直接求每一个一元二次方程的解,这种解一元二次方程的方法叫公式法.
(三)讲解例题
1、展示课本例按课本方式引导学生用公式法解一元二次方程,并提醒学生注意a,b,c的符号.
2、引导学生完成P.17例10(3)的填空,并提醒学生在确定a,b,c的值时,先要将一元二次方程式化为一般形式.
3、引导学生归纳用公式法解一元二次方程的基本步骤:
首先要把原方程化为一般形式,从而正确地确定a,b,c的值;其次要计算b2-4ac的值,当b2-4ac≥0时,再用求根公式求解.
(四)应用新知
课本练习,第
(1)~(4)题.
(五)课堂小结
1、熟记一元二次方程的求根公式,并注意公式成立的条件:
a≠0,b2-4ac≥0.
2、熟悉用公式法解一元二次方程的基本步骤.
3、公式法是解一元二次方程的通法,有普遍的适用性,即可以解任何一元二次方程.
布置作业
教学后记:
2.2.3因式分解法
(1)
教学目标
1、进一步体会因式分解法适用于解一边为0,另一边可分解成两个一次因式乘积的一元二次方程。
2、会用因式分解法解某些一元二次方程。
3、进一步让学生体会“降次”化归的思想。
重点难点
重点:
,掌握用因式分解法解某些一元二次方程。
难点:
用因式分解法将一元二次方程转化为一元一次方程。
教学过程
(一)复习引入1、提问:
(1)解一元二次方程的基本思路是什么?
(2)现在我们已有了哪几种将一元二次方程“降次”为一元一次方程的方法?
2、用两种方法解方程:
9(1-3x)2=25
(二)创设情境
说明:
可用因式分解法或直接开平方法解此方程。
解得x1=,,x2=-。
1、说一说:
因式分解法适用于解什么形式的一元二次方程。
归纳结论:
因式分解法适用于解一边为0,另一边可分解成两个一次因式乘积的一元二次方程。
2、想一想:
展示课本问题二中的方程0.01t2-2t=0,这个方程能用因式分解法解吗?
(三)探究新知
引导学生探索用因式分解法解方程0.01t2-2t=0,解答课本1.1节问题二。
把方程左边因式分解,得t(0.01t-2)=0,由此得出t=0或0.01t-2=0
解得tl=0,t2=200。
t1=0表明小明与小亮第一次相遇;t2=200表明经过200s小明与小亮再次相遇。
(四)讲解例题
1、展示课本例。
按课本方式引导学生用因式分解法解一元二次方程。
2、让学生讨论“说一说”栏目中的问题。
要使学生明确:
解方程时不能把方程两边都同除以一个含未知数的式子,若方程两边同除以含未知数的式子,可能使方程漏根。
3、展示课本例4。
让学生自己尝试着解,然后看书上的解答,交换批改,并说一说在解题时应注意什么。
(五)应用新知
课本练习。
(六)课堂小结
1、用因式分解法解一元二次方程的基本步骤是:
先把一个一元二次方程变形,使它的一边为0,另一边分解成两个一次因式的乘积,然后使每一个一次因式等于0,分别解这两个一元一次方程,得到的两个解就是原一元二次方程的解。
2、在解方程时,千万注意两边不能同时除以一个含有未知数的代数式,否则可能丢失方程的一个根。
(七)思考与拓展
用因式分解法解下列一元二次方程。
议一议:
对于含括号的守霜露次方程,应怎样适当变形,再用因式分解法解。
(1)2(3x-2)=(2-3x)(x+1);
(2)(x-1)(x+3)=12。
[解]
(1)原方程可变形为2(3x-2)+(3x-2)(x+1)=0,
(3x-2)(x+3)=0,3x-2=0,或x+3=0,
所以xl=,x2=-3
(2)去括号、整理得x2+2x-3=12,x2+2x-15=0,
(x+5)(x-3)=0,x+5=0或x-3=0,
所以x1=-5,x2=3
先让学生动手解方程,然后交流自己的解题经验,教师引导学生归纳:
对于含括号的一元二次方程,若能把括号看成一个整体变形,把方程化成一边为0,另一边为两个一次式的积,就不用去括号,如上述
(1);否则先去括号,把方程整理成一般形式,再看是否能将左边分解成两个一次式的积,如上述
(2)。
布置作业
教学后记:
2.2.3因式分解法
(2)
教学目标
1、知道解一元二次方程的基本思路是“降次”化一元二次方程为一元一次方程。
2、学会用因式分解法和直接开平方法解形如(ax+b)2-k=0(k≥0)的方程。
3、引导学生体会“降次”化归的思路。
重点难点
重点:
掌握用因式分解法和直接开平方法解形如(ax+b)2-k=0(k≥0)的方程。
难点:
通过分解因式或直接开平方将一元二次方程降次为一元一次方程。
教学过程
(一)复习引入
1、判断下列说法是否正确
(1)若p=1,q=1,则pq=l(),若pq=l,则p=1,q=1();
(2)若p=0,g=0,则pq=0(),若pq=0,则p=0或q=0();
(3)若x+3=0或x-6=0,则(x+3)(x-6)=0(),
若(x+3)(x-6)=0,则x+3=0或x-6=0();
(4)若x+3=或x-6=2,则(x+3)(x-6)=1(),
若(x+3)(x-6)=1,则x+3=或x-6=2()。
答案:
(1)√,×。
(2)√,√。
(3)√,√。
(4)√,×。
2、填空:
若x2=a;则x叫a的,x=;若x2=4,则x=;
若x2=2,则x=。
答案:
平方根,±,±2,±。
(二)创设情境
前面我们已经学了一元一次方程和二元一次方程组的解法,解二元一次方程组的基本思路是什么?
(消元、化二元一次方程组为一元一次方程)。
由解二元一次方程组的基本思路,你能想出解一元二次方程的基本思路吗?
引导学生思考得出结论:
解一元二次方程的基本思路是“降次”化一元二次方程为一元一次方程。
给出1.1节问题一中的方程:
(35-2x)2-900=0。
问:
怎样将这个方程“降次”为一元一次方程?
(三)探究新知
让学生对上述问题展开讨论,教师再利用“复习引入”中的内容引导学生,按课本P.6那样,用因式分解法和直接开平方法,将方程(35-2x)2-900=0“降次”为两个一元一次方程来解。
让学生知道什么叫因式分解法和直接开平方法。
(四)讲解例题
展示课本P.7例1,例2。
按课本方式引导学生用因式分解法和直接开平方法解一元二次方程。
引导同学们小结:
对于形如(ax+b)2-k=0(k≥0)的方程,既可用因式分解法解,又可用直接开平方法解。
因式分解法的基本步骤是:
把方程化成一边为0,另一边是两个一次因式的乘积(本节课主要是用平方差公式分解因式)的形式,然后使每一个一次因式等于0,分别解两个一元一次方程,得到的两个解就是原一元二次方程的解。
直接开平方法的步骤是:
把方程变形成(ax+b)2=k(k≥0),然后直接开平方得ax+b=和ax+b=-,分别解这两个一元一次方程,得到的解就是原一元二次方程的解。
注意:
(1)因式分解法适用于一边是0,另一边可分解成两个一次因式乘积的一元二次方程;
(2)直接开平方法适用于形如(ax+b)2=k(k≥0)的方程,由于负数没有平方根,所以规定k≥0,当k<0时,方程无实数解。
(五)应用新知
课本P练习。
(六)课堂小结
1、解一元二次方程的基本思路是什么?
2、通过“降次”,把—元二次方程化为两个一元一次方程的方法有哪些?
基本步骤是什么?
3、因式分解法和直接开平方法适用于解什么形式的一元二次方程?
(七)思考与拓展
不解方程,你能说出下列方程根的情况吗?
(1)-4x2+1=0;
(2)x2+3=0;(3)(5-3x)2=0;(4)(2x+1)2+5=0。
答案:
(1)有两个不相等的实数根;
(2)和(4)没有实数根;(3)有两个相等的实数根
通过解答这个问题,使学生明确一元二次方程的解有三种情况。
布置作业
2.2.3因式分解法、直接开平方法(习题课)
考标要求:
1体会因式分解法适用于解一边为0,另一边可分解为两个一次因式的乘积的一元二次方程;
2会用因式分解法解某些一元二次方程。
重点:
用因式分解法解一元二次方程。
难点:
用因式分解把一元二次方程化为左边是两个一次二项式相乘右边是零的形式。
一填空题(每小题5分,共25分)
1解方程(2+x)(x-3)=0,就相当于解方程()
A2+x=0,Bx-3=0C2+x=0且x-3=0,D2+x=0或x-3=0
2用因式分解法解一元二次方程的思路是降次,下面是甲、乙两位同学解方程的过程:
(1)解方程:
小明的解法是:
解:
两边同除以x得:
x=2;
(2)解方程:
(x-1)(x-2)=2,小亮的解法是:
解:
x-1=1,x-2=2或者x-1=2,x-2=1,或者,x-1=-1,x-2=-2,或者x-1=-2,x-2=-1∴
=2,
=4,
=3,
=0
其中正确的是()
A小明B小亮C都正确D都不正确
3下面方程不适合用因式分解法求解的是()
A2
-32=0,B2(2x-3)-
=0,
,D
4方程2x(x-3)=5(x-3)的根是()
Ax=
Bx=3C
=
=3Dx=
5定义一种运算“※”,其规则为:
a※b=(a+1)(b+1),根据这个规则,方程x※(x+1)=0的解是()
Ax=0Bx=-1C
=0,
=-1,D
=-1
=-2
二填空题(每小题5分,共25分)
6方程(1+
)
-(1-
)x=0解是
=_____,
=__________
7当x=__________时,分式
值为零。
8若代数式
与代数式4(x-3)的值相等,则x=_________________
9已知方程(x-4)(x-9)=0的解是等腰三角形的两边长,则这个等腰三角形的周长=_______.
10如果
,则关于x的一元二次方程a
+bx=0的解是_________
三解答题(每小题10分,共50分)
11解方程
(1)
+2x+1=0
(2)4
-12x+9=0(3)25
=9
(4)7x(2x-3)=4(3-2x)12解方程
=(a-2)(3a-4)13已知k是关于x的方程4k
-8x-k=0的一个根,求k的值。
?
14解方程:
-2
+1=015对于向上抛的物体,在没有空气阻力的情况下,有如下关系:
h=vt-
g
其中h是上升到高度,v是初速度,g是重力加速度,(为方便起见,本题中g取10米/
),t是抛出后所经过的时间。
如果将一物体以每秒25米的初速向上抛,物体多少秒后落到地面
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- 一元二次方程的解法 一元 二次方程 解法 教案