高数教案数列极限.docx
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高数教案数列极限
数学
MATH
课题:
数列的极限
目的要求:
教学重点:
教学难点:
教学课时:
教学方法:
教学内容与步骤:
数列的极限
设xn=f(n)是一个以自然数集为定义域的函数,将其函数值按自变量大小顺序排成一列,x1,x2,…xn,…,称为一个数列.xn称为数列的第n项,也称为通项,数列也可表示为{xn}或xn=f(xn))例:
看数列1.
从直观上看,这个数列当n越来越大时,对应的项xn会越来越接近于1,或者说“当n趋向于无穷大时,数列xn趋近于1''.如何用精确的,量化的数学语言来刻划这一事实?
注意到,实数a,b的接近程度由|a-b|确定.|a-b|越小,则a,b越接近.因此,要说明“当n越来越大时,xn越来越接近于1”就只须说明“当n越来越大时,|xn-1|会越来越接近于0”.而要说明“|xn-1|越来越接近于0”则只须说明“当n充分大时,|xn-1|能够小于任意给定的,无论多么小的正数ε”就行了,也就是说无论你给一个多么小的正数ε,当n充分大时,|xn-1|比ε还小,由于ε是任意的,从而就说明了|xn-1|会越来越接近于0.
事实上,
,给
很小,要
只须n>1000即可,也即在这个数列中,从第1001项开始,以后各项都有
又给:
则从第10001项开始,以后各项都有
,一般,任给ε>0,不论多么小,要使
,只须
,因此,从第
项开始,以后各项都有
,因ε是任意的,这就说明了当n越来越大时,xn会越来越接近于1.
定义:
设{xn}是一个数列,a是一个常数,若∀ε>0,∃正整数N,使得当n>N时,都有|xn-a|<ε,则称a是数列{xn}当n无限增大时的极限,或称{xn}收敛于a,记作:
这时,也称{xn}的极限存在,否则,称{xn}的极限不存在,或称{xn}是发散的.
比如,对于刚才的数列1.有
,
注1.定义中的ε是预先给定的,任意小的正数,其任意性保证了xn可无限接近于a,另外,ε又是确定的,它不是变量.
注2.一般说来,N随给定的ε变化而变化,给不同的ε确定的N也不同,另外,对同一个ε来说,N不是唯一的(若存在一个N,则N+1,N+2,…,均可作为定义中的N.)
注3.定义中“当n>N时,有|xn-a|<ε”的意思是说,从第N+1项开始,以后各项都有|xn-a|<ε,至于以前的项是否满足此式不必考虑.可见一个数列是否有极限只与其后面的无穷多项有关.而与前面的有限多项无关.改变,去掉数列的前有限项,不改变数列收敛或发散的性质.
几何意义:
由于|xn-a|<ε⇔a-ε 例1.若xn=c(常数),则 证明: ∀ε>0.由于|xn–1|=|c–c|=0,取N=1,当n>N时,有|xn–c|=0<ε,故 即常数的极限就是常数本身. 例2.设q是满足|q|<1的常数,证明 证: 若q=0,结论显然成立. 设0<|q|<1.现在,xn=qn,a=0. ∀ε>0.(要证∃N,当n>N时,有|qn-0|<ε) 因|xn-a|=|qn-0|=|qn|=|q|n,要使|xn-a|<ε,只须|q|n<ε即可.即nln|q| 取正整数 则当n>N时,有 从而有|qn-0|<ε 练习.证明: 证: ∀ε>0(要证∃N,当n>N时,有 要使 , 则,当n>N时,有 练习: 证: ∀ε>0,由于 要使|xn-a|<ε, 则当n>N时,有: 数列极限性质: 定理1.若数列收敛,则其极限唯一. 证: 反设xn收敛,但极限不唯一,即,xn→a,且xn→b,(n→∞),a≠b.
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- 教案 数列 极限