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矩阵对角化若当标准型
第三章矩阵的对角化、若当标准型
§矩阵对角化
线性变换在基下的矩阵若为对角阵,则向量在基下的表示将非常简单,而线性变换在两个基下的矩阵相似,故线性变换在基下矩阵为对角阵问题即为矩阵对角化问题。
一、特征值、特征向量性质
定义1设ACnn,称A的全体特征值为A的谱。
下面定理1是显然的。
定理1相似矩阵有相同的特征多项式,从而有相同的谱。
由于矩阵A的不同特征值对应的特征子空间的和是直和,故有下面定理2。
定理2设ACnn,则A的不同特征值对应的特征向量线性无关。
定义2设ACnn,i为A的特征值,称A的特征多项式中i的重根数mi为i
的代数重复度,称特征子空间Vj的维数i为i的几何重复度。
由定义2即知A的特征值i的几何重复度i为A对应于特征值i的线性无关特征向量的个数。
定理3设ACnn,i为A的特征值,i为i的几何重复度,则
inrank(iInA)
证明特征子空间V{x|Axix,xCn},所以
idimVdimN(iInA)
ndimR(iInA)
nrank(iInA)
123
例1求A323的谱,及相异特征值的代数重复度和几何重复度。
001
12
3
解det(I
A)
32
3
00
1
(1)2(4)
所以A的谱为
11
1,24,
1,
2的代数重复度分别为m12,m21
i的几何重复度i3rank(jA)
00
0
2的几何重复度23rank(2I
A)
3
2
3
3rank3
2
31
0
0
5
定理4设ACnn,i为A的特征值,
mi为i的代数重复度,
3rank3331
i为i的几何
重复度,则imi
证明因为i为i的几何重复度,所以
A对应于i有i个线性无关的特征向
量1,2,L,i是特征子空间Vj的基,将1,2丄,i扩充为Cn的基
1,2,L,i,i1,Ln
设P[12Lii1Ln],贝U
APA[12Lii1Ln]
[i1i2LiiAi1,LAn]
I
s
i
I
!
*
i
[12Lii1Ln]O
J
I
i__;
O
PB
其中c(ni)(ni),BO
i
O
所以矩阵A与B相似,故特征多项式
det(lnA)det(InB)
(i)idet(Ini)
又因为
det(InA)(i)mf()
所以imi。
二、矩阵的对角化
定义3设ACnn,若A与对角阵相似,则称A可对角化,可对角化的矩阵称为单纯矩阵。
定理5设ACnn,则A为单纯矩阵的充分必要条件是A的任一特征值的代数重复度等于几何重复度。
证明设1,2丄,为A的全部相异特征值,mi为i的代数重复度,i为i的几何重复度,i1,2,L,。
充分性因为mn,imi,所以A有n个线性无关的特征向量
i1
pl,p;,L,p1i,Pi2,p;,L,p22,L,Pi,P2,L,p
其中p1,p2丄,p:
为i对应的特征向量,i1,2,L,。
设
P[p1,p2,L,p11,p",p|,L,p22,L,p!
p2丄,p]
则
APPdiag[1,L,1,2丄,2丄,丄,]
APdiag[1,L,1,2,L,2,L,,L,]P
必要性设A与diag[1,2丄,n]相似,贝U1,2丄,n是A的特征值,不妨设
1
APdiag[141,L24,31,142,L2,432,L,14,L2,43]P
m1m2m
则A关于特征值i至少有mi个线性无关的特征向量,即imi,又由定理4:
imi,故得imi,i1,2,L,。
由定理5的证明显然有下面的结论。
推论1设ACnn,则A为单纯矩阵的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。
推论2设ACnn,若A有n个不同的特征值,则A为单纯矩阵。
三、正规阵及其对角化
定义4设ACnn(Rnn),如果AhAAAh,则称A为复(实)正规阵。
显然埃尔米特矩阵(对称阵)、反埃尔米特矩阵(反对称阵)和酉矩阵(正交阵)都是复(实)正规阵。
定义5设A,BCnn(Rnn),若UUnn(Enn),使得
HT
AUBUH(AUBUT)
则称代B酉(正交)相似。
引理1(司楚尔(Schur)引理)设ACnn,贝UUUnn,使得AURUH,其中R是上三角阵,且R的对角线为A的特征值。
证明用归纳法当n1时,命题显然。
假设nm时命题成立,要证nm1时命题也成立。
设Ac(m1)(m1),1为A的特征值,U1为其对应的特征向量,且||U1||1。
将
U1扩充为Cm1的标准正交基
U1,U2,L,Um1
记U1[U1U2LUm1],则
H
u1
H
u2
M
H
um1
Au1Au2L
Aum1
OA1
因为A1Cmm,故由假设V1
Umm,使得AViRViH,其中Ri为上三角阵。
所
OV1R1V1H
1O1BV11
OV1OR1OV1H
所以
U1
1BV1
V1
OR1
O
V1H
记UU11O,R
1OV1
BV1
R1
,则
(m1)(m1)
URU
其中R为上三角阵。
因为A与R酉相似,故A与R有相同的特征值,所以R的对角线元素为A的特征值。
推论3设ACnn,贝UUUnn,使得AURUh,其中R是下三角阵,且R的对角线为A的特征值。
定理6设ACnn,则A为正规阵的充分必要条件是UUnn,使得
AUUH,其中
diag[1,2,L,
n],
1
2,L
n是A的特征值。
证明必要性
由司楚尔引理U
Un
n
使得
r11
r12
L
r1n
H
0
r22
L
r2n
AURUH,R
M
M
O
M
0
0
L
rnn
且R的对角线为A的特征值1,2丄
n
0
因为
HhHHHH
AAURUURUURRU
AHA
AA
Hhh
URUURU
l_l
URRU
所以rrhrhr,
即
*1
「12L
An
r11
0
L
0
0
r22L
Dn
r12
r22
L
0
M
MO
M
M
M
O
M
0
0L
rnn
r1n
r2n
L
rnn
r11
0
L
0
「11
r12
L
r1n
r12
r22
L
0
0
r22
L
「2n
M
M
O
M
M
M
O
M
r1n
「2n
L
rnn
0
0
L
rnn
比较此式两端即得Rdiag[1,2丄,n]。
充分性AUUH,故AHAAAh。
推论4正规阵是单纯矩阵。
推论5正规阵的属于不同特征值的特征子空间正交。
证明由定理6知A酉相似对角阵,故A的不同特征值的特征子空间基底正交,故得证。
推论6设A为正规阵,其特征值为1,2丄,n,则AH的特征值为
证明因为A为正规阵,所以UUnn,使得
AUdiag[i,2丄
n]U
所以
AHUdiag[;,",L
n]U
即Ah的特征值为",~2,L
推论7设A为正规阵,则A为Hermite矩阵的充分必要条件是A的特征值都是实数。
证明由推论6,若AAH,则A的特征值为实数。
反之若A的特征值为实
数,则AAh
推论8设A为正规阵,则A为酉矩阵的充分必要条件是A的特征值
I(A)|1。
证明因为A为正规阵,所以UUnn,使得
H
AUdiag[i,2丄,n]U
若AAhI,贝U1,即|i|1,i1,2丄,n。
反之,若|i|1,i1,2,L,n,则AAhI。
n阶正规阵A酉相似于对角阵,求酉矩阵UUnn,使得
H
UAUdiag[仆2丄,n]
的方法与线性代数中实对称阵对角化方法相似,介绍如下。
(1)求出A的相异特征值1,2丄,
(2)对A的每个相异特征值i求出其对应的特征子空间的基底
p1,p2,L,pii(即方程(jA)x0的基础解系),i1,2,L,。
(3)将p1,p2,L,pii化为i对应的特征子空间标准正交基1,2,L,ii(用
施密特正交化,然后单位化),i1,2丄,
(4)取U[12L1112fL22L12L],则
H
UAUdiag[1,L,1,2,L,2,L,,L,]
§埃尔米特二次型
埃尔米特矩阵是实对称阵的推广,而一个实对称阵对应着一个实二次型,相
应的我们讨论复(埃尔米特)二次型,这在力学及其它一些工程中有重要的应用。
一、埃尔米特矩阵
定理1设AAhCnn,则
(1)A酉相似于对角线上都是A的特征值的对角阵,且A的特征值都是实数。
1P
(2)若rankAr,则A与矩阵
Irp合同(称p为A的正惯性指
O
数,rp为A的负惯性指数)
证明
(1)由本章§1定理6及推论7即得。
(2)因为A为正规阵,所以uUnn,使得
AUdiag[!
2,L
n]U
0,则
由上述证明可得出埃尔米特矩阵
A的正、负惯性指数即为A的正、负特征值
AUdiag[1,2,L
n]UH
N1
IP
N1
Un2
IrP
n2u
I
nr
O
Inr
其中对角阵
-
|p1|
N1=
O
n2=
O
\p
|r|
N1
记VU
N2
则vcn
n,且
Inr
不妨设1,2丄,r0,其中1,2,L,p0,p1,p2丄
1P
H
AVIrPV
O
的个数,从而A的惯性指数唯一确定,是合同变换下的不变量
定理2设ACnn,则A为Hermite矩阵的充分必要条件是xCn,xHAx为
实数。
证明必要性因为xHAx是数且A为Hermite矩阵,所以
xHAx(xhAx)hxHAx
故xHAx为实数。
充分性因为xhAx为实数,故xHAxxhAhx,即xh(AAh)x0。
设
BAAh(bsj),则xhBx0
(1)取x[0L010L0]T,则xhBxbtt0,t1,2,L,n
(2)
取X
[0L
010L
s
010L
j
0]T,则xh
Bx
bb-b-
jjs
bjj0,由
(1)
知
bsjbjs
0。
(3)
取X
[0L
010L
s
0i0L
j
0]TG~
i),
则xhBxbs
;Sibsjibjs
bjj
0,
所以bsj
bjs
0,由
(2)
得bsj
bjs0,
即b
O,故a
ah。
、埃尔米特二次型
定义1设x[X1X2LXn]TCn,称n元二次齐次函数
nn
f(x)f(X,,X2丄,Xn)ajXXj
i1j1
为埃尔米特二次型或复二次型,其中
a11
a12
L
a1n
a21
a22
L
a2n
右记a
M
M
O
M
an1
an2
L
ann
aijaji
,则A
C,i1,2,L,n,j1,2,L,n。
ahcnn,且埃尔米特二次型
f(x)xhAx。
由定理2知埃尔米特二次型xhAx是实数,如果作可逆线性变换
xCy,贝Uf(x)xhAx
yH(CHAC)y,而BChAC也是埃尔米特矩阵,这样,
f(x)就化为关于y的埃尔米特二次型,即f(x)yHBy。
定理3对埃尔米特二次型f(x)xhAx,xCn,存在酉变换xUy,使得f(x)为标准型,即
f(X)XHAx1|y1|22|y2|2Ln|yn|2
其中y[y"2Lyn]TCn,1,2丄,n是A的特征值且为实数。
证明因为a为埃尔米特矩阵,所以由定理1的
(1)UUnn,使得
HUHAUdiag[1,2,L,n]
且1,2,L,n为实数。
令xUy,则
HHH
f(x)yHUHAUyyHdiag[1,2,L,n]y
222
1|y1|2|y2|2Ln|yn|2
定理4设rankAr,A的正惯性指数为p,则存在可逆线性变换xCy,使得埃尔米特二次型f(x)xHAx(xCn)为规范标准型,即
f(x)|y1|2|y2|2L|yp|2|yp1|2|yp2|2L|yr|2
证明由定理1的
(2)易得。
定义2设埃尔米特二次型f(x)xHAx,如果xCn,x0,均有f(x)xHAx0(0),则称此二次型为正定的(半正定的),且称A为正定阵(半正定阵)。
定理5设AAhCnn,则A正定充分必要条件是A与正线对角阵合同,即存在可逆阵PCnn,使得PhAPdiag[dia,L,dn],其中dia,L,dn0。
证明充分性令xPy,则埃尔米特二次型
HHH
f(x)xHAxyH(PHAP)y
H
ydiag[d1,d2,L,dn]y
222
di|%|d21y21Ldn|yn|
因为x0,f(x)0,由P的可逆性即得y0,f(x)0,故di,d2,L,dn0
推论1设AAhCnn,若B与A合同,则B与A的正定性相同。
证明因为B与A合同,故B也是埃尔米特矩阵,若A正定,则A与正线对角阵合同,故B也与正线对角阵合同,所以B正定,反之若B正定,同理A正定。
推论2设AAhCnn,则下列命题等价:
(1)A正定;
(2)A的特征值都是正实数;
(3)A与单位阵合同;
(4)对任意可逆阵QCnn,均有QHAQ正定。
证明
(1)
(2)由定理3的证明易得。
(1)(3)由定理5显然。
(1)(4)因为QhAQ与A合同,由推论1得证
定理
Ah
(3j)Cnn,则A正定充分必要条件是
A的顺序主子式都
大于零,即
an
a12
321
322
al1
a12
L
31n
321
322
L
32n
M
M
O
M
3n1
3n2
L
3nn
L,
0
证明必要性
311
◎2
L
31k
321
322
L
32k
M
M
O
M
3k1
3k2
L
3kk
ck
,x
tk
c
A
0
n,则
其中0tk[x^LXk]T
H"
f(x)xAxk1,2,L,n,故A的顺序主子式都大于零。
tkH0
Ak
Bh
B1
B2
tk
0
tH人tk0
所以Ak正定,设1(k)
IL
kk)为Ak的特征值,则
|Ak|
(k)(k)(k)
12Lk0,
充分性用归纳法当n1时命题显然。
假设nm时命题成立,下证nm1命题也成立。
设aAm
Ban
11m1
C(m
1)(m1)
其中正定阵AmAmCmm,取
ImAmBl
则
O1
Im
O
Am
B1
Im
Am1^
Q1AQ1
B1HAm1
1
B1H
am1m
1O
1
An
O
am1m1
因为|A|O,|Aml0,由上式可得am1m1BHAm^dm10。
由Am正定知Am与
正线对角阵合同,即存在可逆阵q2cmm,使得
H
Q2Q2,d1,d2,L,dm
H
AmQ2diag[d1,d2,L,dm]Q2
AmO
Odm1
H
Q2OOQ2O
O1Odm1O1
所以A与正线对角阵diag[d1,d2,L,dm,dm1]合同,故A正定。
例1判断埃尔米特二次型f(x「x2)x1x1ix1x2iX|X22x2x2是否正定。
1i
解an1,62i,a21i,a?
22,所以A.,由于A的顺序主
子式|an|0,|A|0,故f正定。
对半正定埃尔米特二次型有类似结论。
定理7设AAhCnn,则A半正定充分必要条件是A与非负实线对角阵合
同,即存在可逆阵PCnn,使得PhAPdiag[d1,d2,L,dn],其中dd,L,dn0
推论3设AAhCnn,则下列命题等价:
(1)A半正定;
(2)A的特征值都是非负实数;
(3)A与IrO阵合同,rrankA;OO
(4)对任意可逆阵QCnn,均有QhAQ半正定。
定理8设AAh(aj)Cnn,则A半正定充分必要条件是A所有主子式都非负(A的k阶主子式为任取A的k行与对应的k列而构成的k阶子式)。
三、同时对角化
在力学系统小振动等一些工程问题中,我们需要将两个埃尔米特二次型作相同的线性变换,同时化为标准型,即将两个埃尔米特矩阵同时对角化,这也是广义特征值问题。
定义3设A,BCnn都是埃尔米特矩阵且B正定,如果C,0xCn,使得
AxBx
则称为A的相对于B的广义特征值,称x为对应于广义特征值的广义特征向量。
由上述定义可以看出为A的相对于B的广义特征值充分必要条件是为广义特征方程|BA|0的根,对应于广义特征值的广义特征向量x即为线性方程组(BA)x0的非零解。
显然由于B正定,则|BA||B||IB1A|,故|BA|0当且仅当
|IB1A|0,所以此时A相对于B的广义特征值即为B1A的特征值。
定理9设A,BCnn都是埃尔米特矩阵且B正定,则A相对于B的广义特征
值1,2丄,n都是实数。
证明因为B正定,故由推论2存在可逆阵QCnn,使得QhBQI,所以
|BA||QH||IQHAQ||Q1|
所以
|BA|0|IQHAQ|0
故为QhAQ的特征值。
因为QhAQ是埃尔米特矩阵,由定理1得为实数。
定理10设A,BCnn都是埃尔米特矩阵且B正定,则存在可逆阵VCnn,使得
H
VAVdiag(仆2丄,n)
VhBVI
其中!
2,L,n为A相对于B的广义特征值。
证明因为B正定,故由推论2存在可逆阵QCnn,使得QhBQI。
由定
理9的证明知!
,2丄,n为QHAQ的特征值,故UUnn,使得
Hh
U(QAQ)Udiag(仆2丄,n)
取VQU,贝U
VHAVUHQHAQU
diag(1,2丄,n)
而
VHBVUhQhBQU
H
UIUI
推论4设f(x)xHAx是n阶埃尔米特二次型,g(x)xHBx是n阶正定埃尔
米特二次型,则存在可逆线性变换xVy,使得
222
f(x)1W1I2卜2丨Ln|yn|
222
g(x)|y1||y2|L|yn|
其中1,2,L,n为A相对于B的广义特征值。
四、瑞利(Rayleigh)商
在讨论埃尔米特二次型的范围和矩阵特征值的摄动(即矩阵有微小改变时,对应特征值的改变)问题中,瑞利商有一定的应用,在此对瑞利商概念做简单介绍。
xHAx
定义4设AAhCnn,称Ra(x)—Hax(0xCn)为A的瑞利商。
xx
显然Ra(x)是实数。
定理11设Ra(x)是埃尔米特矩阵A的瑞利商,则
(1)C,有Ra(x)Ra(x);
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