马尔科夫过程在金融中应用文献综述完整版.docx

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马尔科夫过程在金融中应用文献综述完整版

【摘要】随着我国经济的持续发展，大众对于股票投资、外汇投资、基金投资等的热情也日益高涨。

但是如股票等投资产品，其短期价格是市场供求所决定，因此股票的价格变得难以把握。

特别是从去年年末股市从熊市转为牛市，今年六月份又发生的大规模的股灾。

这时我们需要一种科学而简便的方法来预测股价，为我们投资进行指导。

小组选择了相对简单的马尔科夫过程来对这些金融投资产品的价格进行分析。

马尔科夫过程是一类随机过程，它的原始模型马尔科夫链表明事物状态由过去到现在、由现在到将来，一环接一环，像一根链条。

在预测领域，人们用其对预测对象各个状态的初始分布和各状态间的转移概率进行研究，描述状态的变化趋势，并由此来预测未来。

【关键字】马尔科夫过程股票基金汇率投资分析

（一）马尔科夫过程的理论简介

1.马尔科夫链

若随机变量序列{xn,n=0,1,2……}的参数为非负整数，且具有马尔科夫性，则称这一过程为马尔科夫链。

马尔科夫链是参数t只取离散值的马尔科夫过程，也是最简单的一种马氏过程。

2.状态和状态转移概率矩阵

状态是指客观事物可能出现或存在的状况，假如客观事物有X1,X2,…,Xn共n种状态，且每次只能处于一种状态，则每一种状态之间都有n个转向（包括自身），即：

将这种转移的可能性用概率描述，就是状态转移概率。

记{0,1,2,…}为该过程的状态空间，记为S。

将事物n个状态的状态的转移概率依次排列，可以得到一个n行n列的矩阵

0（i,j

S）

（i

S）

称P为状态转移概率矩阵。

若一步转移概率矩阵为P，则k步转移概率矩阵为p（k）:

p（k）=p（k-1）?

p=p?

p?

p…p.（k个p相乘）

3.预测模型

s（k+1）=s（k）?

p

s（k）是预测对象t=k时的状态向量；p为一步转移概率矩阵；s（k+1）是预测对象在t=k+1时的状态向量，也就是预测结果。

4.马氏链的稳定状态

稳定状态：

经过较长一段时间后。

马氏链将逐渐趋于一种状态，它与初始状态无关，在n+1期的状态概率与前一期的状态概率相等，也就是s（n+1）=s（n）成立。

马氏链达到稳定状态时的状态概率称为稳定状态概率，也称为稳定概率。

它表示在稳定状态下，预测对象处于各个状态的概率。

5.马尔科夫链预测模型所需满足的条件

（1）过程的随机性。

即在系统内部中从一个状态转移到另一个状态是随机的。

（2）过程的无后效性。

即转移概率只与当前的状态有关，与过去的状态无关。

（3）转移概率矩阵稳定保持不变。

即一个时期向下一个时期转移状态的转移概率矩阵是不变的，均为一步转移概率矩阵。

（4）预测对象的状态是有限的或可列的，而且必须在可列个时间发生状态转移。

（5）在预测过程中对预测对象用同一标准划分的各状态应相互独立。

（6）划分的状态应该包括预测对象全部可能出现的状况。

（二）案列分析

一．.利用马尔科夫过程预测当前股票走势

（之所以使用马尔科夫过程来预测当前并不明朗的股票价格走势，主要是基于我国目前股票市场的现实情况考虑的。

首先，我国股市95%由中小散户组成，受外部信息的影响较大，而且我假定以上外部信息是随机的，因此股价变化的前后联系性不强。

）

1．分析数据

在马尔科夫模型的建立中，我们小组选取了最近三个月的上证指数，共有60个数据，具体数值如下：

2015-12-10

3455.495

-0.488

持平

2015-10-29

3387.315

0.3591

持平

2015-12-9

3472.439

0.0683

持平

2015-10-28

3375.196

-1.722

下降

2015-12-8

3470.07

-1.8903

下降

2015-10-27

3434.336

0.1386

持平

2015-12-7

3536.927

0.3386

持平

2015-10-26

3429.581

0.5025

持平

2015-12-4

3524.992

-1.669

下降

2015-10-23

3412.434

1.2971

上升

2015-12-3

3584.824

1.3548

上升

2015-10-22

3368.739

1.4474

上升

2015-12-2

3536.905

2.3319

上升

2015-10-21

3320.676

-3.0553

下降

2015-12-1

3456.309

0.3165

持平

2015-10-20

3425.33

1.1406

上升

2015-11-30

3445.405

0.2649

持平

2015-10-19

3386.7

-0.1372

持平

2015-11-27

3436.303

-5.4806

下降

2015-10-16

3391.352

1.5961

上升

2015-11-26

3635.552

-0.3393

持平

2015-10-15

3338.073

2.3183

上升

2015-11-25

3647.93

0.8799

持平

2015-10-14

3262.441

-0.9349

持平

2015-11-24

3616.113

0.1605

持平

2015-10-13

3293.23

0.1694

持平

2015-11-23

3610.32

-0.5558

持平

2015-10-12

3287.662

3.2832

上升

2015-11-20

3630.5

0.3715

持平

2015-10-9

3183.152

1.266

上升

2015-11-19

3617.062

1.3618

上升

2015-10-8

3143.357

2.967

上升

2015-11-18

3568.468

-1.0077

下降

2015-9-30

3052.781

0.482

持平

2015-11-17

3604.795

-0.0599

持平

2015-9-29

3038.137

-2.0195

下降

2015-11-16

3606.957

0.7294

持平

2015-9-28

3100.756

0.2719

持平

2015-11-13

3580.839

-1.4331

下降

2015-9-25

3092.347

-1.6018

下降

2015-11-12

3632.902

-0.4752

持平

2015-9-24

3142.687

0.8601

持平

2015-11-11

3650.249

0.2682

持平

2015-9-23

3115.888

-2.1889

下降

2015-11-10

3640.485

-0.1754

持平

2015-9-22

3185.619

0.9212

持平

2015-11-9

3646.881

1.5835

上升

2015-9-21

3156.54

1.8923

上升

2015-11-6

3590.032

1.9079

上升

2015-9-18

3097.917

0.3842

持平

2015-11-5

3522.819

1.8262

上升

2015-9-17

3086.061

-2.1001

下降

2015-11-4

3459.64

4.3099

上升

2015-9-16

3152.263

4.8946

上升

2015-11-3

3316.695

-0.2523

持平

2015-9-15

3005.172

-3.5195

下降

2015-11-2

3325.085

-1.6992

下降

2015-9-14

3114.798

-2.6697

下降

2015-10-30

3382.561

-0.1403

持平

2015-9-11

3200.234

0.0732

持平

其中，表格中的第二列以及第六列是上证指数，第三列以及第七列是上证指数的增长率（%）。

于是我们根据增长率把上证指数分成了三个状态，即价格波动在正负1%以内为持平，大于正1%为上升，小于负1%为下降。

2．计算转移矩阵

在转移矩阵中2代表“上升”，1代表“持平”，0代表“下降”，比如z20表示的就是如果前一天为上涨状态那在今天股价下降的概率，从而我们得出状态转移矩阵：

2015年12月10日的上证指数为3455.495，是处于持平状态，根据上面的一步转移概率矩阵，经过一步转移到达各个状态的概率有以下关系

=0.4286>

=0.3571>

=0.2143

由此我们可以得到，下一日平价的概率最大，事实上12月11日的上证指数为3434.58，增长率为-0.61%,处于平价状态。

所以利用马尔科夫过程来预测股价是具有实际意义的。

3．计算平稳状态

若马尔科夫过程满足

则称概率分布

为马尔科夫链的平稳分布。

因此我们通过求马尔科夫过程在稳态条件下的解以得到我国A股指数在未来变化的稳定概率。

根据方程组

我们求得马尔科夫过程稳态条件下的解为：

z0=23.73%；z1=47.46%；z2=28.81%。

通过对马尔科夫过程稳态的求解，我们得出的结论是我国A股股价在2016年未来的变化趋势中，有28.81%的概率A股股价增长会高于1%，同时有47.46%的概率股价会在-1%~1%之间小范围徘徊，还会有23.73%的概率股价会下跌1%以上。

不仅如此，考虑到目前我国经济增速放缓的现状，以及在后金融危机时代贸易出口的困境，我觉得上述结论还是是比较准确的。

2015年末我国沪市指数在历史较低点徘徊，所以我个人认为未来下跌的空间并不是很大，此外由于经济增长乏力，导致大部分投资者看空未来经济，这会直接反映在未来股票市场的价格上，因此在2016年预计A股指数不会有太大的涨幅。

二．基于人民币汇率下的马尔科夫链预测模型的构建

1.分析数据

以人民币兑美元每日的中间价数据为例，数据期间为2015-09-01至2015-12-08,绘制时序图如图一。

图一人民币汇率时序图

从原始数据时序图可以看出在考察期内，汇率价在短期内有随机波动性，但从整个期间来看有明显上升的趋势，不太平稳。

一阶差分difxt=xt-xt-1（t=1,2,…）,它表示t时的值与t-1时值的差。

从图二知，做一阶差分可以消除长期趋势，得到短期随机波动。

图二人民币汇率一阶差分后曲线图

从差分后的图形来看，差分后序列无明显的趋势变动，可以将其看作一随机平稳序列，时刻t的状态只与其前一期t-1的状态有关，而与t-1以前的状态无关，序列又是离散的，所以可以考虑采用马尔科夫法对后期的变动进行预测。

以下为利用sas软件对差分序列进行模型的相关检验过程：

上图为序列的白噪声（随机性）检验。

延迟6阶、12阶及18阶的P值均小于0.05,表明差分后序列值间蕴含着相关关系，为非白噪声序列。

有值得进一步分析的价值。

将汇率价分为跌、平、涨三种状态进行分析。

根据序列数值的大小的以往经验，把跌、平、涨所对应的数值区间划分如下：

difxt<-0.01（汇率价处于下跌状态1）

0.01>difxt>-0.01（汇率价处于下跌状态2）

difxt>0.01（汇率价处于下跌状态3）

2.计算转移矩阵

根据以上划分，计算各状态的初始概率pi列表如下：

状态

下跌状态

平价状态

上升状态

状态界限

difxt

-0.01

0.01>difxt>-0.01

difxt

0.01

处于该状态的总数M

9

61

14

初始概率pi

0.107

0.726

0.167

根据状态划分，可以得到从某一状态向另一状态转移的点数Mij，然后计算状态之间的转移概率，从而得到各个状态之间的转移概率矩阵为

2015-12-08的汇率价为6.41665，处于上涨的状态，根据上面的一步转移概率矩阵，经过一步转移到达各个状态的概率有以下关系

=0.769>

=0.154>

=0.077

所以下一日转为平价的概率最大，转为上涨和下跌的概率较小，有足够的理由相信下一交易日汇率价平价的可能性很大。

事实上。

下一交易日即2015-12-09的汇率价为6.4140，较前一日下跌0.00265，处于平价状态，符合预测结果。

3.稳定状态下的马尔科夫链

可证明，若马氏链的一步状态转移概率矩阵为标准概率矩阵，那么马氏链必定有稳定状态。

汇率价稳定概率的求解过程如下：

依据马尔科夫链系统稳定条件，

1）S（k）=S（k）p

2）S（k）=（x1,x2,x3）

3）=1

所以有（x1,x2,x3）=（x1,x2,x3）

且x1+x2+x3=1

求得：

x1=0.0966，x2=0.7402，x3=0.1632。

从上面的计算结果可看出，随着汇率每日中间价增加到足够多，汇率价最终以0.1632的概率上涨，以0.7402的概率持平，以0.0966的概率下跌。

从短期看，该模型可以比较准确地预测汇率价的走势。

计算结果表明，在短期内汇率上升的概率逐渐增大，说明汇率价下降的压力会增大。

此外，汇率价以74.02%的概率持平，说明汇率在今后一段时间仍然以调整为主，并伴随着上趋势的汇率价上升。

由于马氏链具有“无后效性”，所以在市场有效的条件下，预测汇率价走势比较准确。

三．基于马尔科夫链的基金预测研究

1.分析数据

根据马尔科夫过程原理，我们选取了基金银丰为例，采用东方财富网上基金每个交易周的净资产值和上周收盘价数据，时间跨度从2014年9月19日到2015年12月4号，以每个交易周为一个时间间隔，根据折扣率=（单位资产净值-收盘价）／单位资产净值。

除去节假日，共得到64个数据，依据时间为序，市价折扣率r（%）如下：

1.1520.1640.1530.1330.1550.1530.1720.1720.1520.1820.1750.314

1.920.1510.1180.1100.1410.1500.1310.1290.1360.1370.1310.109

1.1270.1420.1280.1370.0950.0710.0730.1170.1760.2130.2370.210

1.2500.2540.2490.2690.2720.3020.2210.1470.2100.2970.2270.213

1.2450.2270.1990.1890.1440.1460.1500.1450.1740.1790.1620.147

1.1630.1620.1410.108

2．求解过程

观察以上数据的分布，经过谨慎的初始点的选择，以0.1为间距，共划分为4个状态，保证数据的连续性和合理性，状态空间为I=（1、2、3、4），当r小于0.1时等于1,；当r处于0.1-0.2之间时等于2；当r处于0.2-0.3之间时等于3；当r大于0.3时等于4。

记录下各交易周r所处的状态：

2222222222241222222222222222111223333333343233333322222222222222

根据状态划分，可以得到从某一状态向另一状态转移的点数，然后计算状态之间的转移概率，从而得到各个状态之间的转移概率矩阵为：

解方程组：

结果为：

通过上面计算的结果，预测下一个交易周也就是12月9日折扣率的变化趋势。

12月4日的折扣率为0.108，处于状态2

而P

=1/52，P

=48/52，P

=2/52，P

=1/52。

即为未来一个交易周内折扣率下降的概率是1/52，持平的概率是48/52，上升的概率是3/52。

我们通过一步转移矩阵来预测下一个交易周内该基金市价折扣保持不变、上升、下降的概率，可以使投资者产生对趋势和价值的敏感。

我们常在证券市场上听到低买高卖，真正的投资者对低和高的概念是针对净价值而言，将价格和价值联系起来操作，切忌把基金作为一般的股票进行频繁的短线操作。

由于市场的无序性，想要准确的预测每一个基金的涨幅是根本不可能的，但我们的量化研究给了投资者一个量化指标，使投资者增加了胜算的把握。

（三）总结

基于经济活动的复杂、多变以及带有许多随机性因素的特点，为了能够更加科学的预测金融所关心的各项经济指标，以便为金融的未来做出正确的决策方案，本文针对经济实例建立了马尔可夫链模型，运用简单的矩阵运算的求解方法对金融的相关问题进行预测。

此方法简单适用，易于推广，只要经济发展的各方面环境条件相对稳定或者变化较小，在不太长的时期内这些结论仍会有一定的意义。

但应根据实际情况对初始向量和转移矩阵做出调整，以符合变化规律，提高预测的可信度。

参考文献：

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