初中数学因式分解专题训练及答案解析.docx

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初中数学因式分解专题训练及答案解析

七年级下数学因式分解专题训练

一．选择题（共13小题）

1．下列因式分解错误的是（　　）

A．

x2﹣y2=（x+y）（x﹣y）

B．

x2+6x+9=（x+3）2

C．

x2+xy=x（x+y）

D．

x2+y2=（x+y）2

2．把x2+3x+c分解因式得：

x2+3x+c=（x+1）（x+2），则c的值为（　　）

A．

2

B．

3

C．

﹣2

D．

﹣3

3．一次课堂练习，王莉同学做了如下4道分解因式题，你认为王莉做得不够完整的一题是（　　）

A．

x3﹣x=x（x2﹣1）

B．

x2﹣2xy+y2=（x﹣y）2

C．

x2y﹣xy2=xy（x﹣y）

D．

x2﹣y2=（x﹣y）（x+y）

4．下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的为（　　）

A．

a（x+y）=ax+ay

B．

x2﹣4x+4=x（x﹣4）+4

C．

10x2﹣5x=5x（2x﹣1）

D．

x2﹣16+3x=（x﹣4）（x+4）+3x

5．下列多项式能分解因式的是（　　）

A．

x2﹣y

B．

x2+1

C．

x2+xy+y2

D．

x2﹣4x+4

6．下列分解因式正确的是（　　）

A．

3x2﹣6x=x（3x﹣6）

B．

﹣a2+b2=（b+a）（b﹣a）

C．

4x2﹣y2=（4x+y）（4x﹣y）

D．

4x2﹣2xy+y2=（2x﹣y）2

7．下列多项式中，能用公式法分解因式的是（　　）

A．

x2﹣xy

B．

x2+xy

C．

x2﹣y2

D．

x2+y2

8．把代数式ax2﹣4ax+4a分解因式，下列结果中正确的是（　　）

A．

a（x﹣2）2

B．

a（x+2）2

C．

a（x﹣4）2

D．

a（x+2）（x﹣2）

9．下列因式分解错误的是（　　）

A．

x2﹣y2=（x+y）（x﹣y）

B．

x2+y2=（x+y）（x+y）

C．

x2﹣xy+xz﹣yz=（x﹣y）（x+z）

D．

x2﹣3x﹣10=（x+2）（x﹣5）

10．已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足a3+ab2+bc2=b3+a2b+ac2，则△ABC的形状是（　　）

A．

等腰三角形

B．

直角三角形

C．

等腰三角形或直角三角形

D．

等腰直角三角形

11．任何一个正整数n都可以进行这样的分解：

n=s×t（s，t是正整数，且s≤t），如果p×q在n的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解，并规定：

F（n）=

．例如18可以分解成1×18，2×9，3×6这三种，这时就有F（18）=

=

．给出下列关于F（n）的说法：

（1）F

（2）=

；

（2）F（24）=

；（3）F（27）=3；（4）若n是一个完全平方数，则F（n）=1．其中正确说法的个数是（　　）

A．

1

B．

2

C．

3

D．

4

12．（﹣8）2006+（﹣8）2005能被下列数整除的是（　　）

A．

3

B．

5

C．

7

D．

9

13．如果x2+x﹣1=0，那么代数式x3+2x2﹣7的值为（　　）

A．

6

B．

8

C．

﹣6

D．

﹣8

二．填空题（共12小题）

14．若x2+4x+4=（x+2）（x+n），则n=　_________　．

15．多项式ax2﹣4a与多项式x2﹣4x+4的公因式是　_________　．

16．因式分解：

ax2y+axy2=　_________　．

17．计算：

9xy•（﹣

x2y）=　_________　；分解因式：

2x（a﹣2）+3y（2﹣a）=　_________　．

18．若|m﹣4|+（

﹣5）2=0，将mx2﹣ny2分解因式为　_________　．

19．因式分解：

（2x+1）2﹣x2=　_________　．

20．分解因式：

a3﹣ab2=　_________　．

21．分解因式：

a3﹣10a2+25a=　_________　．

22．因式分解：

9x2﹣y2﹣4y﹣4=　_________　．

23．在实数范围内分解因式：

x2+x﹣1=　_________　．

24．已知P=3xy﹣8x+1，Q=x﹣2xy﹣2，当x≠0时，3P﹣2Q=7恒成立，则y的值为　_________　．

25．在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：

如对于多项式x4﹣y4，因式分解的结果是（x﹣y）（x+y）（x2+y2），若取x=9，y=9时，则各个因式的值是：

（x﹣y）=0，（x+y）=18，（x2+y2）=162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式4x3﹣xy2，取x=10，y=10时，用上述方法产生的密码是：

　_________　（写出一个即可）．

三．解答题（共5小题）

26．化简：

（a﹣b）（a+b）2﹣（a+b）（a﹣b）2+2b（a2+b2）

27．因式分解：

x2（y2﹣1）+2x（y2﹣1）+（y2﹣1）．

28．在实数范围内分解因式：

．

29．计算：

1﹣a﹣a（1﹣a）﹣a（1﹣a）2﹣a（1﹣a）3﹣…﹣a（1﹣a）2000﹣[（1﹣a）2001﹣3]

30．为进一步落实《中华人民共和国民办教育促进法》，某市教育局拿出了b元资金建立民办教育发展基金会，其中一部分作为奖金发给了n所民办学校．奖金分配方案如下：

首先将n所民办学校按去年完成教育、教学工作业绩（假设工作业绩均不相同）从高到低，由1到n排序，第1所民办学校得奖金

元，然后再将余额除以n发给第2所民办学校，按此方法将奖金逐一发给了n所民办学校．

（1）请用n、b分别表示第2所、第3所民办学校得到的奖金；

（2）设第k所民办学校所得到的奖金为ak元（1≤k≤n），试用k、n和b表示ak（不必证明）；

（3）比较ak和ak+1的大小（k=1，2，…，n﹣1），并解释此结果关于奖金分配原则的实际意义．

七年级下数学因式分解专题训练

参考答案与试题解析

一．选择题（共13小题）

1．下列因式分解错误的是（　　）

A．

x2﹣y2=（x+y）（x﹣y）

B．

x2+6x+9=（x+3）2

C．

x2+xy=x（x+y）

D．

x2+y2=（x+y）2

考点：

因式分解的意义．

分析：

根据公式特点判断，然后利用排除法求解．

解答：

解：

A、是平方差公式，正确；

B、是完全平方公式，正确；

C、是提公因式法，正确；

D、两平方项同号，因而不能分解，错误；

故选D．

点评：

本题主要考查了对于学习过的两种分解因式的方法的记忆与理解，需熟练掌握．

2．把x2+3x+c分解因式得：

x2+3x+c=（x+1）（x+2），则c的值为（　　）

A．

2

B．

3

C．

﹣2

D．

﹣3

考点：

因式分解的意义．

分析：

根据因式分解与整式的乘法互为逆运算，把（x+1）（x+2）利用乘法公式展开即可求解．

解答：

解：

∵（x+1）（x+2）=x2+2x+x+2=x2+3x+2，

∴c=2．

故选A．

点评：

本题主要考查了因式分解与整式的乘法互为逆运算．是中考中的常见题型．

3．一次课堂练习，王莉同学做了如下4道分解因式题，你认为王莉做得不够完整的一题是（　　）

A．

x3﹣x=x（x2﹣1）

B．

x2﹣2xy+y2=（x﹣y）2

C．

x2y﹣xy2=xy（x﹣y）

D．

x2﹣y2=（x﹣y）（x+y）

考点：

因式分解的意义．

分析：

要找出“做得不够完整的一题”，实质是选出分解因式不正确的一题，只有选项A：

x3﹣x=x（x2﹣1）没有分解完．

解答：

解：

A、分解不彻底还可以继续分解：

x3﹣x=x（x2﹣1）=x（x+1）（x﹣1），

B、C、D正确．故选A．

点评：

因式分解要彻底，直至分解到不能再分解为止．

4．下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的为（　　）

A．

a（x+y）=ax+ay

B．

x2﹣4x+4=x（x﹣4）+4

C．

10x2﹣5x=5x（2x﹣1）

D．

x2﹣16+3x=（x﹣4）（x+4）+3x

考点：

因式分解的意义．

分析：

根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式，利用排除法求解．

解答：

解：

A、是多项式乘法，错误；

B、右边不是积的形式，x2﹣4x+4=（x﹣2）2，错误；

C、提公因式法，正确；

D、右边不是积的形式，错误；

故选C．

点评：

这类问题的关键在于能否正确应用分解因式的定义来判断．

5．下列多项式能分解因式的是（　　）

A．

x2﹣y

B．

x2+1

C．

x2+xy+y2

D．

x2﹣4x+4

考点：

因式分解的意义．

分析：

根据多项式特点结合公式特征判断．

解答：

解：

A、不能提公因式也不能运用公式，故本选项错误；

B、同号不能运用平方差公式，故本选项错误；

C、不符合完全平方公式，应该是x2+2xy+y2，故本选项错误；

D、符合完全平方公式，正确；

故选D．

点评：

本题主要考查了公式法分解因式的公式结构特点的记忆，熟记公式是解题的关键．

6．下列分解因式正确的是（　　）

A．

3x2﹣6x=x（3x﹣6）

B．

﹣a2+b2=（b+a）（b﹣a）

C．

4x2﹣y2=（4x+y）（4x﹣y）

D．

4x2﹣2xy+y2=（2x﹣y）2

考点：

因式分解-运用公式法；因式分解-提公因式法．

专题：

计算题．

分析：

根据因式分解的定义，把一个多项式写成几个整式积的形式叫做因式分解，并根据提取公因式法，利用平方差公式分解因式法对各选项分析判断后利用排除法求解．

解答：

解：

A、3x2﹣6x=3x（x﹣2），故本选项错误；

B、﹣a2+b2=（b+a）（b﹣a），故本选项正确；

C、4x2﹣y2=（2x+y）（2x﹣y），故本选项错误；

D、4x2﹣2xy+y2不能分解因式，故本选项错误．

故选B．

点评：

本题主要考查了因式分解的定义，熟记常用的提公因式法，运用公式法分解因式的方法是解题的关键．

7．下列多项式中，能用公式法分解因式的是（　　）

A．

x2﹣xy

B．

x2+xy

C．

x2﹣y2

D．

x2+y2

考点：

因式分解-运用公式法．

分析：

能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：

两个平方项，符号相反；

能用完全平方公式法进行因式分解的式子的特点是：

两个平方项的符号相同，另一项是两底数积的2倍．

解答：

解：

A、x2﹣xy只能提公因式分解因式，故选项错误；

B、x2+xy只能提公因式分解因式，故选项错误；

C、x2﹣y2能用平方差公式进行因式分解，故选项正确；

D、x2+y2不能继续分解因式，故选项错误．

故选C．

点评：

本题考查用公式法进行因式分解．能用公式法进行因式分解的式子的特点需识记．

8．把代数式ax2﹣4ax+4a分解因式，下列结果中正确的是（　　）

A．

a（x﹣2）2

B．

a（x+2）2

C．

a（x﹣4）2

D．

a（x+2）（x﹣2）

考点：

提公因式法与公式法的综合运用．

分析：

先提取公因式a，再利用完全平方公式分解即可．

解答：

解：

ax2﹣4ax+4a，

=a（x2﹣4x+4），

=a（x﹣2）2．

故选A．

点评：

本题先提取公因式，再利用完全平方公式分解，分解因式时一定要分解彻底．

9．下列因式分解错误的是（　　）

A．

x2﹣y2=（x+y）（x﹣y）

B．

x2+y2=（x+y）（x+y）

C．

x2﹣xy+xz﹣yz=（x﹣y）（x+z）

D．

x2﹣3x﹣10=（x+2）（x﹣5）

考点：

因式分解-十字相乘法等；因式分解的意义；因式分解-分组分解法．

分析：

根据公式法分解因式特点判断，然后利用排除法求解．

解答：

解：

A、x2﹣y2=（x+y）（x﹣y），是平方差公式，正确；

B、x2+y2，两平方项同号，不能运用平方差公式，错误；

C、x2﹣xy+xz﹣yz=（x﹣y）（x+z），是分组分解法，正确；

D、x2﹣3x﹣10=（x+2）（x﹣5），是十字相乘法，正确．

故选B．

点评：

本题考查了公式法、分组分解法、十字相乘法分解因式，熟练掌握分解因式各种方法的特点对分解因式十分重要．

10．已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足a3+ab2+bc2=b3+a2b+ac2，则△ABC的形状是（　　）

A．

等腰三角形

B．

直角三角形

C．

等腰三角形或直角三角形

D．

等腰直角三角形

考点：

因式分解的应用．

专题：

因式分解．

分析：

把所给的等式a3+ab2+bc2=b3+a2b+ac2能进行因式分解的要因式分解，整理为非负数相加得0的形式，求出三角形三边的关系，进而判断三角形的形状．

解答：

解：

∵a3+ab2+bc2=b3+a2b+ac2，

∴a3﹣b3﹣a2b+ab2﹣ac2+bc2=0，

（a3﹣a2b）+（ab2﹣b3）﹣（ac2﹣bc2）=0，

a2（a﹣b）+b2（a﹣b）﹣c2（a﹣b）=0，

（a﹣b）（a2+b2﹣c2）=0，

所以a﹣b=0或a2+b2﹣c2=0．

所以a=b或a2+b2=c2．

故△ABC的形状是等腰三角形或直角三角形．

故选C．

点评：

本题考查了分组分解法分解因式，利用因式分解最后整理成多项式的乘积等于0的形式是解题的关键．

11．任何一个正整数n都可以进行这样的分解：

n=s×t（s，t是正整数，且s≤t），如果p×q在n的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解，并规定：

F（n）=

．例如18可以分解成1×18，2×9，3×6这三种，这时就有F（18）=

=

．给出下列关于F（n）的说法：

（1）F

（2）=

；

（2）F（24）=

；（3）F（27）=3；（4）若n是一个完全平方数，则F（n）=1．其中正确说法的个数是（　　）

A．

1

B．

2

C．

3

D．

4

考点：

因式分解的应用．

专题：

新定义．

分析：

把2，24，27，n分解为两个正整数的积的形式，找到相差最少的两个数，让较小的数除以较大的数，看结果是否与所给结果相同．

解答：

解：

∵2=1×2，

∴F

（2）=

是正确的；

∵24=1×24=2×12=3×8=4×6，这几种分解中4和6的差的绝对值最小，

∴F（24）=

=

，故

（2）是错误的；

∵27=1×27=3×9，其中3和9的绝对值较小，又3＜9，

∴F（27）=

，故（3）是错误的；

∵n是一个完全平方数，

∴n能分解成两个相等的数，则F（n）=1，故（4）是正确的．

∴正确的有

（1），（4）．

故选B．

点评：

本题考查题目信息获取能力，解决本题的关键是理解此题的定义：

所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，F（n）=

（p≤q）．

12．（﹣8）2006+（﹣8）2005能被下列数整除的是（　　）

A．

3

B．

5

C．

7

D．

9

考点：

因式分解的应用．

分析：

根据乘方的性质，提取公因式（﹣8）2005，整理即可得到是7的倍数，所以能被7整除．

解答：

解：

（﹣8）2006+（﹣8）2005，

=（﹣8）（﹣8）2005+（﹣8）2005，

=（﹣8+1）（﹣8）2005，

=﹣7×（﹣8）2005

=7×82005．

所以能被7整除．

故选C．

点评：

本题考查提公因式法分解因式，关键在于提取公因式，然后再对所剩的因数进行计算．

13．如果x2+x﹣1=0，那么代数式x3+2x2﹣7的值为（　　）

A．

6

B．

8

C．

﹣6

D．

﹣8

考点：

因式分解的应用．

专题：

整体思想．

分析：

由x2+x﹣1=0得x2+x=1，然后把它的值整体代入所求代数式，求值即可．

解答：

解：

由x2+x﹣1=0得x2+x=1，

∴x3+2x2﹣7=x3+x2+x2﹣7，

=x（x2+x）+x2﹣7，

=x+x2﹣7，

=1﹣7，

=﹣6．

故选C．

点评：

本题考查提公因式法分解因式，代数式中的字母表示的数没有明确告知，而是隐含在题设中，首先应从题设中获取代数式x2+x的值，然后利用“整体代入法”求代数式的值．

二．填空题（共12小题）

14．若x2+4x+4=（x+2）（x+n），则n=　2　．

考点：

因式分解的意义．

专题：

计算题．

分析：

根据因式分解与整式的乘法是互逆运算，把等式右边展开后根据对应项系数相等列式求解即可．

解答：

解：

∵（x+2）（x+n）=x2+（n+2）x+2n，

∴n+2=4，2n=4，

解得n=2．

点评：

本题主要利用因式分解与整式的乘法是互逆运算．

15．多项式ax2﹣4a与多项式x2﹣4x+4的公因式是　x﹣2　．

考点：

公因式．

分析：

分别将多项式ax2﹣4a与多项式x2﹣4x+4进行因式分解，再寻找他们的公因式．

解答：

解：

∵ax2﹣4a=a（x2﹣4）=a（x+2）（x﹣2），

x2﹣4x+4=（x﹣2）2，

∴多项式ax2﹣4a与多项式x2﹣4x+4的公因式是x﹣2．

点评：

本题主要考查公因式的确定，先利用提公因式法和公式法分解因式，然后再确定公共因式．

16．因式分解：

ax2y+axy2=　axy（x+y）　．

考点：

因式分解-提公因式法．

分析：

确定公因式为axy，然后提取公因式即可．

解答：

解：

ax2y+axy2=axy（x+y）．

点评：

本题考查了提公因式法分解因式，准确找出公因式是解题的关键．

17．计算：

9xy•（﹣

x2y）=　﹣3x3y2　；分解因式：

2x（a﹣2）+3y（2﹣a）=　（a﹣2）（2x﹣3y）　．

考点：

因式分解-提公因式法；单项式乘多项式．

专题：

因式分解．

分析：

（1）根据单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式，计算即可．

（2）直接提取公因式（a﹣2）即可．

解答：

解：

9xy•（﹣

x2y）=﹣

×9•x2•x•y•y=﹣3x3y2，

2x（a﹣2）+3y（2﹣a）=（a﹣2）（2x﹣3y），

故答案分别为：

﹣3x3y2，（a﹣2）（2x﹣3y）．

点评：

（1）本题考查了单项式与单项式相乘，熟练掌握运算法则是解题的关键．

（2）本题考查了提公因式法分解因式，解答此题的关键把（a﹣y）看作一个整体，利用整体思想进行因式分解．

18．若|m﹣4|+（

﹣5）2=0，将mx2﹣ny2分解因式为　（2x+5y）（2x﹣5y）　．

考点：

因式分解-运用公式法；非负数的性质：

绝对值；非负数的性质：

偶次方．

分析：

先根据绝对值非负数，平方数非负数的性质列式求出m、n的值分别是4和25，然后代入多项式，再利用平方差公式进行因式分解即可．

解答：

解：

|m﹣4|+（

﹣5）2=0

∴m﹣4=0，

﹣5=0，

解得：

m=4，n=25，

∴mx2﹣ny2，

=4x2﹣25y2，

=（2x+5y）（2x﹣5y）．

点评：

本题主要考查利用平方差公式分解因式，根据非负数的性质求出m、n的值是解题的关键．

19．因式分解：

（2x+1）2﹣x2=　（3x+1）（x+1）　．

考点：

因式分解-运用公式法．

分析：

直接运用平方差公式分解因式，两项平方的差等于这两项的和与这两项的差的积．

解答：

解：

（2x+1）2﹣x2，

=（2x+1+x）（2x+1﹣x），

=（3x+1）（x+1）．

点评：

本题主要考查平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键，本题难点在于把（2x+1）看作一个整体．

20．分解因式：

a3﹣ab2=　a（a+b）（a﹣b）　．

考点：

提公因式法与公式法的综合运用．

分析：

观察原式a3﹣ab2，找到公因式a，提出公因式后发现a2﹣b2是平方差公式，利用平方差公式继续分解可得．

解答：

解：

a3﹣ab2=a（a2﹣b2）=a（a+b）（a﹣b）．

点评：

本题是一道典型的中考题型的因式分解：

先提取公因式，然后再应用一次公式．

本题考点：

因式分解（提取公因式法、应用公式法）．

21．分解因式：

a3﹣10a2+25a=　a（a﹣5）2　．

考点：

提公因式法与公式法的综合运用．

分析：

先提取公因式a，再利用完全平方公式继续分解．

解答：

解：

a3﹣10a2+25a，

=a（a2﹣10a+25），（提取公因式）

=a（a﹣5）2．（完全平方公式）

点评：

本题考查了提公因式法，公式法分解因式，关键在于提取公因式后可以利用完全平方公式继续进行二次分解，分解因式一定要彻底．

22．因式分解：

9x2﹣y2﹣4y﹣4=　（3x+y+2）（3x﹣y﹣2）　．

考点：

因式分解-分组分解法．

分析：

此题可用分组分解法进行分解，可以将后三项分为一组，即可写成平方差的形式，利用平方差公式分解因式．

解答：

解：

9x2﹣y2﹣4y﹣4，

=9x2﹣（y2+4y+4），

=9x2﹣（y+2）2，

=（3x+y+2）（3x﹣y﹣2）．

点评：

本题考查了分组分解法分解因式，用分组分解法进行因式分解的难点是采用两两分组还是三一分组．本题后三项可组成完全平方公式，可把后三项分为一组．

23．在实数范围内分解因式：

x2+