五年级奥数第29讲最大最小问题学生版.docx
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五年级奥数第29讲最大最小问题学生版
五年级奥数第29讲最大最小问题〈学生版〉
学会在题目中判断出限制条件;
学会分数知识的综合运用;
从题目限制条件中分析最大最小问题。
在日常生活中,人们常常会遇到“路程最近”、“费用最省”、“面积最大”、“损耗最少”等问题,这些寻求极端结果或讨论怎样实现这些极端情形的问题,最终都可以归结成为:
在一定范围内求最大值或最小值的问题,我们称这些问题为“最大最小问题”。
解答最大最小问题通常要用下面的方法:
⒈枚举比较法。
当题中给定的范围较小时,我们可以将可能出现的情形一一举出再比较;
⒉着眼于极端情形,即充分运动已有知识和生活常识,一下子从“极端”情形入手,缩短解题过程。
人们碰到的各种优化问题、高效低耗问题,最终都表现为数学上的极值问题,即小学阶段的最大最小问题。
最大最小问题设计到的知识多,灵活性强,解题时要善于综合运用所学的各种知识。
考点一:
简单最大最小问题
例1、把⒈⒉3、…、16分别填进图中16个三角形里,使每边上7个小三角形内数的和相等。
问这个和最大值是多少?
例⒉有8个西瓜,它们的重量分别是2千克、3千克、4千克、4千克、5千克、6千克、8.5千克、10千克。
把它们分成三堆,要使最重的一堆西瓜尽可能轻些,那么,最重的一堆应是多少千克?
例3、一次数学考试满分100分,6位同学平均分为91分,且6人分数互不相同,其中得分最少的同学仅得65分,那么排第三名的同学至少得多少分?
〈分数取整数〉
例⒋一个农场里收的庄稼有大豆、谷子、高梁、小米,每一种庄稼需要先收割好、捆好,然后往回运输。
现由两个小组分别承包这两项工作,工时如下表〈一种庄稼不割好、捆好,不准运输〉,这两组从开工到完工最少经过多少小时?
例5、A、B、C是三个风景点,从A出发经过B到达C要走18千米,从A经过C到B要走16千米,从B经过A到C要走24千米。
相距最近的是哪两个风景点?
它们之间相距多少千米?
考点二:
数论中的极端思想
例⒈1~8这八个数字各用一次,分别写成两个四位数,使这两个数相乘的乘积最大。
那么这两个四位数各是多少?
例⒉有一类自然数,从第三个数字开始,每个数字都恰好是它前面两个数字之和,直至不能再写为止,如257,1459等等,这类数中最大的自然数是多少?
例3、某国家的货币中有1元、3元、5元、7元、9元五种,为了能支付1元、2元……100元的钱数〈整数元〉,那么至少需要准备货币多少张?
例⒋a和b是小于100的两个不同的自然数,求
的最大值。
例5、有甲、乙两个两位数,甲数
等于乙数的
。
这两个两位数的差最多是多少?
例6、将前100个自然数依次无间隔地写成一个192位数:
123456789101112……9899100从中划去100个数字,那么剩下的92位数最大是多少?
最小是多少?
考点三:
智巧趣题的极端思想
例⒈99个苹果要分给一群小朋友,每一个小朋友所分得的苹果数都要不一样,且每位小朋友至少要有一个苹果.问:
这群小朋友最多有几位?
例⒉某学校,星期一有15名学生迟到,星期二有12名学生迟到,星期三有9名学生迟到,如果有22名学生在这三天中至少迟到过一次,则这三天都迟到的学生最多有多少人?
例3、如图,司机开车按顺序到五个车站接学生到学校,每个站都有学生上车。
第一站上了一批学生,以后每站上车的人数都是前一站上车人数的一半。
车到学校时,车上最少有多少学生?
例⒋若干名家长〈爸爸或妈妈,他们都不是老师〉和老师陪同一些小学生参加某次数学竞赛,已知家长和老师共有22人,家长比老师多,妈妈比爸爸多,女老师比妈妈多2人,至少有1名男老师,那么在这22人中,爸爸有多少人?
例5、三个数字能组成6个不同的三位数。
这6个三位数的和是2886。
求所有这样的6个三位数中的最小的三位数。
Ø课堂狙击
⒈两个自然数的和是15,要使两个整数的乘积最大,这两个整数各是多少?
⒉设自然数n有下列性质:
从⒈2……n中任取50个不同的数,其中必有两数之差等于7,这样的n最大不能超过多少?
⒋有甲、乙两个两位数,甲数的
等于乙数的
。
这两个两位数的差最多是多少?
5、在10,9,8,7,6,5,4,3,2,1这10个数的每相邻两个数之间都添上一个加号或一个减号,组成一个算式。
要求:
〈1〉算式的结果等于37;
〈2〉这个算式中的所有减数〈前面添了减号的数〉的乘积尽可能地大。
那么,这些减数的最大乘积是多少?
6、149位议员中选举一位议长,每人可投一票。
候选人是A,B,C三人。
开票中途,A已得45票,B已得20票,C已得35票。
如果票数最多者当选,那么A至少再有多少票才能一定当选?
7、某班学生50人,年龄均为整数,年龄的平均值为12.2,已知班上任意两人的年龄差都不超过3。
那么这班学生中年龄最大的能是多少岁?
如果有一个学生的年龄达到这个值,那么这个班里年龄既不是最大也不是最小的学生最多有多少人?
8、阶梯教室座位有10排,每排有16个座位,当有150个人就座,某些排坐着的人数就一样多。
我们希望人数一样的排数尽可能少,这样的排数至少有多少排?
Ø课后反击
⒈如果一个自然数N的各个位上的数字和是1996,那么这个自然数最小是几?
⒉有四个数,其中每三个数的和分别是45,46,49,52,那么这四个数中最小的一个数是多少?
3、有四袋糖块,其中任意三袋的总和都超过60块,那么这四袋糖块的总和至少有多少块?
⒋设x和y是选自前200个自然数的两个不同的数,且x>y,〈1〉求
的最大值;〈2〉求
的最小值。
5、甲、乙两数都是三位数,如果甲数的
恰好等于乙数的
。
这两个两位数的和最小是多少?
6、如果两个四位数的差等于8921,就是说这两个四位数组成一个数对。
问:
这样的数对共有多少个?
7、要砌一个面积为72米2的长方形猪圈,长方形的边长以米为单位都是自然数,这个猪圈的围墙最少长多少米?
8、某班有50名学生,参加语文竞赛的有28人,参加数学竞赛的有23人,参加英语竞赛的有20人,每人最多参加两科,那么参加两科的最多有多少人?
9、一个布袋中有红、黄、绿三种颜色的小球各10个,这些小球的大小均相同,红色小球上标有数字“4”,黄色小球上标有数字“5”,绿色小球上标有数字“6”。
小明从袋中摸出8个球,它们的数字和是39,其中最多可能有多少个球是红色的?
⒈〈第四届希望杯1试〉一位工人要将一批货物运上山,假定运了5次,每次的搬运量相同,运到的货物比这批货物的
多一些,比
少一些。
按这样的运法,他运完这批货物最少共要运次,最多共要运次。
⒉〈全国第三届“华杯赛”决赛口试试题〉将⒈⒉3、⒋5、6、7、8这八个数分成三组,分别计算各组数的和。
已知这三个和互不相等,且最大的和是最小和的2倍。
问:
最小的和是多少?
3、〈全国第四届“华杯赛”决赛第一试试题〉一组互不相同的自然数,其中最小的数是1,最大的数是25。
除1之外、这组数中的任一个数或者等于这组数中某一个数的2倍,或者等于这组数中某两个数之和。
问:
这组数之和的最大值是多少?
当这组数之和有最小值时,这组数都有哪些数?
并说明和是最小值的理由。
⒋〈第五届《从小爱数学》邀请赛试题〉把20以内的质数分别填入□中〈每个质数只用一次〉:
使A是整数。
A最大是多少?
在日常生活中,人们常常会遇到“路程最近”、“费用最省”、“面积最大”、“损耗最少”等问题,这些寻求极端结果或讨论怎样实现这些极端情形的问题,最终都可以归结成为:
在一定范围内求最大值或最小值的问题,我们称这些问题为“最大最小问题”。
解答最大最小问题通常要用下面的方法:
⒈枚举比较法。
当题中给定的范围较小时,我们可以将可能出现的情形一一举出再比较;
⒉着眼于极端情形,即充分运动已有知识和生活常识,一下子从“极端”情形入手,缩短解题过程。
人们碰到的各种优化问题、高效低耗问题,最终都表现为数学上的极值问题,即小学阶段的最大最小问题。
最大最小问题设计到的知识多,灵活性强,解题时要善于综合运用所学的各种知识。
Ø本节课我学到了
Ø我需要努力的地方是
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