中考数学复习专题四函数与图像一.docx
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中考数学复习专题四函数与图像一
专题四函数与图像
(一)
知识归纳
基本定义:
在一个变化过程中,数值发生变化的量称为变量,数值始终保持不变的量称为常量.
变量:
变化的量 常量:
不变的量
一、一次函数
基本概念:
一般地,在一个变化过程中,有两个变量X和Y,并且对于x每一个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应,那么我们就说X是自变量,y是x的函数。
表示为y=Kx+b(其中b为任意常数,k不等于0),当b=0时称y为x的正比例函数,正比例函数是一次函数中的特殊情况。
可表示为y=kx
即,当b=0时,y是x的正比例函数。
即:
y=kx(k为常量,但K≠0)正比例函数图像经过原点。
定义域:
自变量的取值范围,自变量的取值应使函数有意义;要与实际相符合。
函数性质
1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例,比值为k即:
y=kx+b(k≠0)
2.当x=0时,b为函数在y轴上的,坐标为(0,b).
3.当b=0时(即y=kx),一次函数图像变为正比例函数,正比例函数是特殊的一次函数.
4.函数图像性质:
当k相同,且b不相等,图像平行;当k不同,且b相等,图像相交
图像性质
1.性质:
(1)在一次函数上的任意一点P(x,y),都满足等式:
y=kx+b(k≠0)。
(2)一次函数与y轴交点的坐标总是(0,b),与x轴总是交于(-b/k,0)正比例函数的图像都是过原点。
2.函数不是数,它是指某一变化过程中两个变量之间的关系。
3.k,b与函数图像所在象限:
y=kx时(即b等于0,y与x成正比)
当k>0时,直线必通过一、三象限,y随x的增大而增大;
当k<0时,直线必通过二、四象限,y随x的增大而减小。
y=kx+b时:
当k>0,b>0,这时此函数的图象经过一,二,三象限。
当k>0,b<0,这时此函数的图象经过一,三,四象限。
当k<0,b>0,这时此函数的图象经过一,二,四象限。
当k<0,b<0,这时此函数的图象经过二,三,四象限。
当b>0时,直线必通过一、二象限;当b<0时,直线必通过三、四象限。
特别地,当b=0时,直线通过原点O(0,0)表示的是正比例函数的图像。
4、特殊位置关系
当平面直角坐标系中两直线平行时,其函数解析式中K值(即一次项系数)相等
当平面直角坐标系中两直线垂直时,其函数解析式中K值互为负倒数(即两个K值的乘积为-1)
二:
反比例函数
反比例函数概念:
一般地,如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y=k/x(k为常数,k≠0)的形式,那么称y是x的反比例函数。
因为y=k/x是一个分式,所以自变量X的取值范围是X≠0。
而y=k/x有时也被写成xy=k或y=kx-1.
1k≠0;②一般情况下,自变量x的取值范围是x≠0的一切实数③函数y的取值范围也是一切非零实数.
反比例函数图象
反比例函数的图象是一组双曲线,曲线越来越接近X和Y轴但不会相交(K≠0)。
反比例函数性质
1.当k>0时,图象分别位于第一、三象限;当k<0时,图象分别位于第二、四象限。
2.当k>0时.在同一个象限内,y随x的增大而减小;当k<0时,在同一个象限,y随x的增大而增大。
k>0时,
函数在x<0上为减函数、在x>0上同为减函数;k<0时,函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数。
3、定义域为x≠0;值域为y≠0。
4、.因为在y=k/x(k≠0)中,x不能为0,y也不能为0,所以反比例函数的图象不可能与x轴相交,也不可能与y轴相交。
5、在一个反比例函数图象上任取两点P,Q,过点P,Q分别作x轴,y轴的平行线,与坐标轴围成的矩形面积为S1,S2则S1=S2=|K|
6、.反比例函数的图象既是轴对称图形,又是中心对称图形,它有两条对称轴y=xy=-x(即第一三,二四象限角平分线),对称中心是坐标原点。
7、若设正比例函数y=mx与反比例函数y=n/x交于A、B两点(m、n同号),那么AB两点关于原点对称。
8、.反比例函数y=k/x的渐近线:
x轴与y轴。
9、.反比例函数关于正比例函数y=x,y=-x轴对称,并且关于原点中心对称.
三:
二次函数
1.二次函数的一般形式:
y=ax2+bx+c.(a≠0)
2.二次函数的几个概念:
二次函数的图象是抛物线,也叫抛物线y=ax2+bx+c;抛物线关于对称轴对称且以对称轴为界,一半图象上坡另一半图象下坡;其中c叫二次函数在y轴上的截距,即二次函数图象必过(0,c)点.
3.y=ax2(a≠0)的特性:
当y=ax2+bx+c(a≠0)中的b=0且c=0时二次函数为y=ax2(a≠0);
这个二次函数是一个特殊的二次函数,有下列特性:
(1)图象关于y轴对称;
(2)顶点(0,0);
4.求二次函数的解析式:
已知二次函数图象上三点的坐标,可设解析式y=ax2+bx+c,并把这三点的坐标代入,解关于a、b、c的三元一次方程组,求出a、b、c的值,从而求出解析式-------待定系数法.
5.二次函数的顶点式:
y=a(x-h)2+k(a≠0);由顶点式可直接得出二次函数的顶点坐标(h,k),对称轴方程x=h和函数的最值y最值=k.
6.求二次函数的解析式:
已知二次函数的顶点坐标(h,k)和图象上的另一点的坐标,可设解析式为y=a(x-h)2+k,再代入另一点的坐标求a,从而求出解析式.
7.二次函数图象的平行移动:
二次函数一般应先化为顶点式,然后才好判断图象的平行移动;y=a(x-h)2+k的图象平行移动时,改变的是h,k的值,a值不变,具体规律如下:
k值增大<=>图象向上平移;k值减小<=>图象向下平移;
(x-h)值增大<=>图象向左平移;(x-h)值减小<=>图象向右平移.
8.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象及几个重要点的公式:
9.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中,a、b、c与Δ的符号与图象的关系:
(1)a>0<=>抛物线开口向上;a<0<=>抛物线开口向下;
(2)c>0<=>抛物线从原点上方通过;c=0<=>抛物线从原点通过;c<0<=>抛物线从原点下方通过;
(3)a,b异号<=>对称轴在y轴的右侧;a,b同号<=>对称轴在y轴的左侧;b=0<=>对称轴是y轴;
(4)b2-4ac>0<=>抛物线与x轴有两个交点;b2-4ac=0<=>抛物线与x轴有一个交点(即相切);
b2-4ac<0<=>抛物线与x轴无交点.
10.二次函数图象的对称性:
已知二次函数图象上的点与对称轴,可利用图象的对称性求出已知点的对称点,这个对称点也一定在图象上.
函数与图像专题练习
一、选择题(每小题4分,共52分)
1.一次函数y=3x-1的图象不经过()。
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
2.某闭合电路中,电源电压为定值,电流I(A)与电阻R(Ω)成反比例.如图表示的是该电路中电流I与电阻R之间函数关系的图象,则用电阻R表示电流I的函数解析式为()。
A.I=
B.I=-
C.I=
D.I=
3.函数
和函数y=x的图象在同一平面直角坐标系内的交点个数是()。
A.1个B.2个C.3个D.0个
4.设A(x1,y1)、B(x2,y2)是反比例函数y=
图象上的两点,若x1 A.y2 5.已知方程组 的解为 ,则函数y=2x+3与y= x+ 的交点坐标为()。 A.(l,5)B.(-1,1)C.(l,2)D.(4,l) 6.反比例函数 的图象在二、四象限,则k的取值范围是()。 A.K≤3B.K≥-3C.K>3D.K<-3. 7.当k<0时,反比例函数y= 和一次函数y=kx+2的图象大致是图中的()。 8.如图,正比例函数y=x和y=mx的图象与反比例函数y= 的图象分别交于第一象限内的A、C两点,过A、C分别向x轴作垂线,垂足分别为B、D.若直角三角形AOB与直角三角形COD的面积分别为S1、S2,则S1与S2的关系为()。 A.S1>S2B.S1=S2C.S1 9.抛物线y=x2-2x+1的对称轴是()。 A.直线x=1 (B)直线x=-1 (C)直线x=2 (D)直线x=-2 10.抛物线y=x2的图象向左平移2个单位,再向下平移1个单位,则所得抛物线的解析式为()。 A.y=x2+4x+3B.y=x2+4x+5C.y=x2-4x+3D.y=x2-4x-5 11.无论m为任何实数,二次函数y=x2+(2-m)x+m的图象总过的点是()。 A.(-1,0)B.(1,0)C.(-1,3)D.(1,3) 12.无论m为何实数,直线 与 的交点不可能在()。 A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 13.在反比例函数y= 中,当x>0时,y随x的增大而增大,则二次函数y=kx2+2kx的图像大致是()。 14、(2008,济南)如图4所示,等腰直角三角形ABC位于第一象限,AB=AC=2,直角顶点A在直线y=x上,其中A点的横坐标为1,且两条直角边AB,AC分别平行于x轴,y轴,若双曲线y= (k≠0)与△ABC有交点,则k的取值范围是() A.1 图4图5 15.如图5,已知点A是一次函数y=x的图像与反比例函数y= 的图像在第一象限内的交点,点B在x轴的负半轴上,且OA=OB,那么△AOB的面积为() A.1B. C. D.2 16.函数y= 与y=mx-m(m≠0)在同一平面直角坐标系中的图像可能是() 17.(2008,威海)已知二次函数y=ax2+bx+c的图像过点A(1,2),B(3,2),C(5,7).若点M(-2,y1),N(-1,y2),K(8,y3)也在二次函数y=ax2+bx+c的图像上,则下列结论中正确的是() A.y1 18.(2008,山西)抛物线y=-2x2-4x-5经过平移得到y=-2x2,平移方法是() A.向左平移1个单位,再向下平移3个单位B.向左平移1个单位,再向上平移3个单位 C.向右平移1个单位,再向下平移3个单位D.向右平移1个单位,再向上平移3个单位 二、填空题 1.(2006,大连)右图是二次函数y1=ax2+bx+c和一次函数y2=mx+n的图像,观察图像写出y2≥y1时,x的取值范围_______. 2.(2005,山东省)已知抛物线y=a2+bx+c经过点A(-2,7),B(6,7),C(3,-8),则该抛物线上纵坐标为-8的另一点的坐标是_______.
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