一元二次方程难题解析汇报.docx
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一元二次方程难题解析汇报
元二次方程难题解答
(一)
222
1•已知m是方程X2x20的一个根,则代数式(m2m)(m—1)的值是
m
解:
m是方程x
x2
0的一个根
m2
m20
即m2
m
2
m
0方程两边除以
m得:
2
m10
m
2m-
m
1
(m2
m)(m
21)
m
2
(11)4
2•已知
xa是方程
x22016x1
0的一个根,
2
求代数式2a
4031a
2016a2
12的值
a1
解:
xa是方程
2
x2016x1
0的一个根
2a
2016a1
0
a22016a
1或
a212016a
2a24031a12016^=2a24032aa12016a2(a22016a)a1a
a212016a
解:
由题意得:
1n—2,7
m2把m2代入方程得:
4、.7n2n220
整理得:
n22.7n10方程两边除以n得:
n2J7-0
n
方程两边平方得:
2n
212
28
n2n226
n
“214•已知(m2
r4)2
36,求
m
1
的值。
m
m
21
解:
(m
24)2
36
m
2A46
m
m
1
m2
10或
21m2
2
(舍去)
m
m
12121;—
(m)210即(m)8m22
mmm
5•用换元法解下列方程:
当y
0时,x
1
0
2
x1当y3时,x13x2
原方
程的解为
%
1x2
1x32x42
6.设X、
、y为实数,求
2
x
2xy
2
2y4y5的最小值,并求出此时x与y的值。
解:
x
22xy
2y2
4y
5
222
(x2xyy)(y4y4)1
22
(xy)(y2)1
(x
y)20
(y
2)2
0
(xy)2(y2)211
x
y0
x
2
当
即
时,
该式的最小值为1
y
20
y
2
22
解:
设x1y,则原方程为y3y0
y(y3)0
7•关于x的方程m(xh)2k
0(m、h、k均为常数,
m0)的解是x1
3
yi0y23
X22,求方程
m(x
3)2
k0的解。
(xh)2-
m
2
m(xh3)
(xh
3)2
k
3
m
Xi
x22
8•对于*,我们作如下规定:
a*b
a2
b2
试求满足(2x
1)*
x10的x的值。
解:
由题意得:
(2x
1)2
x22
10
4x24x1
x22
3x2
4x
(x1)(3x7)
3x
x-11x2
9.解含绝对值的方程:
解方程:
x2
原方程化为X2(x1)1
即xx0解得:
X-]
0x2
x1,故X10(舍去)
X2
1是原方程的解
当x10时,即x1,
2
原方程化为X(1x)1
即x2x20
解得:
X-]1
x1,故X11(舍去)
X2
2是原方程的解
综上所述,原方程的解为X1
1,
X2
10.解方程:
解:
配方得:
21
x—2(x
x
12
(X)22(x
X
-)
x
1
-)
x
,原方程可化为
2x
0,解得y1
3y2
3时,
3,即
x2
3x
0,解得x
当y2
1时,x—
x
1,
x2x
0,方程无实数解。
经检验:
X2
亠是原方程的解。
2
11.解方程:
解:
x
2x
212
x—x22x
12
~~2~1
x2x
2x
设X2
2xy
,则原方程可化为
2
0,yy120,解得:
4y23
4时,
x22x4,即x22x
40,此方程无实数解
当y2
3时,
22
x2x3,即x2x3
0,解得:
X1
3,x21
经检验:
%3,X21是原方程的解。
17.已知关于x的一元二次方程(ac)x2
2bx(ac)0,其中a、b、
c分别为△ABC
三边的长。
(1)如果x1是方程的根,试判断厶ABC的形状,并说明理由;
(2)如果方程有两个相等的实数根,试判断厶ABC的形状,并说明理由;
(3)如果AABC是等边三角形,试求这个一元二次方程的根。
解:
(1)把x1代入方程得:
ac2bac0
2a2b0即ab
△ABC为等腰三角形
2222
(2b)4(ac)(ac)4b4(ac)
222
4b4a4c
又方程有两个相等的实数根
4b24a24c20即b2c2a2
△XBC为直角三角形
⑶当abc时,原方程化为x2x0
解得:
%0X21
—m21
18.已知关于x的方程的方程(m、3)x2(m1)x10
原方程是-
元-
一次万程?
原方程是-
元
次方程?
m■.3
0
2
m1
2
解得
(1)m为何值时,
(2)m为何值时,
解:
(1)由题意得:
m的值应分三种情况讨论:
当m,3时,原方程为一元二次方程
①
m
、3
0
解得
m、、3
2(m
1)
0
②
2m
1
I—
1
解得m2
m
3
2(m
1)
0
2m
1
0
③
2(m
1)
0
解得m1
(2)当原方程是一元一次方程时,
综上所述:
当m.3,1,2或.2时,原方程是一元一次方程。
19.用配方法求二次三项式的最大值与最小值
(1)当X为何值时,代数式2x
2x1有最小值?
并求出最小值
22
2x2x12(xx)1
2(x
2(x1)23
22
12
当x时,代数式2x2
2
2(x1)20
2x1有最小值-
2
(2)当x为何值时,
代数式
3x2
2
解:
3x6x4
3(x2
2x
3(x1)20
3(x
1)2
6x
1)
7
当x
1
1时,代数式有最大值7.
4有最大值?
并求出最大值
2
43(x1)7
2a11
20.若a满足不等式组1a
0
2
,则关于x的方程(a2)x2(2a
1)x
情况是
解:
解不等式组得a3
则方程为一元二次方程
(2a1)24(a2)(a2)
2
2a5
2a
关于x的一元二次方程没有实数根。
2
21.关于x的一元二次方程x
0有两个不相等的实数根,求
k的取值范围。
k10
解由题意得:
(k1)2
2
22.关于x的方程mxxm
10有以下三个结论:
①当m0时,方程只有一个实数根;
②当m0时,方程有两个不相等的实数根;③无论
m取何值时,方程都有一个负数解;
其中正确的是
解:
①当
m0时,原方程为
方程只有一个实数根
②当m
0时,
14m(
1)
4m2
4m1
2
(2m1)
0方程有两个实数根
③当m
0时,x1
0时,
(2m1)2
1(2m1)
2m
x11—
m
x21
无论m取何值时,方程都有一个负数解
2
23.关于x的方程(a6)x2
8x
0有实数根,则整数a的最大值是
解:
当a6时,原方程为
8x
当a6时,
6424(a
6)
24a
2080
a8?
4
整数a的最大值是8
24.已知关于X的
元二次方程(x
3)(x
2)m,求证:
对于任意实数m,方程总有两
个不相等的实数根;
(2)若方程的一个根是1,求m的值及方程的另一个根。
解:
(1)(x3)(x
2)mx25x6m0
(5)24(6m)4m10
对于任意实数
m,方程总有两个不相等的实数根
(2)把x1代入原方程得:
(13)(12)
原方程为(x3)(x2)2
5x
X1
1x24
m2,方程的另一根为x
25.已知关于x的方程x2(3k
1)x
2k2
2k
(1)求证:
无论k取何实数值,方程
总有实数根;
(2)若等腰三角形
ABC
的一边长a
6,另两边b、c恰好是这个方程的两个
根,求此三角形的周长。
22
(3k1)4(2k
2
2k)9k26k
2
18k28k
k22k
2
1(k1)0
无论k取何实数值,方程总有实数根
(2)x3k1、,(k1)23k1(k1)
2k
X2
当bc时,方程有两个相等的实数根,
即2k
不能构成三角形。
当腰长为6时,2k6
CABC
16
综上所述:
CABC16或22
26.若关于
2
x的方程x
(m5)x
4m恰好有3个实数根,
则实数
解:
(m5)x
方程恰好有3个实数根
Xi
0X20
27.若关于
x的方程ax2
2(a
2)x
a0有实数根,则实数
a的取值范围
解:
当a
0时,原方程为
4x
方程有解x0
当a0时,
2(a2)
4a2
2
4a8a
2
84a8a
方程有实数根
8a
综上所述:
a
范围
当a4时,x;
■4x
40或x2
4x
40x1
2
22x22
22
X32
当a4时,
x24x40或x2
4x40X1
2
22X22
22
X32
综上所述:
a
4,
当a4时,
%
22、2
X2
22、2X3
2
当a4时,
X12
22x2
2
22X3
2
30.已知函数y
2勿
和
ykx1(k
0)
,
(1)若这两个函数图象都经过点
(1,a),
求a和k
4
a
2
160
即a2
a216原方程只有3个不相等的实数根,
20
的值。
(2)当k取何值时,这两个函数总有公共点?
解:
(1)函数y-经过点(1,a)a2该点为(1,2)
2
x
k1
k1
2
(2)
y
x
kx2x20两个函数总有公共点
方程有实数解
y
kx
1
k
0
1口
解得:
k—且k0
1
8k
0
8
31.已
知关于x的
2
勺一元二次方程X
(2k
1)x
k22
0的两根为X1
(x2)(为
X2)
0,求k的值。
解:
(X1
2)(X1
X2)0X1
12(
0
X1
X2
0
当X1
2时,
把X1
2代入原方程得:
4
2(2k
1)
k2
2
0
整理得
:
k2
4k
40解得:
k
2
当X1
X20时,方程有两个相等的实数根,
即
(2k
1)2
4(k22)0
解得:
k
9
综上所述:
k2
或-
4
4
31.
(1)
已知:
2
P
2
P10,1qq
0,且
pq
1
,求
pq的值。
q
解:
由
2
P
P1
0,1qq20
P
0
q
0
又pq1
和X2,且
0可化为
d2
0与e)2
0是同解方程
0的两个不相等的实数根
⑵若
丄丄1
2I
m
丄
1
n2
0与2
n
1
2的值。
n
11
0是同解方程,且
mn
m2
mn
11
1
11112
2’/
———
1-
1
22()
1(
2)
mn
mn
mnmn
mn
(3)若2m
2
5m
1
10,—
5
20且mn,求(m
n)2的值。
n
n
解:
n
0
方程丄
5
20两边乘以n得:
2n
I25n1
0
n
n
2m2
5m1
0与2n2
5n
10是同解方程
m、n
为方程
2
2x5x1
0的两个不相等的实数根
mn
5
112
—,-为方程X2x10的两个不相等的实数根
2
mn
(mn)2(mn)24mn(5)24(-)33
224
22
解:
(1)(2k1)24(k21)4k3
又方程有两个不相等的实数根
4k30
k?
4
(2)X1X2(2k1)0
x1x2
k210
X10X20
数k的取值范围;
(2)若方程两实数根X1,X2满足x1
X2X1X2,求k的值。
x1X2X1x2
X1x2为x2
2k1k21
ki0k2
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