四种命题与充要条件.docx

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四种命题与充要条件

　常用逻辑用语与充要条件

【高考考情解读】　1.本讲在高考中主要考查集合的运算、充要条件的判定、含有一个量词的命题的真假判断与否定，常与函数、不等式、三角函数、立体几何、解析几何、数列等知识综合在一起考查.2.试题以选择题、填空题方式呈现，考查的基础知识和基本技能，题目难度中等偏下．

1．命题的定义

用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．

2．四种命题及其关系

（1）原命题为“若p则q”，则它的逆命题为若q则p；否命题为若┐p则┐q；逆否命题为若┐q则┐p.

（2）原命题与它的逆否命题等价；逆命题与它的否命题等价．四种命题中原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假，遇到复杂问题正面解决困难的，采用转化为反面情况处理，即，可以转化为判断它的逆否命题的真假．

命题真假判断的方法：

（1）对于一些简单命题，若判断其为真命题需推理证明．若判断其为假命题只需举出一个反例．

（2）对于复合命题的真假判断应利用真值表．

（3）也可以利用“互为逆否命题”的等价性，判断其逆否命题的真假．

3．充分条件与必要条件的定义

（1）若p⇒q且q

p，则p是q的充分非必要条件．

（2）若q⇒p且p

q，则p是q的必要非充分条件．

（3）若p⇒q且q⇒p，则p是q的充要条件．

（4）若p

q且q

p，则p是q的非充分非必要条件．

设集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，则有

（1）若A⊆B，则p是q的充分条件，若A

B，则p是q的充分不必要条件；

（2）若B⊆A，则p是q的必要条件，若B

A，则p是q的必要不充分条件；

（3）若A＝B，则p是q的充要条件；

（4）若A⃘B，且B⃘A，则p是q的既不充分也不必要条件．

2．充分、必要条件的判定方法

（1）定义法，直接判断若p则q、若q则p的真假．

（2）传递法．

（3）集合法：

若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p（x）}，B＝{x|q（x）}，则①若A⊆B，则p是q的充分条件；②若B⊆A，则p是q的必要条件；③若A＝B，则p是q的充要条件．

（4）等价命题法：

利用A⇒B与┐B⇒┐A，B⇒A与┐A⇒┐B，A⇔B与┐B⇔┐A的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法，利用原命题和逆否命题是等价的这个结论，有时可以准确快捷地得出结果，是反证法的理论基础．

1．简单的逻辑联结词

（1）命题中的“且”、“或”、“非”叫作逻辑联结词．

（2）简单复合命题的真值表：

p

q

┐p

┐q

p或q

p且q

┐（p或q）

┐（p且q）

┐p或┐q

┐p且┐q

真

真

假

假

真

真

假

假

假

假

真

假

假

真

真

假

假

真

真

假

假

真

真

假

真

假

假

真

真

假

假

假

真

真

假

假

真

真

真

真

2.全称量词与存在量词

（1）常见的全称量词有“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等．

（2）常见的存在量词有“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等．

3．全称命题与特称命题

（1）含有全称量词的命题叫全称命题．

（2）含有存在量词的命题叫特称命题．

4．命题的否定

（1）全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题．

（2）p或q的否定：

非p且非q；p且q的否定：

非p或非q.

注：

1．逻辑联结词“或”的含义

逻辑联结词中的“或”的含义，与并集概念中的“或”的含义相同．如“x∈A或x∈B”，是指：

x∈A且x∉B；x∉A且x∈B；x∈A且x∈B三种情况．再如“p真或q真”是指：

p真且q假；p假且q真；p真且q真三种情况．

2．命题的否定与否命题

“否命题”是对原命题“若p，则q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非p”，只是否定命题p的结论．

命题的否定与原命题的真假总是对立的，即两者中有且只有一个为真，而原命题与否命题的真假无必然联系．

3．含一个量词的命题的否定

全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．

1．（2013·皖南八校）命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是（　　）

A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”

B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”

C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”

D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”

解析　依题意得原命题的逆命题是：

若一个数的平方是正数，则它是负数．选B.

2．（2012·湖北）命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是（　　）

A．任意一个有理数，它的平方是有理数B．任意一个无理数，它的平方不是有理数

C．存在一个有理数，它的平方是有理数D．存在一个无理数，它的平方不是有理数

答案　B

解析这是一个特称命题，特称命题的否定不仅仅要否定结论而且要将相应的存在量词“存在一个”改为全称量词“任意一个”，故选B。

2．已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是（　　）

A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3

B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2<3

C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3

D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3

答案　A

解析　从“否命题”的形式入手，但要注意“否命题”与“命题的否定”的区别．命题的否命题是原命题的条件与结论分别否定后组成的命题，所以A正确．

【山东省临沂市某重点中学2014届高三9月月考】命题“若函数

在其定义域内是减函数，则

.”的逆否命题是（）

A．若

，则函数

在其定义域内不是减函数

B．若

，则函数

在其定义域内不是减函数

C．若

，则函数

在其定义域内是减函数

D．若

，则函数

在其定义域内是减函数

命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是（　　）

A．若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数

B．若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数

C．若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数

D．若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数

答案　C

解析　由于“x，y都是偶数”的否定表达是“x，y不都是偶数”，“x＋y是偶数”的否定表达是“x＋y不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x＋y不是偶数，则x，y不都是偶数”，故选C.

5．与命题“若a∈M，则b∉M”等价的命题是（　　）

A．若a∉M，则b∉M　　B．若b∉M，则a∈M

C．若a∉M，则b∈MD．若b∈M，则a∉M

解析：

因为原命题只与逆否命题是等价命题，所以只需写出原命题的逆否命题即可．故选D.

答案：

D

4．下列命题中为真命题的是（　　）

A．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题

B．命题“若x>1，则x2>1”的否命题

C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题

D．命题“若x2>0，则x>1”的逆否命题

答案　A

解析　对于A，其逆命题：

若x>|y|，则x>y，是真命题，这是因为x>|y|＝

，必有x>y；对于B，否命题：

若x≤1，则x2≤1，是假命题．如x＝－5，x2＝25>1；对于C，其否命题：

若x≠1，则x2＋x－2≠0，因为x＝－2时，x2＋x－2＝0，所以是假命题；对于D，若x2>0，则x>0或x<0，不一定有x>1，因此原命题的逆否命题是假命题，故选A.

2．已知命题p：

∃n∈N,2n＞1000，则┐p为（　　）．

A．∀n∈N,2n≤1000B．∀n∈N,2n＞1000

C．∃n∈N,2n≤1000D．∃n∈N,2n＜1000

解析　特称命题的否定是全称命题．即p：

∃x∈M，p（x），则┐p：

∀x∈M，┐p（x）．故选A.

答案　A

4．（2012·湖北改编）命题“存在x0∈∁RQ，x

∈Q”的否定是（　　）

A．存在x0D∈/∁RQ，x

∈QB．存在x0∈∁RQ，x

D∈/Q

C．任意xD∈/∁RQ，x3∈QD．任意x∈∁RQ，x3D∈/Q

答案　D

解析　“存在”的否定是“任意”，x3∈Q的否定是x3D∈/Q.

命题“存在x0∈∁RQ，x

∈Q”的否定是“任意x∈∁RQ，x3D∈/Q”，故应选D.

1．（2011·安徽）命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是（　　）

A．所有不能被2整除的整数都是偶数

B．所有能被2整除的整数都不是偶数

C．存在一个不能被2整除的整数是偶数

D．存在一个能被2整除的整数不是偶数

答案　D

解析　由于全称命题的否定是特称命题，本题“所有能被2整除的整数都是偶数”是全称命题，其否定为特称命题“存在一个能被2整除的整数不是偶数”．

2．（2012·辽宁改编）已知命题p：

对任意x1，x2∈R，（f（x2）－f（x1））·（x2－x1）≥0，则┐p是（　　）

A．存在x1，x2∈R，（f（x2）－f（x1））（x2－x1）≤0

B．对任意x1，x2∈R，（f（x2）－f（x1））（x2－x1）≤0

C．存在x1，x2∈R，（f（x2）－f（x1））（x2－x1）<0

D．对任意x1，x2∈R，（f（x2）－f（x1））（x2－x1）<0

答案　C

解析　┐p：

存在x1，x2∈R，（f（x2）－f（x1））（x2－x1）<0.

2．（2012·安徽）命题“存在实数x，使x>1”的否定是（　　）

A．对任意实数x，都有x>1

B．不存在实数x，使x≤1

C．对任意实数x，都有x≤1

D．存在实数x，使x≤1

答案　C

解析　利用特称命题的否定是全称命题求解．

“存在实数x，使x>1”的否定是“对任意实数x，都有x≤1”．故选C.

11．给出以下三个命题：

①若ab≤0，则a≤0或b≤0；

②在△ABC中，若sinA＝sinB，则A＝B；

③在一元二次方程ax2＋bx＋c＝0中，若b2－4ac<0，则方程有实数根．

其中原命题、逆命题、否命题、逆否命题全都是真命题的是（　　）

A．①B．②C．③D．②③

答案　

（1）A　

（2）B

解析　

（1）不等式2x2＋x－1>0的解集为

，故由x>

⇒2x2＋x－1>0，但2x2＋x－1>0D⇒/x>

，故选A.

（2）在△ABC中，由正弦定理得sinA＝sinB⇔a＝b⇔A＝B.故选B.

6．下列结论：

①若命题p：

存在x∈R，tanx＝1；命题q：

对任意x∈R，x2－x＋1>0.则命题“p且┐q”是假命题；

②已知直线l1：

ax＋3y－1＝0，l2：

x＋by＋1＝0，则l1⊥l2的充要条件是

＝－3；

③命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题：

“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”．

其中正确结论的序号为________．

答案　①③

解析　①中命题p为真命题，命题q为真命题，所以p且┐q为假命题，故①正确；

②当b＝a＝0时，有l1⊥l2，故②不正确；③正确．所以正确结论的序号为①③.

5．下列命题中正确命题的序号是________．

①若ac2>bc2，则a>b；

②若sinα＝sinβ，则α＝β；

③“实数a＝0”是“直线x－2ay＝1和直线2x－2ay＝1平行”的充要条件；

④若f（x）＝log2x，则f（|x|）是偶函数．

答案　①③④

解析　对于①，ac2>bc2，c2>0，∴a>b正确；对于②，sin30°＝sin150°D⇒/30°＝150°，所以②错误；对于③，l1∥l2⇔A1B2＝A2B1，即－2a＝－4a⇒a＝0且A1C2≠A2C1，所以③对；对于④显然对．

6．已知p（x）：

x2＋2x－m>0，如果p

（1）是假命题，p

（2）是真命题，则实数m的取值范围为________．

答案　[3,8）

解析　因为p

（1）是假命题，所以1＋2－m≤0，

解得m≥3；又因为p

（2）是真命题，所以4＋4－m>0，

解得m<8.故实数m的取值范围是3≤m<8.

以下命题是真命题的序号是________．

（1）“若f（x）是奇函数，则f（－x）也是奇函数”的逆命题；

（2）“若x，y是偶数，则x＋y也是偶数”的否命题；

（3）“正三角形的三个内角均为60°”的否命题；

（4）“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的逆否命题；

【解析】　对于（4），只需证明原命题为真，∵a＋b＋c＝3，∴（a＋b＋c）2＝9.

∴a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝9，从而3（a2＋b2＋c2）≥9，∴a2＋b2＋c2≥3成立．

【答案】　

（1）（3）（4）

2．下列命题中正确的是（　　）

A．若命题p为真命题，命题q为假命题，则命题“p∧q”为真命题

B．“sinα＝

”是“α＝

”的充分不必要条件

C．l为直线，α，β为两个不同的平面，若l⊥β，α⊥β，则l∥α

D．命题“∀x∈R,2x>0”的否定是“∃x0∈R,2x0≤0”

答案　D

解析　对A，只有当p，q全是真命题时，p∧q为真；对B，sinα＝

⇒α＝2kπ＋

或2kπ＋

，k∈Z，故“sinα＝

”是“α＝

”的必要不充分条件；对C，l⊥β，α⊥β⇒l∥α或l⊂α；对D，全称命题的否定是特称命题，故选D.

15．给出下列四个命题：

①命题“若α＝β，则cosα＝cosβ”的逆否命题；

②“∃x0∈R，使得x

－x0>0”的否定是：

“∀x∈R，均有x2－x<0”；

③命题“x2＝4”是“x＝－2”的充分不必要条件；

④p：

a∈{a，b，c}，q：

{a}⊆{a，b，c}，p且q为真命题．

其中真命题的序号是________．（填写所有真命题的序号）

答案　①④

解析　对①，因命题“若α＝β，则cosα＝cosβ”为真命题，

所以其逆否命题亦为真命题，①正确；

对②，命题“∃x0∈R，使得x

－x0>0”的否定应是：

“∀x∈R，均有x2－x≤0”，故②错；

对③，因由“x2＝4”得x＝±2，

所以“x2＝4”是“x＝－2”的必要不充分条件，故③错；

对④，p，q均为真命题，由真值表判定p且q为真命题，故④正确10．给出下列命题：

①∀x∈R，不等式x2＋2x>4x－3均成立；

②若log2x＋logx2≥2，则x>1；

③“若a>b>0且c<0，则

>

”的逆否命题；

④若p且q为假命题，则p，q均为假命题．

其中真命题是（　　）

A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④

答案　A

解析　①中不等式可表示为（x－1）2＋2>0，恒成立；②中不等式可变为log2x＋

≥2，得x>1；③中由a>b>0，得

<

，而c<0，所以原命题是真命题，则它的逆否命题也为真；④由p且q为假只能得出p，q中至少有一个为假，④不正确．

12．给出下列命题：

①原命题为真，它的否命题为假；

②原命题为真，它的逆命题不一定为真；

③一个命题的逆命题为真，它的否命题一定为真；

④一个命题的逆否命题为真，它的否命题一定为真；

⑤“若m>1，则mx2－2（m＋1）x＋m＋3>0的解集为R”的逆命题．

其中真命题是________．（把你认为正确命题的序号都填在横线上）

解析：

原命题为真，而它的逆命题、否命题不一定为真，互为逆否命题同真同假，故①④错误，②③正确．又因为不等式mx2－2（m＋1）x＋m＋3>0的解集为R，

由

⇒

⇒m>1.

故⑤正确．

答案：

②③⑤

3．设x，y∈R，则“x2＋y2≥9”是“x>3且y≥3”的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

答案　B

解析结合图形与性质，从充要条件的判定方法入手．如图：

x2＋y2≥9表示以原点为圆心，3为半径的圆上及圆外的点，当x2＋y2≥9时，x>3且y≥3并不一定成立，当x＝2，y＝3时，x2＋y2≥9，但x>3且y≥3不成立；而x>3且y≥3时，x2＋y2≥9一定成立，故选B.

一个命题的否命题、逆命题、逆否命题是根据原命题适当变更条件和结论后得到的形式上的命题，解这类试题时要注意对于一些关键词的否定，如本题中等于的否定是不等于，而不是单纯的大于、也不是单纯的小于．进行充要条件判断实际上就是判断两个命题的真假，这里要注意断定一个命题为真需要进行证明，断定一个命题为假只要举一个反例即可．

4．“a>0”是“|a|>0”的（　　）

A．充分不必要条件　　B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

解析　因为|a|>0⇔a>0或a<0，所以a>0⇒|a|>0，但|a|>0

a>0，所以a>0是|a|>0的充分不必要条件，故选A.

5．0＜x＜5是不等式|x－2|＜4成立的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

解析　由|x－2|<4，得－2

0＜x＜5是－2

6．（2012·陕西）设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a＋

为纯虚数”的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

解析　由a＋

为纯虚数可知a＝0，b≠0，所以ab＝0.而ab＝0

a＝0，且b≠0.故选B项．

7．（2012·重庆）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“f（x）为[0,1]上的增函数”是“f（x）为[3,4]上的减函数”的（　　）

A．既不充分也不必要条件

B．充分而不必要条件

C．必要而不充分条件

D．充要条件

解析　∵x∈[0,1]时，f（x）是增函数，又∵y＝f（x）是偶函数，

∴x∈[－1,0]时，f（x）是减函数．

当x∈[3,4]时，x－4∈[－1,0]，∵T＝2，

∴f（x）＝f（x－4）．∴x∈[3,4]时，f（x）是减函数，充分性成立．

反之：

x∈[3,4]时，f（x）是减函数，x－4∈[－1,0]，

∵T＝2，∴f（x）＝f（x－4）．

∴x∈[－1,0]时，f（x）是减函数．

∵y＝f（x）是偶函数，∴x∈[0,1]时，f（x）是增函数，故选D.

8．（2011·天津）设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的（　　）

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

解析　因为x≥2且y≥2⇒x2＋y2≥4易证，所以充分性满足，反之，不成立，如x＝y＝

，满足x2＋y2≥4，但不满足x≥2且y≥2，所以x≥2且y≥2是x2＋y2≥4的充分而不必要条件，故选择A.

9．已知a、b是实数，则3a＜3b是log3a＜log3b的（　　）

A．充分不必要条件　B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件

解析　由题知，3a＜3b⇔a＜b，log3a＜log3b⇔0＜a＜b.故3a＜3b是log3a＜log3b的必要不充分条件．故选B.

10．（2012·天津）设x∈R，则“x>

”是“2x2＋x－1>0”的（　　）

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

3．（2013·福建）已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的（　　）

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

答案　A

解析　a＝3时A＝{1,3}，显然A⊆B.

但A⊆B时，a＝2或3.所以A正确．

6．（2013·陕西）设a，b为向量，则“|a·b|＝|a||b|”是“a∥b”的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

答案　C

解析　由|a||b||cos〈a，b〉|＝|a||b|，则有cos〈a，b〉＝±1.

即〈a，b〉＝0或π，所以a∥b.由a∥b，得向量a与b同向或反向，所以〈a，b〉＝0或π，所以|a·b|＝|a||b|.

（1）已知p：

－4

（x－2）·（x－3）<0，且q是p的充分条件，则a的取值范围为______．

【解析】　设q，p表示的范围为集合A，B，

则A＝（2,3），B＝（a－4，a＋4）．

因为q是p的充分条件，则有A⊆B，

则

所以－1≤a≤6.

13．设p：

<0，q：

0

答案　（2，＋∞）

解析　p：

02.

8．已知p：

∃x∈R，mx2＋2≤0，q：

∀x∈R，x2－2mx＋1>0，若p∨q为假命题，则实数m的取值范围是（　　）

A．[1，＋∞）B．（－∞，－1]

C．（－∞，－2]D．[－1,1]

答案　A

解析　∵p∨q为假命题，∴p和q都是假命题．

由p：

∃x∈R，mx2＋2≤0为假命题，

由綈p：

∀x∈R，mx2＋2>0为真命题，

∴m≥0.①

由q：

∀x∈R，x2－2mx＋1>0为假命题，

得綈q：

∃x∈R，x2－2mx＋1≤0为真命题，

∴Δ＝（－2m）2－4≥0⇒m2≥1⇒m≤－1或m≥1.②

由①和②得m≥1，故选A.