二次函数压轴题.docx
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二次函数压轴题.docx
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二次函数压轴题
2020年中考二次函数(图像)压轴题
1.如图所示,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为C(3,6),并与y轴交于点B(0,3),点A是对称轴与x轴的交点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图①所示,P是抛物线上的一个动点,且位于第一象限,连接BP,AP,求△ABP的面积的最大值;
(3)如图②所示,在对称轴AC的右侧作∠ACD=30°交抛物线于点D,求出D点的坐标;并探究:
在y轴上是否存在点Q,使∠CQD=60°?
若存在,求点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
2.如图1,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点为C(1,4),交x轴于A、B两点,交y轴于点D,其中点B的坐标为(3,0).
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图2,点P为直线BD上方抛物线上一点,若S△PBD=3,请求出点P的坐标.
(3)如图3,M为线段AB上的一点,过点M作MN∥BD,交线段AD于点N,连接MD,若△DNM∽△BMD,请求出点M的坐标.
3.如图1,抛物线y=a(x+2)(x﹣6)(a>0)与x轴交于C,D两点(点C在点D的左边),与y轴负半轴交于点A.
(1)若△ACD的面积为16.
①求抛物线解析式;
②S为线段OD上一点,过S作x轴的垂线,交抛物线于点P,将线段SC,SP绕点S顺时针旋转任意相同的角到SC1,SP1的位置,使点C,P的对应点C1,P1都在x轴上方,C1C与P1S交于点M,P1P与x轴交于点N.求
的最大值;
(2)如图2,直线y=x﹣12a与x轴交于点B,点M在抛物线上,且满足∠MAB=75°的点M有且只有两个,求a的取值范围.
4.已知抛物线y=ax2+bx﹣4经过点A(2,0)、B(﹣4,0),与y轴交于点C.
(1)求这条抛物线的解析式;
(2)如图1,点P是第三象限内抛物线上的一个动点,当四边形ABPC的面积最大时,求点P的坐标;
(3)如图2,线段AC的垂直平分线交x轴于点E,垂足为D,M为抛物线的顶点,在直线DE上是否存在一点G,使△CMG的周长最小?
若存在,求出点G的坐标;若不存在,请说明理由.
5.如图,已知二次函数y=﹣x2+bx+c(c>0)的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,且OB=OC=3,顶点为M.
(1)求二次函数的解析式;
(2)点P为线段BM上的一个动点,过点P作x轴的垂线PQ,垂足为Q,若OQ=m,四边形ACPQ的面积为S,求S关于m的函数解析式,并写出m的取值范围;
(3)探索:
线段BM上是否存在点N,使△NMC为等腰三角形?
如果存在,求出点N的坐标;如果不存在,请说明理由.
6.如图①,在平面直角坐标系中,二次函数y=﹣
x2+bx+c的图象与坐标轴交于A,B,C三点,其中点A的坐标为(﹣3,0),点B的坐标为(4,0),连接AC,BC.动点P从点A出发,在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动;同时,动点Q从点O出发,在线段OB上以每秒1个单位长度的速度向点B作匀速运动,当其中一点到达终点时,另一点随之停止运动,设运动时间为t秒.连接PQ.
(1)填空:
b= ,c= ;
(2)在点P,Q运动过程中,△APQ可能是直角三角形吗?
请说明理由;
(3)点M在抛物线上,且△AOM的面积与△AOC的面积相等,求出点M的坐标.
7.已知,抛物线y=ax2+bx+3(a<0)与x轴交于A(3,0)、B两点,与y轴交于点C,抛物线的对称轴是直线x=1,D为抛物线的顶点,点E在y轴C点的上方,且CE=
.
(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标;
(2)求证:
直线DE是△ACD外接圆的切线;
(3)在直线AC上方的抛物线上找一点P,使S△ACP=
S△ACD,求点P的坐标;
(4)在坐标轴上找一点M,使以点B、C、M为顶点的三角形与△ACD相似,直接写出点M的坐标.
8.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数a≠0)与x轴,y轴分别交于A,B,C三点,已知A(﹣1,0),B(3,0),C(0,3),动点E从抛物线的顶点D出发沿线段DB向终点B运动.
(1)直接写出抛物线解析式和顶点D的坐标;
(2)过点E作EF⊥y轴于点F,交抛物线对称轴左侧的部分于点G,交直线BC于点H,过点H作HP⊥x轴于点P,连接PF,求当线段PF最短时G点的坐标;
(3)在点E运动的同时,另一个动点Q从点B出发沿直线x=3向上运动,点E的速度为每秒
个单位长度,点Q速度均为每秒1个单位长度,当点E到达终点B时点Q也随之停止运动,设点E的运动时间为t秒,试问存在几个t值能使△BEQ为等腰三角形?
并直接写出相应t值.
9.在平面直角坐标系中,已知抛物线y=x2+bx+c的顶点M的坐标为(﹣1,﹣4),且与x轴交于点A,点B(点A在点B的左边),与y轴交于点C.
(1)填空:
b= ,c= ,直线AC的解析式为 ;
(2)直线x=t与x轴相交于点H.
①当t=﹣3时得到直线AN(如图1),点D为直线AC下方抛物线上一点,若∠COD=∠MAN,求出此时点D的坐标;
②当﹣3<t<﹣1时(如图2),直线x=t与线段AC,AM和抛物线分别相交于点E,F,P.试证明线段HE,EF,FP总能组成等腰三角形;如果此等腰三角形底角的余弦值为
,求此时t的值.
10.如图,已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A(﹣1,0)和B,与y轴交于点C(0,3).
(1)求此抛物线的解析式及点B的坐标;
(2)设抛物线的顶点为D,连接CD、DB、CB、AC.
①求证:
△AOC∽△DCB;
②在坐标轴上是否存在与原点O不重合的点P,使以P、A、C为顶点的三角形与△DCB相似?
若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)设Q是抛物线上一点,连接QB、QC,把△QBC沿直线BC翻折得到△Q′BC,若四边形QBQ′C为菱形,求此时点Q的坐标.
11.如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=
x+2与x轴交于点A,与y轴交于点C.抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=﹣
且经过A、C两点,与x轴的另一交点为点B.
(1)①直接写出点B的坐标;②求抛物线解析式.
(2)若点P为直线AC上方的抛物线上的一点,连接PA,PC.求△PAC的面积的最大值,并求出此时点P的坐标.
(3)抛物线上是否存在点M,过点M作MN垂直x轴于点N,使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似?
若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
12.如图,二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,OB=OC.点D在函数图象上,CD∥x轴,且CD=2,直线l是抛物线的对称轴,E是抛物线的顶点.
(1)求b、c的值;
(2)如图①,连接BE,线段OC上的点F关于直线l的对称点F'恰好在线段BE上,求点F的坐标;
(3)如图②,动点P在线段OB上,过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M,与抛物线交于点N.试问:
抛物线上是否存在点Q,使得△PQN与△APM的面积相等,且线段NQ的长度最小?
如果存在,求出点Q的坐标;如果不存在,说明理由.
13.如图,抛物线y=ax2+bx+c经过A(﹣3,0)、C(0,4),点B在抛物线上,CB∥x轴,且AB平分∠CAO.
(1)求抛物线的解析式;
(2)线段AB上有一动点P,过点P作y轴的平行线,交抛物线于点Q,求线段PQ的最大值;
(3)抛物线的对称轴上是否存在点M,使△ABM是以AB为直角边的直角三角形?
如果存在,求出点M的坐标;如果不存在,说明理由.
14.如图,直线y=2x+2与x轴交于点A,与y轴交于点B,把△AOB沿y轴翻折,点A落到点C,过点B的抛物线y=﹣x2+bx+c与直线BC交于点D(3,﹣4).
(1)求直线BD和抛物线的解析式;
(2)在第一象限内的抛物线上,是否存在一点M,作MN垂直于x轴,垂足为点N,使得以M、O、N为顶点的三角形与△BOC相似?
若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)在直线BD上方的抛物线上有一动点P,过点P作PH垂直于x轴,交直线BD于点H,当四边形BOHP是平行四边形时,试求动点P的坐标.
15.已知抛物线y=
x2+bx+6
经过A(2,0),设顶点为点P,与x轴的另一交点为点B.
(1)求b的值,求出点P、点B的坐标;
(2)如图,在直线y=
x上是否存在点D,使四边形OPBD为平行四边形?
若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)在x轴下方的抛物线上是否存在点M,使△AMP≌△AMB?
如果存在,试验证你的猜想;如果不存在,试说明理由.
16.如图1,抛物线y=﹣x2+
与直线l1:
y=﹣
x﹣3交于点A,点A的横坐标为﹣1,直线l1与x轴的交点为D,将直线l1向上平移后得到直线l2,直线l2刚好经过抛物线与x轴正半轴的交点B和与y轴的交点C.
(1)直接写出点A和点D的坐标,并求出点B的坐标;
(2)若点M是抛物线第一象限内的一个动点,连接DM,交直线l2于点N,连接AM和AN.设△AMN的面积为S,当S取得最大值时,求出此时点M的坐标及S的最大值;
(3)如图2,动点P以每秒1个单位长度的速度从点O出发,沿射线OB运动;同时,动点Q以每秒
个单位长度的速度从点C出发,沿射线CB运动,设运动时间为t(t>0).过P点作PH⊥x轴,交抛物线于点H,当点P、Q、H所组成的三角形是直角三角形时,直接写出t的值.
17.已知二次函数y=x2﹣(2k+1)x+k2+k(k>0)
(1)当k=
时,求这个二次函数的顶点坐标;
(2)求证:
关于x的一元二次方程x2﹣(2k+1)x+k2+k=0有两个不相等的实数根;
(3)如图,该二次函数与x轴交于A、B两点(A点在B点的左侧),与y轴交于C点,P是y轴负半轴上一点,且OP=1,直线AP交BC于点Q,求证:
.
18.如图,直线y=
与x轴,y轴分别交于点A,C,经过点A,C的抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴的另一个交点为点B(2,0),点D是抛物线上一点,过点D作DE⊥x轴于点E,连接AD,DC.设点D的横坐标为m.
(1)求抛物线的解析式;
(2)当点D在第三象限,设△DAC的面积为S,求S与m的函数关系式,并求出S的最大值及此时点D的坐标;
(3)连接BC,若∠EAD=∠OBC,请直接写出此时点D的坐标.
19.已知直线y=2x﹣5与x轴和y轴分别交于点A和点B,抛物线y=﹣x2+bx+c的顶点M在直线AB上,且抛物线与直线AB的另一个交点为N.
(1)如图,当点M与点A重合时,求抛物线的解析式;
(2)在
(1)的条件下,求点N的坐标和线段MN的长;
(3)抛物线y=﹣x2+bx+c在直线AB上平移,是否存在点M,使得△OMN与△AOB相似?
若存在,直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
20.如图,已知抛物线y=﹣
x2+bx+c与x轴交于原点O和点A(6,0),抛物线的顶点为B.
(1)求该抛物线的解析式和顶点B的坐标;
(2)若动点P从原点O出发,以每秒1个长度单位的速度沿线段OB运动,设点P运动的时间为t(s).问当t为何值时,△OPA是直角三角形?
(3)若同时有一动点M从点A出发,以2个长度单位的速度沿线段AO运动,当P、M其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动.设它们的运动时间为t(s),连接MP,当t为何值时,四边形ABPM的面积最小?
并求此最小值.
21.如图,已知抛物线y=ax2+
x+c的图象经过点A(0,﹣2
),B(﹣4
,0)两点,并与x轴正半轴交于点C,
(1)求抛物线的解析式,
(2)如图1,E(0,4),直线BD:
y=﹣
x﹣2经过点B,与y轴负半轴交于点D,点Q从点E开始向y轴负半轴运动,当点Q运动到某一个位置时满足∠OBQ+∠OBD=30°,求此时点Q坐标;
(3)如图2,点P为x轴上线段BC上的一个动点,连接AP,K为AP上的一点(不与A,P重合),过点K作MN⊥AP,分别交AB、AC于点M、N,点G为MN中点,四边形PMAN的面积为8,求AG的最大值.
22.已知:
如图,二次函数y=a(x+1)2﹣4的图象与x轴分别交于A、B两点,与y轴交于点D,点C是二次函数y=a(x+1)2﹣4的图象的顶点,CD=
.
(1)求a的值.
(2)点M在二次函数y=a(x+1)2﹣4图象的对称轴上,且∠AMC=∠BDO,求点M的坐标.
(3)将二次函数y=a(x+1)2﹣4的图象向下平移k(k>0)个单位,平移后的图象与直线CD分别交于E、F两点(点F在点E左侧),设平移后的二次函数的图象的顶点为C1,与y轴的交点为D1,是否存在实数k,使得CF⊥FC1?
若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.
23.如图,抛物线y=ax2+bx﹣5(a≠0)经过点A(4,﹣5),与x轴的负半轴交于点B,与y轴交于点C,且OC=5OB,抛物线的顶点为点D.
(1)求这条抛物线的表达式;
(2)联结AB、BC、CD、DA,求四边形ABCD的面积;
(3)如果点E在y轴的正半轴上,且∠BEO=∠ABC,求点E的坐标.
24.在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+2的图象与x轴交于A(﹣3,0),B(1,0)两点,与y轴交于点C.
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)点P是直线AC上方的抛物线上一动点,是否存在点P,使△ACP的面积最大?
若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由;
(3)点Q是直线AC上方的抛物线上一动点,过点Q作QE垂直于x轴,垂足为E.是否存在点Q,使以点B、Q、E为顶点的三角形与△AOC相似?
若存在,直接写出点Q的坐标;若不存在,说明理由.
25.如图,抛物线y=ax2+bx+4交y轴于点A,并经过B(4,4)和C(6,0)两点,点D的坐标为(4,0),连接AD,BC,点F从点O出发,以每秒1个单位长度的速度沿线段OC方向运动,到达点C后停止运动:
点M同时从点D出发以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向运动,当点F停止时点M也停止运动.设点F的运动时间为t秒,过点F作AB的垂线EF交直线AB于点E,交AD于点H.
(1)求抛物线的解析式;
(2)以线段EH为斜边向右作等腰直角△EHG,当点G落在第一象限内的抛物线上时,求出t的值;
(3)设△EFM与四边形ADCB重合时的面积为S,请直接写出S与t的函数关系式与相应的自变量t的取值范围.
26.已知抛物线
,顶点为A,且经过点
,点
.
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图1,直线AB与x轴相交于点M,y轴相交于点E,抛物线与y轴相交于点F,在直线AB上有一点P,若∠OPM=∠MAF,求△POE的面积;
(3)如图2,点Q是折线A﹣B﹣C上一点,过点Q作QN∥y轴,过点E作EN∥x轴,直线QN与直线EN相交于点N,连接QE,将△QEN沿QE翻折得到△QEN1,若点N1落在x轴上,请直接写出Q点的坐标.
27.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx﹣
,过点A(﹣3,2
)和点B(2,
),与y轴交于点C,连接AC交x轴于点D,连接OA,OB
(1)求抛物线y=ax2+bx﹣
的函数表达式;
(2)求点D的坐标;
(3)∠AOB的大小是 ;
(4)将△OCD绕点O旋转,旋转后点C的对应点是点C′,点D的对应点是点D′,直线AC′与直线BD′交于点M,在△OCD旋转过程中,当点M与点C′重合时,请直接写出点M到AB的距离.
28.抛物线y=﹣x2+2x+3与y轴交于B,与x轴交于点D、A,点A在点D的右边,顶点为F,C(0,1)
(1)直接写出点B、A、F的坐标;
(2)设Q在该抛物线上,且S△BAF=S△BAQ,求点Q的坐标;
(3)对大于1常数m,在x轴上是否存在点M,使得sin∠BMC=
?
若存在,求出点M坐标;若不存在,说明理由?
29.如图
(1),在平面直角坐标系中,矩形ABCO,B点坐标为(4,3),抛物线y=
x2+bx+c经过矩形ABCO的顶点B、C,D为BC的中点,直线AD与y轴交于E点,与抛物线y=
x2+bx+c交于第四象限的F点.
(1)求该抛物线解析式与F点坐标;
(2)如图
(2),动点P从点C出发,沿线段CB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动;同时,动点M从点A出发,沿线段AE以每秒
个单位长度的速度向终点E运动.过点P作PH⊥OA,垂足为H,连接MP,MH.设点P的运动时间为t秒.
①问EP+PH+HF是否有最小值?
如果有,求出t的值;如果没有,请说明理由.
②若△PMH是等腰三角形,请直接写出此时t的值.
30.如图1,抛物线y=﹣
x2+bx+c与x轴交于点A、点B(4,0),与y轴交于点C;直线y=﹣
x+4经过点C,与x轴交于点D,点P是第一象限内抛物线上一动点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若∠PCB=∠DCB,求△PCD的面积;
(3)如图2,过点C作直线l∥x轴,过点P作PH⊥l于点H,将△CPH绕点C顺时针旋转,使点H的对应点H′恰好落在直线CD上,同时使点P的对应点P′恰好落在坐标轴上,请直接写出此时点P的坐标.
31.在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,抛物线y=ax2﹣2ax+
与x轴交于点A、B(点A在点B的左侧),抛物线的顶点为C,直线AC交y轴于点D,D为AC的中点.
(1)如图1,求抛物线的顶点坐标;
(2)如图2,点P为抛物线对称轴右侧上的一动点,过点P作PQ⊥AC于点Q,设点P的横坐标为t,点Q的横坐标为m,求m与t的函数关系式;
(3)在
(2)的条件下,如图3,连接AP,过点C作CE⊥AP于点E,连接BE、CE分别交PQ于F、G两点,当点F是PG中点时,求点P的坐标.
32.如图,抛物线y=ax2+bx+2交x轴于A(﹣1,0),B(4,0)两点,交y轴于点C,与过点C且平行于x轴的直线交于另一点D,点P是抛物线上一动点.
(1)求抛物线解析式及点D坐标;
(2)点E在x轴上,若以A,E,D,P为顶点的四边形是平行四边形,求此时点P的坐标;
(3)过点P作直线CD的垂线,垂足为Q,若将△CPQ沿CP翻折,点Q的对应点为Q′.是否存在点P,使Q′恰好落在x轴上?
若存在,求出此时点P的坐标;若不存在,说明理由.
33.抛物线y=a(x+2)2+c与x轴交于A,B两点,与y轴负半轴交于点C,已知点A(﹣1,0),OB=OC.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)若把抛物线与直线y=﹣x﹣4的交点称为抛物线的不动点,若将此抛物线平移,使其顶点为(m,2m),当m满足什么条件时,平移后的抛物线总有不动点;
(3)Q为直线y=﹣x﹣4上一点,在此抛物线的对称轴上是否存在一点P,使得∠APB=2∠AQB,且这样的Q点有且只有一个?
若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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- 二次 函数 压轴