浙江省中考数学复习测试第20课 作图与画图.docx
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浙江省中考数学复习测试第20课作图与画图
第20课 作图与画图
考点一 尺规作图
1.尺规作图:
在几何里,把限定用________来画图称为尺规作图.
2.五种基本作图
(1)作一条线段等于已知线段;
(2)作一个角等于已知角;
(3)作一个角的平分线;
(4)作线段的垂直平分线;
(5)过定点作已知直线的垂线.
考点二 利用尺规作三角形
3.作三角形的五种类型
(1)已知三角形的三边,求作三角形;
(2)已知三角形的两边及其夹角,求作三角形;
(3)已知三角形的两角及其夹边,求作三角形;
(4)已知三角形的两角及其中一角的对边,求作三角形;
(5)已知直角三角形一直角边和斜边,求作直角三角形.
考点三 与圆相关的尺规作图
4.过一个点可以作________个圆.
5.经过两点可以作________个圆,这些圆的圆心在连结这两点的线段的________上.
6.过不在同一直线上的三点可以作________圆.
7.作圆的两种类型
(1)已知一段弧,作弧的中点以及所在圆圆心;
(2)作三角形的内接圆与外切圆.
考点四 画图
8.画图有三种:
只用直尺、只用圆规、工具不限.
1.(2019长沙)如图20-1,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,分别以点A和点B为圆心,大于
AB的长为半径作弧,两弧相交于M,N两点,作直线MN,交BC于点D,连结AD,则∠CAD的度数是( B )
(图20-1)
A.20°B.30°C.45°D.60°
2.(2019新疆)如图20-2,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,以点B为圆心,适当长为半径画弧,分别交BA,BC于点M,N;再分别以点M,N为圆心,大于
MN的长为半径画弧,两弧交于点P,作射线BP交AC于点D.则下列说法中不正确的是( C )
(图20-2)
A.BP是∠ABC的平分线
B.AD=BD
C.S△CBD∶S△ABD=1∶3
D.CD=
BD
3.如图20-3,用尺规作∠A′O′B′=∠AOB,其作图的正确性要用到全等三角形,全等的依据是( D)
(图20-3)
A.SASB.ASAC.AASD.SSS
4.如图20-4,已知弧AB,用尺规作弧AB的中点D和所在圆圆心O.
(图20-4)
解:
如图D20-1.
(图D20-1)
5.(2018宁波)如图20-5,在5×3的方格纸中,△ABC的三个顶点都在格点上.
(1)在图20-5
(1)中画出线段BD,使BD∥AC,其中D是格点;
(2)在图20-5
(2)中画出线段BE,使BE⊥AC,其中E是格点.
(图20-5)
解:
如图D20-2所示.
①②
(图D20-2)
◆达标一 尺规作图
例1 (2018河北)尺规作图要求:
Ⅰ.过直线外一点作这条直线的垂线;Ⅱ.作线段的垂直平分线;Ⅲ.过直线上一点作这条直线的垂线;Ⅳ.作角的平分线.如图20-6是按上述要求排乱顺序的尺规作图,则正确的配对是( D )
(图20-6)
A.①-Ⅳ,②-Ⅱ,③-Ⅰ,④-Ⅲ
B.①-Ⅳ,②-Ⅲ,③-Ⅱ,④-Ⅰ
C.①-Ⅱ,②-Ⅳ,③-Ⅲ,④-Ⅰ
D.①-Ⅳ,②-Ⅰ,③-Ⅱ,④-Ⅲ
变式1 (2019荆州)如图,矩形ABCD的顶点A,B,C分别落在∠MON的边OM,ON上,若OA=OC,要求只用无刻度的直尺作∠MON的平分线.小明的作法如下:
连结AC,BD交于点E,作射线OE,则射线OE平分∠MON.有以下几条几何性质:
①矩形的四个角都是直角;②矩形的对角线互相平分;③等腰三角形的“三线合一”.小明的作法依据的是( C )
(图20-7)
A.①②B.①③
C.②③D.①②③
◆达标二 利用尺规作三角形
例2 (2019青岛)用直尺、圆规在图20-8中作图,不写作法,但要保留作图图痕迹.
已知:
∠α,直线l及l上两点A,B.
求作:
Rt△ABC,使点C在直线l的上方,且∠ABC=90°,∠BAC=∠α.
(图20-8)
解:
作图略.
变式2 用直尺、圆规在图20-9中作图,不写作法,但要保留作痕迹.
已知:
∠α,∠β和线段a.
求作:
△ABC,使∠B=∠α,BC=a,∠C=∠β.
(图20-9)
解:
作图略.
◆达标三 网格作图
例3 (2019武汉)如图20-10是由边长为1的小正方形构成的网格,每个小正方形的顶点叫做格点.四边形ABCD的顶点在格点上,点E是边DC与网格线的一个交点.请选择适当的格点,用无刻度的直尺在网格中完成下列作图,保留连线的痕迹,不要求说明理由.
(1)如图20-10
(1),过点A画线段AF,使AF∥DC,且AF=DC;
(2)如图20-10
(1),在边AB上画一点G,使∠AGD=∠BGC;
(3)如图20-10
(2),过点E画线段EM,使EM∥AB,且EM=AB.
(1)
(2)
(图20-10)
解:
画法如图D20-3所示.
(图D20-3)
变式3 (2020衢州)如图20-11,在6×6的网格中,每个小正方形的边长为1,点A在格点(小正方形的顶点)上.试在各网格中画出顶点在格点上,面积为6,且符合相应条件的图形.
(图20-11)
解:
画法如图D20-4所示.
(图D20-4)
◆达标四 尺规作图与几何证明的综合运用
例4 (2018广州)如图20-12,在四边形ABCD中,∠B=∠C=90°,AB>CD,AD=AB+CD.
(1)利用尺规作∠ADC的平分线DE,交BC于点E,连结AE(保留作图痕迹,不写作法);
(图20-12)
(2)在
(1)的条件下,
①证明:
AE⊥DE;
②若CD=2,AB=4,点M,N分别是AE,AB上的动点,求BM+MN的最小值.
解:
(1)如图D20-5,∠ADC的平分线DE如图所示;
(图D20-5)
(2)①延长DE交AB的延长线于点F.
∵CD∥AF,∴∠CDE=∠F.
∵∠CDE=∠ADE,
∴∠ADF=∠F,∴AD=AF.
∵AD=AB+CD=AB+BF,
∴CD=BF.
∵∠DEC=∠BEF,∴△DEC≌△FEB(AAS),
∴DE=EF.∵AD=AF,∴AE⊥DE;
②作点B关于AE的对称点K,连结EK,作KH⊥AB于点H,DG⊥AB于点G.连结MK
.
∵AD=AF,DE=EF,∴AE平分∠DAF,
则△AEK≌△AEB,∴AK=AB=4.
在Rt△ADG中,DG=4
.
∵KH∥DG,∴
=
,∴
=
,
∴KH=
.
∵MB=MK,∴MB+MN=KM+MN,
∴当K、M、N共线,且与KH重合时,KM+MN的值最小,最小值为KH的长,
∴BM+MN的最小值为
.
变式4 (2018北京)下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程.
已知:
直线l及直线l外一点P.
求作:
直线PQ,使得PQ∥l.
作法:
①如图20-13,在直线l上取一点A,作射线PA,以点A为圆心,AP长为半径画弧,交PA的延长线于点B;
(图20-13)
②在直线l上取一点C(不与点A重合),作射线BC,以点C为圆心,CB长为半径画弧,交BC的延长线于点Q;
③作直线PQ,直线PQ就是所求作的直线.
根据小东设计的尺规作图过程,
(1)使用直尺和圆规,补全图形;(保留作图痕迹)
(2)完成下面的证明.
证明:
∵AB=__AP__,CB=__CQ__,
∴PQ∥l(__三角形中位线定理__)(填推理的依据).
解:
(1)直线PQ如图D20-6所示;
(图D20-6)
1.如图20-14,在▱ABCD中,AB=3,以点A为圆心,AB长为半径画弧交AD于点F,再分别以点B,F为圆心,大于
BF的长为半径画弧,两弧交于点P;连结AP并延长交BC于点E,连结EF,则四边形ABEF的周长为( A )
(图20-14)
A.12B.14C.16D.18
2.(2019本溪)如图20-15,BD是矩形ABCD的对角线,在BA和BD上分别截取BE,BF,使BE=BF;分别以E,F为圆心,大于
EF的长为半径作弧,两弧在∠ABD内交于点G,作射线BG交AD于点P,若AP=3,则点P到BD的距离为__3__.
(图20-15)
3.(2018淮安)如图20-16,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=5,分别以点A,B为圆心,大于
AB的长为半径画弧,两弧交点分别为点P,Q,过P,Q两点作直线交BC于点D,则CD的长是__
__.
(图20-16)
4.(2020宁波)图20-17是两个由边长为1的小等边三角形构成的网格,每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影.
(1)在图20-17
(1)中选取一个空白小等边三角形涂色,使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形;
(2)在图20-17
(2)中选取一个空白小等边三角形涂色,使得4个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形.
(1)
(2)
(图20-17)
解:
如图D20-7所示.
(图D20-7)
5.(2019陕西)如图20-18,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的高.请用尺规作图法,求作△ABC的外接圆.(保留作图痕迹,不写作法)
(图20-18)(图D20-8)
解:
如图D20-8.
6.(2019泰州)如图20-19,在△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=8.
(1)用直尺和圆规作AB的垂直平分线;(保留作图痕迹,不要求写作法)
(2)若
(1)中所作的垂直平分线交BC于点D,求BD的长.
(图20-19)(图D20-9)
解:
(1)如图D20-9所示,直线MN为AB的垂直平分线;
(2)如图D20-9,连结AD,则AD=BD,设BD=AD=x,则CD=8-x.在Rt△ACD中,
∵AC2+CD2=AD2,∴16+x2-16x+64=x2,解得x=5,即BD=5.
1.尺规作图:
经过已知直线外一点作这条直线的垂线,下列作图中正确的是( B )
A.
B.
C.
D.
2.如图Z20-1,∠AOB=60°,以点O为圆心,以任意长为半径作弧交OA,OB于C,D两点;分别以C,D为圆心,以大于
CD的长为半径作弧,两弧相交于点P;以O为端点作射线OP,在射线OP上截取线段OM=6,则M点到OB的距离为( C )
A.6B.2C.3D.3
(图Z20-1)
3.如图Z20-2,木工师傅在板材边角处作直角时,往往使用“三弧法”,其作法是:
(图Z20-2)
(1)作线段AB,分别以A,B为圆心,以AB长为半径作弧,两弧的交点为C;
(2)以C为圆心,仍以AB长为半径作弧交AC的延长线于点D;
(3)连结BD,BC.下列说法不正确的是( D )
A.∠CBD=30°
B.S△BDC=
AB2
C.点C是△ABD的外心
D.sin2A+cos2D=1
4.如图Z20-3,已知▱AOBC的顶点O(0,0),A(-1,2),点B在x轴正半轴上.按以下步骤作图:
①以点O为圆心,适当长度为半径作弧,分别交边OA,OB于点D,E;②分别以点D,E为圆心,大于
DE的长为半径作弧,两弧在∠AOB内交于点F;③作射线OF,交边AC于点G,则点G的坐标为( A )
(图Z20-3)
A.(
-1,2)B.(
,2)
C.(3-
,2)D.(
-2,2)
5.如图Z20-4,在矩形ABCD中,按以下步骤作图:
①分别以点A和C为圆心,以大于
AC的长为半径作弧,两弧相交于点M和N;②作直线MN交CD于点E.若DE=2,CE=3,则矩形的对角线AC的长为__
__.
(图Z20-4)
6.如图Z20-5,在△ABC中,按以下步骤作图:
①分别以点A和点C为圆心,以大于
AC的长为半径作弧,两弧相交于M、N两点;②作直线MN交BC于点D,连结AD.若AB=BD=6,∠C=30°,则△ACD的面积为__9
__.
(图Z20-5)
7.尺规作图(只保留作图痕迹,不要求写出作法):
如图Z20-6,已知△ABC,请根据“SAS”基本事实作出△DEF,使△DEF≌△ABC.
(图Z20-6)
解:
作图略
8.如图Z20-7,在△ABC中,点P是AC上一点,连结BP,求作一点M,使得点M到AB和AC两边的距离相等,并且到点B和点P的距离相等.(不写作法,保留作图痕迹)
(图Z20-7) (图ZD20-1)
解:
如图ZD20-1,点M即为所求.
9.如图D20-8,在△ABC中,AC (图Z20-8) (1)已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P,连结AP,求证: ∠APC=2∠B; (2)以点B为圆心,线段AB的长为半径画弧,与BC边交于点Q,连结AQ.若∠AQC=3∠B,求∠B的度数. (1)证明略. (2)设∠B=x°,根据题意可知: 90- x+3x=180°, ∴5x=180°,∴∠B=36°. 10.如图Z20-9,在5×5的方格纸中,点A,B,C都在格点上,只用直尺画图: (图Z20-9-1) (图Z20-9-2) (1)在图1中画出△ABC的重心; (2)在图2中画出BC的三等分.(保留画图痕迹,不写画法) 画法如图ZD20-2所示. (图ZD20-2) 11.在每个小正方形的边长为1的网格图形中,每个小正方形的顶点称为格点.以顶点都是格点的正方形ABCD的边为斜边,向内作四个全等的直角三角形,使四个直角顶点E,F,G,H都是格点,且四边形EFGH为正方形,我们把这样的图形称为格点弦图.例如,在如图Z20-10所示的格点弦图中,正方形ABCD的边长为 ,此时正方形EFGH的面积为5.问: 当格点弦图中的正方形ABCD的边长为 ,时,正方形EFGH的面积的所有可能值是__13或49或9__.(不包括5) (图Z20-10) 【解析】 如图ZD20-3-1,当DG=8,CG=1时,满足DG2+CG2=CD2,此时HG=7,可得正方形EFGH的面积为49. 如图ZD20-3-2,当DG= ,CG=2 ,满足DG2+CG2=CD2,此时HG= ,可得正方形EFGH的面积为13. 如图ZD20-3-3,当DG=7,CG=4时,满足DG2+CG2=CD2,此时HG=3,可得正方形EFGH的面积为9.故答案为13或49或9. (图ZD20-3-1) (图ZD20-3-2)(图ZD20-3-3)
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