届高考数学二轮复习小题专练不等式与线性规划作业全国通用.docx
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届高考数学二轮复习小题专练不等式与线性规划作业全国通用
小题专练·作业(三) 不等式与线性规划
1.设函数f(x)=则不等式f(x)>f
(1)的解集是( )
A.(-3,1)∪(3,+∞)B.(-3,1)∪(2,+∞)
C.(-1,1)∪(3,+∞)D.(-∞,-3)∪(1,3)
解析 由题意得,f
(1)=3,所以f(x)>f
(1),即f(x)>3。
当x<0时,x+6>3,解得-3
综上,不等式的解集为(-3,1)∪(3,+∞)。
故选A。
答案 A
2.在R上定义运算:
x⊗y=x(1-y)。
若不等式(x-a)⊗(x-b)>0的解集是(2,3),则a+b=( )
A.1 B.2C.4 D.8
解析 由题知(x-a)⊗(x-b)=(x-a)[1-(x-b)]>0,即(x-a)[x-(b+1)]<0,由于该不等式的解集为(2,3),所以方程(x-a)[x-(b+1)]=0的两根之和等于5,即a+b+1=5,故a+b=4。
故选C。
答案 C
3.已知正数a,b的等比中项是2,且m=b+,n=a+,则m+n的最小值是( )
A.3B.4
C.5D.6
解析 由正数a,b的等比中项是2,可得ab=4,又m=b+,n=a+,所以m+n=a+b++=a+b+=(a+b)≥×2=5,当且仅当a=b=2时等号成立,故m+n的最小值为5。
故选C。
答案 C
4.(2018·北京高考)设集合A={(x,y)|x-y≥1,ax+y>4,x-ay≤2},则( )
A.对任意实数a,(2,1)∈A
B.对任意实数a,(2,1)∉A
C.当且仅当a<0时,(2,1)∉A
D.当且仅当a≤时,(2,1)∉A
解析 若(2,1)∈A,则解得a>,所以当且仅当a≤时,(2,1)∉A。
故选D。
答案 D
5.(2018·重庆联考)已知x,y满足约束条件若z=y-ax取得最大值的最优解不唯一,则实数a的值为( )
A.或-1B.2或
C.2或1D.2或-1
解析 画出约束条件所表示的可行域,如图中阴影部分所示。
令z=0,画出直线y=ax,a=0显然不满足题意。
当a<0时,要使z=y-ax取得最大值的最优解不唯一,则需使直线y=ax与x+y-2=0平行,此时a=-1;当a>0时,要使z=y-ax取得最大值的最优解不唯一,则需使直线y=ax与2x-y+2=0平行,此时a=2。
综上,a=-1或2。
故选D。
答案 D
6.(2018·河北联考)某企业生产甲、乙两种产品均需用A,B两种原料,已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示。
如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得的最大利润为( )
甲
乙
原料限额
A/吨
3
2
12
B/吨
1
2
8
A.15万元B.16万元
C.17万元D.18万元
解析 设生产甲产品x吨,乙产品y吨,获利润z万元,由题意可知,z=3x+4y,画出可行域如图中阴影部分所示,直线z=3x+4y过点M时,z=3x+4y取得最大值,由得所以M(2,3),故z=3x+4y的最大值为18。
故选D。
答案 D
7.已知实数x,y满足:
若z=x+2y的最小值为-4,则实数a=( )
A.1 B.2C.4 D.8
解析 作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示,当直线z=x+2y经过点C时,z取得最小值-4,所以-a+2×=-4,解得a=2。
故选B。
答案 B
8.(2018·全国卷Ⅰ)若x,y满足约束条件则z=3x+2y的最大值为________。
解析 解法一:
作出可行域为如图所示的△ABC所表示的阴影区域,作出直线3x+2y=0,并平移该直线,当直线过点A(2,0)时,目标函数z=3x+2y取得最大值,且zmax=3×2+2×0=6。
解法二:
由题知可行域为以A(2,0),B(-1,0),C(-4,-3)围成的三角形及内部的点构成,由zA=3×2+2×0=6,zB=3×(-1)+2×0=-3,zC=3×(-4)+2×(-3)=-18,得zmax=zA=6。
答案 6
9.若2x+4y=4,则x+2y的最大值是________。
解析 因为4=2x+4y=2x+22y≥2=2,所以2x+2y≤4=22,即x+2y≤2,所以当且仅当2x=22y=2,即x=2y=1时,x+2y取得最大值2。
答案 2
10.已知关于x的不等式2x+≥7在x∈(a,+∞)上恒成立,则实数a的最小值为________。
解析 由x>a,知x-a>0,则2x+=2(x-a)++2a≥2+2a=4+2a,由题意可知4+2a≥7,解得a≥,即实数a的最小值为。
答案
11.(2018·聊城一模)已知函数f(x)=|x|(10x-10-x),不等式f(1-2x)+f(3)>0的解集为( )
A.(-∞,2)B.(2,+∞)
C.(-∞,1)D.(1,+∞)
解析 由于f(-x)=-f(x),所以函数为奇函数,且为定义域R上的单调递增函数,故f(1-2x)+f(3)>0⇒f(1-2x)>-f(3)=f(-3),所以1-2x>-3,解得x<2。
故选A。
答案 A
12.(2018·福州联考)设x,y满足约束条件其中a>0,若的最大值为2,则a的值为( )
A. B.
C. D.
解析 设z=,则y=x,当z=2时,y=-x,作出x,y满足的约束条件
表示的平面区域如图中阴影部分所示,作出直线y=-x,易知此直线与区域的边界线2x-2y-1=0的交点为,当直线x=a过点时a=,又此时直线y=x的斜率的最小值为-,即-1+的最小值为-,即z的最大值为2,符合题意,所以a的值为。
故选C。
答案 C
13.(2018·陕西模拟)已知a>b>1,c<0,在不等式①>;②ln(a+c)>ln(b+c);③(a-c)c<(b-c)c;④bea>aeb中,所有正确命题的序号是( )
A.①②③B.①③④
C.②③④D.①②④
解析 因为a>b>1,所以0<<,又c<0,所以>,所以①正确;因为a>b>1,c<0,所以不妨取a=3,b=2,c=-4,此时ln(a+c)>ln(b+c)不成立,所以②错误;易知函数y=xα(α<0)在(0,+∞)上单调递减,因为a-c>b-c>0,c<0,所以(a-c)c<(b-c)c,所以③正确;令y=(x≠0),则y′=,令y′=0,得x=1,令y′>0,得x>1,故函数y=在(1,+∞)上单调递增,因为a>b>1,所以>,即bea>aeb,所以④正确。
故选B。
答案 B
14.(2018·辽宁重点中学协作体模拟)某校的一个志愿者服务队由高中部学生组成,成员同时满足以下三个条件:
①高一学生人数多于高二学生人数;
②高二学生人数多于高三学生人数;
③高三学生人数的3倍多于高一高二学生人数之和。
若高一学生人数为7,则该志愿者服务队总人数为________。
解析 设高二、高三人数分别为x,y(x,y∈N*)人。
根据题意则满足解得该志愿者服务队总人数为x+y+7=5+6+7=18。
答案 18
15.(2018·青岛模拟)设a,b为正实数,现有下列命题:
①若a2-b2=1,则a-b<1;
②若-=1,则a-b<1;
③若|-|=1,则|a-b|<1;
④若|a3-b3|=1,则|a-b|<1。
其中为真命题的是________。
(写出所有真命题的序号)
解析 对于①,由a2-b2=1,知(a-b)(a+b)=1,因为a,b为正实数,则a+b>a-b>0,所以a-b<1,故①正确。
对于②,不妨取a=2,b=,满足-=1,但a-b=>1,故②错误。
对于③,不妨取a=4,b=1,满足|-|=1,但|a-b|=3>1,故③错误。
对于④,对于|a3-b3|=|(a-b)(a2+ab+b2)|=1,若a,b中至少有一个大于等于1,则a2+ab+b2>1,则|a-b|<1;若a,b都小于1,则|a-b|<1,所以④正确。
综上,①④为真命题。
答案 ①④
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