经典竞赛几何题.docx
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经典竞赛几何题
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2018年05月17日张朋松的初中数学组卷
试卷副标题
考试范围:
xxx;考试时间:
100分钟;命题人:
xxx
题号
一
总分
得分
注意事项:
1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2.请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷(选择题)
请点击修改第I卷的文字说明
评卷人
得分
一.解答题(共50小题)
1.已知△ABC是等边三角形,D是BC边上的一个动点(点D不与B,C重合)△ADF是以AD为边的等边三角形,过点F作BC的平行线交射线AC于点E,连接BF.
(1)如图1,求证:
△AFB≌△ADC;
(2)请判断图1中四边形BCEF的形状,并说明理由;
(3)若D点在BC边的延长线上,如图2,其它条件不变,请问
(2)中结论还成立吗?
如果成立,请说明理由.
2.在△ABC中,AH⊥BC于H,D,E,F分别是BC,CA,AB的中点(如图所示).求证:
∠DEF=∠HFE.
3.在△ABC中,∠B=60°,∠A,∠C的角平分线AE,CF相交于点O,
(1)如图1,若AB=BC,求证:
OE=OF;
(2)如图2,若AB≠BC,试判断线段OE与OF是否相等,并说明理由.
4.如图,在△ABC中,BD是∠ABC的平分线,在△ABC外取一点E,使得∠EAB=∠ACB,AE=DC,并且线段ED与线段AB相交,交点记为K,问线段EK与DK有怎样的大小关系?
并说明理由.
5.已知如图,AC=BC,∠C=90°,∠A的平分线AD交BC于D,过B作BE垂直AD于E,求证:
BE=
AD.
6.如图,已知AB=AC,∠BAC=60°,∠BDC=120°,求证:
AD=BD+CD.
7.如图△ABC,D是△ABC内的一点,延长BA至点E,延长DC至点F,使得AE=CF,G,H,M分别为BD,AC,EF的中点,如果G,H,M三点共线,求证:
AB=CD.
8.如图,在正方形ABCD中,取AD,CD的边的中点E,F,连接CE,BF交于点G,连接AG,试判断AG与AB是否相等,并说明理由.
9.如图,设点M是等腰Rt△ABC的直角边AC的中点,AD⊥BM于E,AD交BC于D.求证:
∠AMB=∠CMD(请用两种不同的方法证明)
10.如图,在四边形ABCD中,AD=BC,E、F分别是DC及AB的中点,射线FE与AD及BC的延长线分别交于点H及G.试猜想∠AHF与∠BGF的关系,并给出证明.
提示:
若猜想不出∠AHF与∠BGF的关系,可考虑使四边形ABCD为特殊情况.如果给不出证明,可考虑下面作法,连结AC,以F为中心,将△ABC旋转180°,得到△ABP.
11.如图,D为△ABC中线AM的中点,过M作AB、AC边的垂线,垂足分别为P、Q,过P、Q分别作DP、DQ的垂线交于点N.
(1)求证:
PN=QN;
(2)求证:
MN⊥BC.
12.在△ABC中,D为AB的中点,分别延长CA、CB到点E、F,使DE=DF,过E、F分别作CA、CB的垂线相交于P,设线段PA、PB的中点分别为M、N.
求证:
①△DEM≌△DFN;
②∠PAE=∠PBF.
13.如图:
已知AB∥DC,∠BAD和∠ADC的平分线相交于点E,过点E的直线分别交AB、DC于B、C两点.猜想线段AD、AB、DC之间的数量关系,并证明.
14.如图,已知△ABC中,AB=BC=CA,D、E、F分别是AB、BC、CA的中点,G是BC上一点,△DGH是等边三角形.求证:
EG=FH.
15.已知如图,CD是RT△ABC斜边上的高,∠A的平分线交CD于H,交∠BCD的平分线于G,
求证:
HF∥BC.
16.已知:
如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°.点E是CD的中点,过点E作CD的垂线交AB于点P,交CB的延长线于点M.点F在线段ME上,且满足CF=AD,MF=MA.
(1)若∠MFC=120°,求证:
AM=2MB;
(2)试猜想∠MPB与∠FCM数量关系并证明.
17.如图,在△ABC中AC>BC,E、D分别是AC、BC上的点,且∠BAD=∠ABE,AE=BD.
求证:
∠BAD=
∠C.
18.已知A,C,B在同一条直线上,△ACE,△BCF都是等边三角形,BE交CF于N,AF交CE于M,MG⊥CN,垂足为G.求证:
CG=NG.
19.如图所示,在△ABC中,∠ABC=2∠C,AD为BC边上的高,延长AB到E点,使BE=BD,过点D、E引直线交AC于点F,请判定AF与FC的数量关系,并证明之.
20.如图,△ABC是边长为l的等边三角形,△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形,以D为顶点作一个60°角,角的两边分别交AB于M,交AC于N,连接MN,形成一个三角形,
求证:
△AMN的周长等于2.
21.已知如图,在四边形ABCD中,AC平分∠BAD,CE⊥AB于E,且AE=
(AB+AD),求证:
∠B与∠D互补.
22.如图,已知△ABC中,∠A=90°,AB=AC,∠1=∠2,CE⊥BD于E.求证:
BD=2CE.
23.AD是△ABC的角平分线,M是BC的中点,FM∥AD交AB的延长线于F,交AC于E.
(1)求证:
CE=BF;
(2)探索线段CE与AB+AC之间的数量关系,并证明.
24.如图,AD是△ABC的中线,AB=AE,AC=AF,∠BAE=∠FAC=90°.判断线段AD与EF数量和位置关系.
25.如图,四边形ABCD中,BC=DC,对角线AC平分∠BAD,且AB=21,AD=9,BC=DC=10,求AC的长.
26.如图,已知线段AB的同侧有两点C、D满足∠ACB=∠ADB=60°,∠ABD=90°﹣
∠DBC.求证:
AC=AD.
27.如图,正方形ABDE和ACFG是以△ABC的AB、AC为边的正方形,P、Q为它们的中心,M是BC的中点,试判断MP、MQ在数量和位置是有什么关系?
并证明你的结论.
28.如图,在△ABC中,AD为∠BAC的平分线,BP⊥AD,垂足为P.已知AB=5,BP=2,AC=9.试说明∠ABC=3∠ACB.
29.如图,在△ABC中,∠B=90°,M为AB上一点,使得AM=BC,N为BC上一点,使得CN=BM,连接AN,CM相交于点P,试求∠APM的度数.
30.已知如图,在△ABC中,∠B=60°,AD、CE是△ABC的角平分线,并且它们交于点O,
(1)求:
∠AOC的度数;
(2)求证:
AC=AE+CD.
31.如图,已知△ABC中AB>AC,P是角平分线AD上任一点,求证:
AB﹣AC>PB﹣PC.
32.如图,在△ABC中,D为BC的中点,点E、F分别在边AC、AB上,并且∠ABE=∠ACF,BE、CF交于点O.过点O作OP⊥AC,OQ⊥AB,P、Q为垂足.求证:
DP=DQ.
33.如图已知△ABC中,AB=AC,∠ABD=60°,且∠ADB=90°﹣
∠BDC,求证:
AB=BD+DC.
34.如图,点C在线段AB上,DA⊥AB,EB⊥AB,FC⊥AB,且DA=BC,EB=AC,FC=AB,∠AFB=51°,求∠DFE度数.
35.如图,已知△ABC是等腰直角三角形,∠C=90°,点M、N分别是边AC和BC的中点,点D在射线BM上,且BD=2BM.点E在射线NA上,且NE=2NA,求证:
BD⊥DE.
36.如图,△ABC中,BD为∠ABC的平分线;
(1)若∠A=100°,∠C=50°,求证:
BC=BA+AD;
(2)若∠BAC=100°,∠C=40°,求证:
BC=BD+AD.
37.如图,△ABC中,∠ACB=90°,∠CAD=30°,AC=BC=AD.
求证:
BD=CD.
38.如图所示,在△ABF中,已知BC=CE=EF,∠BAC=∠CAD=∠DAE=45°,求
的值.
39.如图,已知过△ABC的顶点A,在∠BAC内部任意作一条射线,过B、C分别作此射线的垂线段BD、CE,M为BC边中点.求证:
MD=ME.
40.已知,如图,在正方形ABCD中,O是对角线的交点,AF平分∠BAC,DH⊥AF于点H,交AC于点G,DH延长线交AB于点E
求证:
.
41.已知:
在△ABC中,∠A=90°,AB=AC,D为AC中点,AE⊥BD于E,延长AE交BC于F,求证:
∠ADB=∠CDF.
42.如图,在△ABC中,AB=AC,延长AB到D,使BD=AB,E为AB中点,连接CE、CD,求证:
CD=2EC.
43.如图,在△ABC中,BD=CD,AG平分∠DAC,BF⊥AG,垂足为H,与AD交于E,与AC交于F,过点C的直线CM交AD的延长线于M,且∠EBD=∠MCD,AC=AM.
求证:
DE=
CF.
44.如图,BE、CF是△ABC的高,它们相交于点O,点P在BE上,Q在CF的延长线上且BP=AC,CQ=AB,
(1)求证:
△ABP≌△QCA.
(2)AP和AQ的位置关系如何,请给予证明.
45.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,AF平分∠BAC交CD于E,交BC于F,EG∥AB交BC于G,说明BG=CF的理由.
46.在△ABC中,∠ACB=90°,D是AB上一点,M是CD的中点,若∠AMD=∠BMD,求证:
∠CDA=2∠ACD.
47.如图,已知:
四边形ABCD中,AD=BC,E、F分别是DC、AB的中点,直线EF分别与BC、AD的延长线相交于G、H.求证:
∠AHF=∠BGF.
48.如图,在等腰直角△ABC中,AD=AE,AF⊥BE交BC于点F,过F作FG⊥CD交BE延长线于G,求证:
BG=AF+FG.
49.已知△ABC,∠C=90°,AC=BC.M为AC中点,延长BM到D,使MD=BM;N为BC中点,延长NA到E,使AE=NA,连接ED,求证:
ED⊥BD.
50.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,D是△ABC内一点,且∠DAC=∠DCA=15°,求证:
BD=BA.
2018年05月17日张朋松的初中数学组卷
参考答案与试题解析
一.解答题(共50小题)
1.已知△ABC是等边三角形,D是BC边上的一个动点(点D不与B,C重合)△ADF是以AD为边的等边三角形,过点F作BC的平行线交射线AC于点E,连接BF.
(1)如图1,求证:
△AFB≌△ADC;
(2)请判断图1中四边形BCEF的形状,并说明理由;
(3)若D点在BC边的延长线上,如图2,其它条件不变,请问
(2)中结论还成立吗?
如果成立,请说明理由.
【分析】
(1)利用有两条边对应相等并且夹角相等的两个三角形全等即可证明△AFB≌△ADC;
(2)四边形BCEF是平行四边形,因为△AFB≌△ADC,所以可得∠ABF=∠C=60°,进而证明∠ABF=∠BAC,则可得到FB∥AC,又BC∥EF,所以四边形BCEF是平行四边形;
(3)易证AF=AD,AB=AC,∠FAD=∠BAC=60°,可得∠FAB=∠DAC,即可证明△AFB≌△ADC;根据△AFB≌△ADC可得∠ABF=∠ADC,进而求得∠AFB=∠EAF,求得BF∥AE,又BC∥EF,从而证得四边形BCEF是平行四边形.
【解答】证明:
(1)∵△ABC和△ADF都是等边三角形,
∴AF=AD,AB=AC,∠FAD=∠BAC=60°,
又∵∠FAB=∠FAD﹣∠BAD,∠DAC=∠BAC﹣∠BAD,
∴∠FAB=∠DAC,
在△AFB和△ADC中,
,
∴△AFB≌△ADC(SAS);
(2)由①得△AFB≌△ADC,
∴∠ABF=∠C=60°.
又∵∠BAC=∠C=60°,
∴∠ABF=∠BAC,
∴FB∥AC,
又∵BC∥EF,
∴四边形BCEF是平行四边形;
(3)成立,理由如下:
∵△ABC和△ADF都是等边三角形,
∴AF=AD,AB=AC,∠FAD=∠BAC=60°,
又∵∠FAB=∠BAC﹣∠FAE,∠DAC=∠FAD﹣∠FAE,
∴∠FAB=∠DAC,
在△AFB和△ADC中,
,
∴△AFB≌△ADC(SAS);
∴∠AFB=∠ADC.
又∵∠ADC+∠DAC=60°,∠EAF+∠DAC=60°,
∴∠ADC=∠EAF,
∴∠AFB=∠EAF,
∴BF∥AE,
又∵BC∥EF,
∴四边形BCEF是平行四边形.
【点评】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及平行四边形的判定,熟练掌握性质、定理是解题的关键.
2.在△ABC中,AH⊥BC于H,D,E,F分别是BC,CA,AB的中点(如图所示).求证:
∠DEF=∠HFE.
【分析】EF为中位线,所以EF∥BC,又因为∠HFE和∠FHB,∠DEF和∠CDE分别为一组平行线的对角,所以相等;转化成求证∠FHB=∠CDE.
【解答】证明:
∵E,F分别为AC,AB的中点,
∴EF∥BC,
根据平行线定理,∠HFE=∠FHB,∠DEF=∠CDE;
同理可证∠CDE=∠B,
∴∠DEF=∠B.
又∵AH⊥BC,且F为AB的中点,
∴HF=BF,
∴∠B=∠BHF,
∴∠HFE=∠B=∠DEF.
即∠HFE=∠DEF.
【点评】本题考查了三角形的中位线定理,平行四边形的判定,直角三角形中斜边的中线为斜边边长的一半.
3.在△ABC中,∠B=60°,∠A,∠C的角平分线AE,CF相交于点O,
(1)如图1,若AB=BC,求证:
OE=OF;
(2)如图2,若AB≠BC,试判断线段OE与OF是否相等,并说明理由.
【分析】
(1)可证明△ACF≌△CAE,再由角平分线的性质得出∠OAC=∠OCA,从而得出OE=OF;
(2)过点O作OH⊥AC,OM⊥BC,ON⊥AB,垂足分别为H,M,N,连接OB.根据角平分线的性质定理以及逆定理可推得点O在∠B的平分线上,从而得出∠OBN=∠OBM=30°,由已知得出∠OEM=∠OFN,能证明Rt△OFN≌Rt△OEM,则OE=OF成立.
【解答】证明:
(1)∵∠B=60°,AB=BC,
∴∠A=∠C=60°,
∵AECF分别平分∠A,∠C,
∴∠OAC=∠OCA=30°,
∴OA=OC,△ACF≌△CAE(ASA),
∴AE=CF,
∴OE=OF;
(2)过点O作OH⊥AC,OM⊥BC,ON⊥AB,垂足分别为H,M,N,连接OB.
∵点O在∠A,∠C的平分线上,
∴ON=OH,OH=OM,从而OM=ON,
∴点O在∠B的平分线上(1分)
∴∠OBN=∠OBM=30°,ON=OM(2分)
又∠OEM=∠B+
∠A=60°+
∠A
∠OFN=∠A+
∠C=
(∠A+∠C)+
∠A=
(180°﹣60°)+
∠A=60°+
∠A.
∴∠OEM=∠OFN.(2分)
∴Rt△OFN≌Rt△OEM(AAS),(1分)
∴OE=OF.(1分)
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质以及角平分线的性质,注意一题多解以及方法的简单性.
4.如图,在△ABC中,BD是∠ABC的平分线,在△ABC外取一点E,使得∠EAB=∠ACB,AE=DC,并且线段ED与线段AB相交,交点记为K,问线段EK与DK有怎样的大小关系?
并说明理由.
【分析】首先作出EI⊥AB,DH⊥AB,证明△EAI≌△DCF再得出DH=DF进而得出△EKI≌△DKH即可证出.
【解答】解:
结论:
EK=DK.(2分)
理由:
过点E作EI⊥AB,过点D作DH⊥AB于H,DF⊥BC于F,
在△EAI和△DCF中
∵
,
∴△EAI≌△DCF(AAS),(2分)
∴EI=DF,(2分)
∵BD是∠ABC的平分线,
∴DH=DF,(2分)
∴DH=EI,
在△EKI和△DKH中,
∵
,
∴△EKI≌△DKH(AAS),(2分)
∴EK=DK.(2分)
【点评】此题主要考查了三角形全等证明方法,根据题意作出EI⊥AB,DH⊥AB,从而利于全等证明是解决问题的关键.
5.已知如图,AC=BC,∠C=90°,∠A的平分线AD交BC于D,过B作BE垂直AD于E,求证:
BE=
AD.
【分析】延长AC、BE交于点M,易证得△ACD≌△BCM,可得AD=BM①,可证得△AEM≌△AEB,可得EM=BE,即BM=2BE②,由①②即可得结论.
【解答】解:
如图,延长AC、BE交于点M,
∵∠A的平分线AD,BE垂直AD于E,
∴∠MAE=∠BAE,∠AEM=∠AEB=90°,
∵AE=AE,
∴△AEM≌△AEB(ASA),
∴EM=BE,即BM=2BE①;
∵∠A的平分线AD,AC=BC,∠C=90°,
∴∠CAD=∠DAB=22.5°,∠ABC=45°,
∵BE垂直AD于E,
∴∠DAB+∠ABC+∠DBE=90°,即∠DBE=22.5°,
∴∠CAD=∠DBE,
又∵AC=BC,且∠ACB=∠BCM=90°,
∴△ACD≌△BCM(ASA),
∴AD=BM②;
由①②得AD=2BE,
即BE=
AD.
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质,涉及到等腰直角三角形的性质、三角形内角和定理等知识点,正确作出辅助线是解题的关键.
6.如图,已知AB=AC,∠BAC=60°,∠BDC=120°,求证:
AD=BD+CD.
【分析】先延长DB,使BE=CD,连接AE,BC,根据已知条件得出A,B,D,C四点共圆,得出∠ACB=∠ADE,再根据等边三角形的性质得出△ABC是等边三角形,在△ABE和△ACD中,根据SAS得出△ABE≌△ACD,得出△ADE是等边三角形,得出AD=DE,再根据DE=BD+BE,即可证出AD=BD+CD.
【解答】解:
延长DB,使BE=CD,连接AE,BC,
∵∠BAC+∠ACD+∠BDC+∠ABD=360°,∠BAC=60°,∠BDC=120°,
∴∠ABD+∠ACD=180°,
∴A,B,D,C四点共圆,
∴∠ACB=∠ADE,
∵∠ABD+∠ABE=180°,
∴∠ABE=∠ACD,
∵AB=AC,
∴△ABC是等边三角形,
∴∠ACB=60°,
∴∠ADE=60°,
在△ABE和△ACD中,
,
∴△ABE≌△ACD(SAS),
∴AE=AD,
∴△ADE是等边三角形,
∴AD=DE,
∵DE=BD+BE,
∴AD=BD+CD.
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质,用到的知识点是等边三角形的性质,全等三角形的判定与性质和三角形内角和定理,关键是根据题意作出辅助线.
7.如图△ABC,D是△ABC内的一点,延长BA至点E,延长DC至点F,使得AE=CF,G,H,M分别为BD,AC,EF的中点,如果G,H,M三点共线,求证:
AB=CD.
【分析】由三角形的中位线得,MS∥AE,MS=
AE,HS∥CF,HS=
CF,
由已知得HS=SM,从而得出∠SHM=∠SMH,则得出∠TGH=∠THG,GT=TH,最后不难看出AB=CD.
【解答】证明:
取BC中点T,AF的中点S,连接GT,HT,HS,SM,
∵GHM分别为BD,AC,EF的中点,
∴MS∥AE,MS=
AE,HS∥CF,HS=
CF,
∵GT∥CD,HT∥AB,GT=
CD,HT=
AB,
∴GT∥HS,HT∥SM,
∴∠SHM=∠TGH,∠SMH=∠THG,
∴∠TGH=∠THG,
∴GT=TH,
∴AB=CD.
【点评】本题考查了三角形的中位线定理以及平行线的性质.
8.如图,在正方形ABCD中,取AD,CD的边的中点E,F,连接CE,BF交于点G,连接AG,试判断AG与AB是否相等,并说明理由.
【分析】延长CE、BA交于P,易证△CDE≌△BCF,可得∠CFB=∠DEC,即可求得CE⊥BF,进而可以求证△PAE∽△PBC,可得PA=AB,根据直角三角形斜边中线等于斜边一半性质即可解题.
【解答】解:
延长CE、BA交于P,
∵在△CDE和△BCF中,
,
∴△CDE≌△BCF;(SAS)
∴∠CFB=∠DEC,
∵∠FCG+∠DEC=90°,
∴∠FCG+∠CFB=90°,
∴CE⊥BF,
∴△PAE∽△PBC,
=
=
,
∴A是PB的中点,即AB=
PB,
∵RT△BPG中,AG=
PB.
∴AG=AB.
【点评】本题考查了全等三角形的判定,考查了全等三角形对应角相等的性质,本题中求证△CDE≌△BCF是解题的关键.
9.如图,设点M是等腰Rt△ABC的直角边AC的中点,AD⊥BM于E,AD交BC于D.求证:
∠AMB=∠CMD(请用两种不同的方法证明)
【分析】法
(1)先延长AD至F,使得CF⊥AC,得出∠ABM=∠DAC,再根据AB=AC,CF⊥AC,得出△ABM≌△CAF,从而证出∠BMA=∠F,AM=CF,再根据所给的条件得出△FCD≌△MCD,即可得出∠AMB=∠F=∠CMD;
法
(2)先作∠BAC的平分线交BM于N,得出∠ABN=∠CAE,再根据∠BAN=∠C=45°,AB=AC,证出△BAN≌△ACD,得出AN=CD,证出△NAM≌△DCM,即可得出∠AMB=∠CMD.
【解答】证明:
法
(1)如图,延长AD至F,使得CF⊥AC,
∵AB⊥AC,AD⊥BM,
∴∠ABM=∠DAC,
又∵AB=AC,CF⊥AC,
∴△ABM≌△CAF,
∴∠BMA=∠F,AM=CF,
∵∠BCA=∠BCF=45°,AM=CM=CF,DC=DC,
∴△FCD≌△MCD,
∴∠AMB=∠F=∠CMD;
法
(2)AD交BM于E,作∠BAC的平分线交BM于N,
∵AE⊥BM,BA⊥AC,
∴∠ABN=∠CAE,
∵∠BAN=∠C=45°,AB=AC,
∴△BAN≌△ACD.
∴AN=CD,
∵∠NAM=∠C=45°,AM=MC
∴△NAM≌△DCM,
∴∠AMB=∠CMD.
【点评】此题考查了解等腰直角三角形;解题的关键是根据题意画出图形,再根据解等腰直角三角形的性质和相似三角形的判断与性质进行解答即可.
10.如图,在四边形ABCD中,AD=BC,E、F分别是DC及AB的中点,射线FE与AD及BC的延长线分别交于点H及G.试猜想∠AHF与∠BGF的关系,并给出证明.
提示:
若猜想不出∠AHF与∠BGF的关系,可考虑使四边形ABCD为特殊情况.如果给不出证明,可考虑下面作法,连结AC,以F为中心,将△ABC旋转180°,得到△ABP.
【分析】方法一:
连AC,取其中点为M,连EM和FM,根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EM∥AD,2EM=AD,同理FM∥BC,2FM=BC,再根据两直线平行,内错角相等可得∠AHF=∠MEF,两直线平行,内错角相等可得∠BGF=∠MFE,从而得证;
方法二:
作法,连结AC,以F为中心,将△ABC旋转180°,得到△ABP,根据独角戏互相平分的四边形的平行四边形可得APBC是平行四边形,根据平行四边形对边相等可得AP=BC=AD,连结AP,根据等边对等角可得∠APD=∠ADP,根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EF∥DP根据两直线平行,同位角相等可得∠AHF=∠ADP,根据两边互相平行的两个角相等或互补可得∠BGF=∠APD,然后等量代换即可得证.
【解答】答:
∠AHF=∠BGF.
证明:
方法一:
连AC,取其中点为M,连EM和FM,
∵EM是△ACD的中位线,
∴EM∥AD,2EM=AD,
同理FM∥BC,2FM=BC,
∴EM=FM,
∴∠MEF=∠MFE,
∵∠AHF=∠MEF,∠BGF=∠MFE,
∴∠AHF=∠BGF;
方法二:
作法,连结AC,以F为中心,将△ABC旋转180°,
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