第七章解析几何与微分几何SECTION6.docx
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第七章解析几何与微分几何SECTION6
§6二次曲面
一、球面
[球面的方程、球心与半径]
方程与图形
球心与半径
或
(球面坐标方程.式中为经度,为余纬度)
球心G(0,0,0)
半径R
或
(球面坐标方程式中,同上)
球心G(a,b,c)
半径R
方程与图形
球心与半径
球心
半径
[球面的切面与法线]设一平面P通过球面上一点M且垂直于半径GM,则称P为球面在M的切面.直线MG称为球面在点M的法线.
设球面方程为
则球面在点M()的切面方程为
球面在点M()的法线方程为
[两个球面的交角]设两个球面
=0
=0
两个球面的交角是指它们在交点的两个切面的夹角,记作,则
因公式中不包含交点的坐标,所以在两个球面的交线上的各点的交角必相等.
两个球面的正交条件为
[球面束·两个球面的根面]设
式中和如
(1)式定义,为参数,则有
对的一个确定值,表示一个球面,当取一切值时,所表示的球面的全体称为球面束.时为一平面,称为两个球面的根面,其方程为
根面与和的连心线垂直,束中任一球面
的中心在连心线上,且分连心线的比为
.
[球面汇·三个球面的根轴]设和如
(1)式定义,又设
设
式中为二独立参数,则有
对的一对确定值,表示一个球面,当取一切值时,所表示的球面的全体称为球面汇.
三个球面中每对球面的根面分别为
和
这三个平面交于一条直线,称为的根轴.
二、椭球面
方程与图形
基本元素
特征
[椭球面]
当a=b时为旋转椭球面
(在Ozx平面上的曲线
绕z轴旋转而得到)
当a=b=c时为球面
顶点
主轴
主平面及其方程:
Oxy平面z=0
Oyz平面x=0
Ozx平面y=0
主轴的方程:
AA’y=z=0
BB’z=x=0
CC’x=y=0
中心O(0,0,0)
直径平面通过中心的平面
任一平面与椭球面的交线为一椭圆(特殊情况下为一圆).
平行于一已知方向d的一组弦的中点在一个平面上,该平面是一直径平面,它共轭于方向d.
三个主平面是分别共轭于主轴的直径平面.
椭球体的体积:
三、双曲面
方程与图形
基本元素
特征
[单叶双曲面]
[双叶双曲面]
当a=b时,为
[旋转双曲面]
(在Oxz平面上的曲线
绕z轴旋转而得到)
主轴
中心O(0,0,0)
主平面及其方程:
Oxy平面z=0
Oyz平面x=0
Ozx平面y=0
平行于z轴的平面与双曲面的交线都是双曲线(对于单叶双曲面,可能是一对相交直线).
平行于Oxy平面的平面与双曲面的交线都是椭圆.
单叶双曲面上有两族直母线,它们的方程是
(为参数)
与
(为参数)
四、抛物面
方程与图形
基本元素
特征
[椭圆抛物面]
当a=b时,为旋转抛物面
(在Ozx平面上的曲线绕z轴旋转而得到)
[双曲抛物面]
顶点O(0,0,0)
主轴z轴
主平面及其方程:
Oyz平面x=0
Ozx平面y=0
椭圆抛物面与平行于z轴的平面的交线是抛物线;与平行于Oxy的平面的交线都是椭圆.
体积
体积
双曲抛物面与平行于Oyz的平面(或平行于Ozx的平面)的交线是抛物线;与平行于Oxy的平面的交线是双曲线.
双曲抛物面的形状呈马鞍形,所以也称为马鞍面.
双曲抛物面上有两族直母线,它们的方程是
(为参数)
与
(为参数)
五、锥面与柱面
方程与图形
基本元素
特征
[椭圆锥面]
当a=b时,为圆锥面
(在Oxz平面上的直线绕z轴旋转而得到)
主轴z轴
顶点原点O
a,b为z=c的平面与锥面的交线(椭圆)的半轴
椭圆锥面与平行于Oxy的平面z=h的交线是椭圆
与Oxy平面交于原点O.
[椭圆柱面]
当a=b时,为圆柱面
准线的方程为
母线的方向数为(0,0,1)
椭圆柱面与任何平行于Oxy的平面的交线都是同样的椭圆
[双曲柱面]
准线的方程为
母线的方向数为
(0,0,1)
方程与图形
基本元素
特征
[抛物柱面]
准线的方程为
母线的方向数为
(0,0,1)
[渐近锥面]
二次锥面
为双曲面
的渐近锥面
与双曲线的渐近线类似,通过z轴的每个平面与双曲面的交线为一对共轭双曲线,与锥面的交线是两条直线,即这对双曲线的渐近线.
六、一般二次曲面
1.二次曲面的一般性质
上面所列举的椭球面、双曲面、抛物面等,它们的方程关于x,y,z都是二次的.关于x,y,z的一般二次方程的形式是
它表示的曲面称为一般二次曲面.这里列举这些曲面的一些共同性质.
[直线与二次曲面的交点]一直线与一个二次曲面交于两点(实的,虚的,重合的).或者这直线全在曲面上,此时称它为二次曲面的直母线或母线.
[平面与二次曲面的交线]任一平面与一个二次曲面的交线为一个二次曲线.
[二次曲面的直径平面与中心]一个二次曲面的平行于已知方向的弦的中点在一个平面上,称为直径平面,它平分某一组平行弦.设已知方向的方向数为l,m,n,则直径平面的方程为
或改写为
当l,m,n变动时,这个方程表示一个平面把,由此二次曲面的直径平面组成一个平面把.把内任一平面都通过下列三个平面的交点:
如果交点不在曲面上,则称它为二次曲面的中心,如果交点在曲面上,则称它为二次曲面的顶点.凡有中心的二次曲面称为有心二次曲面,其余的都称为无心二次曲面.
[二次曲面的主平面与主轴]如果直径平面垂直于被它所平分的弦,则称为主平面(对称平面),每个二次曲面至少有一个实主平面,非旋转二次曲面的任两主平面是互相垂直的,它们的交线为主轴.
[二次曲面的切面与法线]二次曲面在一点M()的切面方程为
在点M与二次曲面的切面垂直的直线称为曲面在点M的法线,它的方程可写为
[二次曲面的圆截面]如果一个平面与一个二次曲面的交线为一个圆,则称该平面为曲面的圆截面.
如果二次曲面不是球面,则通过空间中一点,二次曲面有六个圆截面;其中一般有两个实圆截面,四个虚圆截面;而且六个圆截面中有几个是重合的.
2.二次曲面的不变量
由二次曲面的一般方程
(1)
的系数组成的下列四个函数:
称为二次曲面的不变量,即经过坐标变换后,这些量是不变的.行列式称为二次方程
(1)的判别式.
3.二次曲面的标准方程及形状
不变量
坐标变换后的方程
曲线形状
有心二次曲面
>0
式中A,B,C,为特征方程
的三个特征根
A,B,C,异号时为单叶双曲面
A,B,C,同号时无轨迹
<0
A,B,C,同号时为椭球面
A,B,C,异号时为双叶双曲面
=0
A,B,C,同号时无轨迹
A,B,C,异号时为二次锥面
D=0
无心二次曲面
<0
椭圆抛物面
(A,B都是正的时,根号前取负号;A,B都是负的时,根号前取正号)
>0
双曲抛物面
=0
:
A,B,C,同号时为椭圆柱面或无轨迹,A,B,异号时为双曲柱面
:
A,B,C,异号时为一对相交平面.
A,B同号时无轨迹
J=0
抛物柱面
一对平行平面
无轨迹
一对重合平面
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