初二下期末几何压轴题及解析.docx
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初二下期末几何压轴题及解析
初二下期末几何及解析
1、以四边形ABCD的边AB、AD为边分别向外侧作等边三角形ABF和ADE,连接EB、FD,交点为G.
(1)当四边形ABCD为正方形时(如图1
),E
B和FD的数量关系是_____________;
(2)当四边形ABCD为矩形时(如图2),EB和FD具有怎样的数量关系?
请加以证明;
(3)四边形ABCD由正方形到矩形到一般平行四边形的变化过程中,∠EGD是否发生变化?
如果改变,请说明理由;如果不变,请在图3中求出∠EGD的度数.
难度一般:
证全等即可(第三问,图1中就能看出是45°。
)
解
(1)EB
=FD。
(2)EB=FD。
证:
∵△AFB为等边三角形,∴AF=AB,∠FAB=60°
∵△ADE为等边三角形,∴AD=AE,∠EAD=60°,∴∠FAB+∠BAD=∠EAD+∠BAD
即∠FAD=∠BAE,∴△FAD≌△BAE,∴EB=FD
(3)解:
∵△ADE为等边三角形,∴∠AED=∠EDA=60°
∵△FAD≌△BAE,∴∠AEB=∠ADF
设∠AEB为x°,则∠ADF也为x°
于是有∠BED为(60-x)°,∠EDF为(60+x)°
∴∠EGD=180°-∠BED-∠EDF
=180°-(60-x)°-(60+x)°=60°
2、已知:
如图,在□ABCD中,点E是BC的中点,
连接AE并延长交DC的延长线于点F,连接BF.
(1)求证:
△ABE≌△FCE;
(2)若AF=AD,求证:
四边形ABFC是矩形.
简单题
证明:
(1)如图1.
在△ABE和△FCE中,∠1=∠2,∠3=∠4,BE=CE,
∴△ABE≌△FCE.
(2)∵△ABE≌△FCE,∴AB=FC.
∵AB∥FC,∴四边形ABFC是平行四边形.
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC.
∵AF=AD,∴AF=BC.∴四边形ABFC是矩形.
3、已知:
△ABC是一张等腰直角三角形纸板,∠B=90°,AB=BC=1.
(1)要在这张纸板上剪出一个正方形,使这个正方形的四个顶点都在△ABC的边上.小林设计出了一种剪法,如图1所示.请你再设计出一种不同于图1的剪法,并在图2中画出来.
(2)若按照小林设计的图1所示的剪法来进行裁剪,记图1为第一次裁剪,得到1个正方形,将它的面积记为
,则
=___________;余下的2个三角形中还按照小林设计的剪法进行第二次裁剪(如图3),
得到2个新的正方形,将此次所得2个正方形的面积的和记为
,则
=___________;在余下的4个三角形中再按照小林设计的的剪法进行第三次裁剪(如图4),得到4个新的正方形,将此次所得4个正方形的面积的和记为
;按照同样的方法继续操作下去……,第
次裁剪得到_________个新的正方形,它们的面积的和
=______________.
(题外题:
把你剪出的正方形的面积与图1中的正方形面积进行比较。
)
本题相当于中考12题的简单题
解:
(1)如图2;-------------1分
(2)
,
,
,
.----------6分
4、已知:
如图,平面直角坐标系
中,正方形ABCD的边长为4,它的顶点A在
轴的正半轴上运动,顶点D在
轴的正半轴上运动(点A,D都不与原点重合),顶点B,C都在第一象限,且对角线AC,BD相交于点P,连接OP.
(1)当OA=OD时,点D的坐标为______________,
∠POA=__________°;
(2)当OA OP平分∠DOA; (3)设点P到y轴的距离为 ,则在点A,D运动的 过程中, 的取值范围是________________. (第二问: 如果点P到OP“所平分的角”的两边的距离相等,即可。 )(第二问的题外题: 当OA>OD时,求证: OP平分∠DOA;) 解: (1)( ), ; 证明: (2)过点P作PM⊥ 轴于点M,PN⊥ 轴于点N.(如图3) ∵四边形ABCD是正方形,∴PD=PA,∠DPA=90°. ∵PM⊥ 轴于点M,PN⊥ 轴于点N, ∴∠PMO=∠PNO=∠PND=90°. ∵∠NOM=90°,∴四边形NOMP中,∠NPM=90°.∴∠DPA=∠NPM. ∵∠1=∠DPA-∠NPA,∠2=∠NPM-∠NPA,∴∠1=∠2. 在△DPN和△APM中,∠PND=∠PMA,∠1=∠2,PD=PA, ∴△DPN≌△APM.∴PN=PM.∴OP平分∠DOA. (3) ≤ .- 5、已知: 如图,平面直角坐标系 中,矩形OABC的 顶点A,C的坐标分别为(4,0),(0,3).将△OCA沿直线CA 翻折,得到△DCA,且DA交CB于点E. (1)求证: EC=EA; (2)求点E的坐标; (3)连接DB,请直接写出四边形DCAB的周长和面积. (第二问,有坐标,用代数法勾股定理可得CE=AE的长) (第三问的证明: 过D做DM⊥AC于M,过B做BN⊥CA于N,则由相似可得,DM=BN=梯形的高(能求出具体数),CM=AN(具体数)还看得DB=MN(具体数)这样即可求出周长,有可求出面积。 ) 证明: (1)如图1.∵△OCA沿直线CA翻折得到△DCA, ∴△OCA≌△DCA.∴∠1=∠2. ∵四边形OABC是矩形,∴OA∥CB. ∴∠1=∠3.∴∠2=∠3.∴EC=EA. 解: (2)设CE=AE= . ∵点A,C的坐标分别为(4,0),(0,3),∴OA=4,OC=3. ∵四边形OABC是矩形,∴CB=OA=4,AB=OC=3,∠B=90°. 在Rt△EBA中, , ∴ .解得 .∴点E的坐标为( ). (3) , . 6、已知: △ABC的两条高BD,CE交于点F,点M,N分别是AF,BC的中点,连接ED,MN. (1)在图1中证明MN垂直平分ED; (2)若∠EBD=∠DCE=45°(如图2),判断以M,E,N,D为顶点的四边形的形状,并证明你的结论. 图2 第一问,连接EM,EN,DM,DN,利用三角形斜边中线等于斜边一半得,ME=MD,NE=ND,所以点M、N都在线段ED的垂直平分线上。 (有△ADF≌△BDC,得AF=BC,(还得∠MDA=∠NDB,证直角时用),进而得菱形,再证一直角得正方形,) (1)证明: 连接EM,EN,DM,DN.(如图2) ∵BD,CE是△ABC的高, ∴BD⊥AC,CE⊥AB. ∴∠BDA=∠BDC=∠CEB=∠CEA=90°. ∵在Rt△AEF中,M是AF的中点,∴EM= AF. 同理,DM= AF,EN= BC,DN= BC. ∴EM=DM,EN=DN. ∴点M,N在ED的垂直平分线上.∴MN垂直平分ED. (2)判断: 四边形MEND是正方形. 证明: 连接EM,EN,DM,DN.(如图3) ∵∠EBD=∠DCE=45°,而∠BDA=∠CDF=90°, ∴∠BAD=∠ABD=45°,∠DFC=∠DCF=45°.∴AD=BD,DF=DC. 在△ADF和△BDC中, AD=BD, ∠ADF=∠BDC,(Rt∠) DF=DC, ∴△ADF≌△BDC.∴AF=BC,∠1=∠2. ∵由 (1)知DM= AF=AM,DN= BC=BN, ∴DM=DN,∠1=∠3,∠2=∠4.∴∠3=∠4. ∵由 (1)知EM=DM,EN=DN,∴DM=DN=EM=EN. ∴四边形MEND是菱形. ∵∠3+∠MDF=∠ADF=90°,∴∠4+∠MDF=∠NDM=90°. ∴四边形MEND是正方形. 7、(6分)如图,现有一张边长为4的正方形纸片ABCD,点P为AD边上的一点(不与点A、点D重合),将正方形纸片折叠,使点B落在P处,点C落在G处,PG交DC于H,折痕为EF,联结BP、BH。 (1)求证: ∠APB=∠BPH; (2)求证: AP+HC=PH; (3)当AP=1时,求PH的长。 第一问,设∠EPB=∠EBP=m,则∠BPH=90°-m,∠PBC=90°-m,所以∠BPH=∠PBC,又因为∠APB=∠PBC,所以,∠APB=∠BPH。 第二问的题外题: 将此题与北京141之东城22和平谷24放在一起,旋转翻折共同学习;此题中用旋转把△ABP绕点B顺时针旋转90°不能到达目的,于是延BP翻折,翻折后的剩余部分△BQH与△BCH也可全等,即可到达目的,还有意外收获: 证得∠PBH=45°。 第三问,代数方法的勾股定理。 (1)证明: ∵PE=BE,∴∠EPB=∠EBP, 又∵∠EPH=∠EBC=90°, ∴∠EPH-∠EPB=∠EBC-∠EBP。 即∠BPH=∠PBC。 又∵四边形ABCD为正方形,∴AD∥BC, ∴∠APB=∠PBC。 ∴∠APB=∠BPH。 (2分) (2)证明: 过B作BQ⊥PH,垂足为Q, 由 (1)知,∠APB=∠BPH, 又∵∠A=∠BQP=90°,BP=BP, ∴△ABP △QBP,∴AP=QP,BA=BQ。 又∵AB=BC,∴BC=BQ。 又∵∠C=∠BQH=90°,BH=BH, ∴△BCH △BQH,∴CH=QH,∴AP+HC=PH。 (4分) (3)由 (2)知,AP=PQ=1,∴PD=3。 设QH=HC= ,则DH= 。 在Rt△PDH中, , 即 ,解得 ,∴PH=3.4(6分) 8、(6分)如图,在△ABC中,AC>AB,D点在AC上,AB=CD,E、F分别是BC、AD的中点,连结EF并延长,与BA的延长线交于点G,若∠EFC=60°,联结GD,判断△AGD的形状并证明。 (也可问∠ADG的度数。 ) 判断: △AGD是直角三角形。 证明: 如图联结BD,取BD的中点H,联结HF、HE, ∵F是AD的中点, ,∴∠1=∠3。 同理,HE//CD,HE= ,∴∠2=∠EFC。 ∵AB=CD, ∴HF=HE,∴∠1=∠2,∴∠3=∠EFC。 ∵∠EFC=60°,∴∠3=∠EFC=∠AFG=60°, ∴△AGF是等边三角形。 ∴AF=FG ∵AF=FD, ∴GF=FD,∴∠FGD=∠FDG=30°, ∴∠AGD=90°,即△AGD是(特殊)直角三角形。 (GE=BG-BE,GH是直角三角形的斜边,这样证全等。 ) 10、阅读下列材料: 小明遇到一个问题: AD是△ABC的中线,点M为BC边上任意一点(不与点D重合),过点M作一直线,使其等分△ABC的面积. 他的做法是: 如图1,连结AM,过点D作DN//AM交AC于点N,作直线MN,直线MN即为所求直线. 请你参考小明的做法,解决下列问题: (1)如图2,在四边形ABCD中,AE平分ABCD的面积,M为CD边上一点,过M作一直线MN,使其等分四边形ABCD的面积(要求: 在图2中画出直线MN,并保留作图痕迹); (2)如图3,求作过点A的直线AE,使其等分四边形ABCD的面积(要求: 在图3中画出直线AE,并保留作图痕迹). (第二问,把△ABC的面积接到DC的延长线上。 ) 11、已知: 四边形ABCD是正方形,点E在CD边上,点F在AD边上,且AF=DE. (1)如图1,判断AE与BF有怎样的位置关系? 写出你的结果,并加以证明; (2)如图2,对角线AC与BD交于点O.BD、AC分别与AE、BF交于点G,点H. ①求证: OG=OH; ②连接OP,若AP=4,OP= ,求AB的长. 图1 【第二问①,证△AOG≌△BHO, 第二问②,(在OB上截取BQ=AP,则△APO≌△BQO,得OP=OQ,AP=BQ,也可得∠OPG=
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