行星地轨道及位置地数学解法doc.docx
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行星地轨道及位置地数学解法doc.docx
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行星地轨道及位置地数学解法doc
实用文案
行星的轨道和位置的数学解法
作者:
石磊a,林川b
指导教师:
乐经良
C教授
a:
上海交通大学电子信息与电气工程学院
F0303032班(5030309885),
电话:
54740807
b:
上海交通大学电子信息与电气工程学院
F0303032班(5030309880),
电话:
54741769
c:
上海交通大学理学院数学系
摘要:
本文主要涉及常微分方程及对微分方程的建模与求解,数值积分的计算;利用多种微分方程的数值方法求解得到行星运行的参数和位置。
研究基于压缩映象的求根方法和微
分方程的Runge-Kutte法。
特别对Runge-Kutte法进行较深入的讨论。
并通过数值方法解微分方程得到的行星位置演示水星和冥王星的运行轨道,编制软件。
关键词:
微分方程数值方法Runge–Kutte法
问题的重述
17世纪初,在丹麦天文学家T.Brache观察工作的基础上,Kepler提出了震惊当时科学界的行星运行三大定律:
1.行星运行的轨道是以太阳为一个焦点的椭圆;
2.从太阳指向某一行星的线段在单位时间内扫过的面积相等;
3.行星运行周期的平方与其运行轨道椭圆长轴的立方之比值是不随行星而改变的常数。
对这三条定律的分析和研究导致Newton发现了著名的万有引力定律,而同时,应用万有引力定律,Kepler的行星运行三大定律得到了理论上的推导。
数学模型
设太阳中心所在位置为复平面之原点O,在时刻t,行星位于
Z(t)rei(4.1)
所表示的点P。
这里rr(t),(t)均是t的函数,分别表示Z(t)的模和辐角。
于是行星的速度为
dZdreiireideidrird
dtdtdtdtdt
其加速度为
标准文档
实用文案
d2Z
id2r
d
2
d2r
drd
ir
dt2
e
r
dt2
2
dt2
dt
dtdt
(4.2)
而太阳对行星的引力依万有引力定律,大小为
mMG
,方向由行星位置
P指向太阳的
r2
中心O,故为
mMGei
,其中M
1.989
1030(kg)为太阳的质量,m是行星的质量,
r2
G6.6721011(Nm2/kg2)为万有引力常数。
依Newton第二定律,得到
mMGei
md2Z
(4.3)
r2
dt2
将(4.2)代入(4.3),然后比较实部和虚部,有
rd2
2drd
0
dt2
dt
dt
d2r
rd
2
MG
dt2
dt
r2
(4.4)(4.5)
如设t
0时,行星正处于远日点,远日点位于正实轴上,距原点O为r0
行星的线速度为v,
0
那么就有初值条件:
rt
0
r0
t
0
0
dr
dt
d
dt
t0
0
(4.6
)(4.7)(4.8
)
v0
t0
r0
(4.9)
方程(4.4)~(4.9)就是行星绕太阳运行的轨迹的数学模型。
将式(4.4)乘以r,即得
d
r2
d
0
dt
dt
r2
d
C1
(常数)
(4.10)
dt
其中C1r0v0
这样,有向线段OP在时间t内扫过的面积等于
标准文档
实用文案
tt1
2
d
C1
t
t
r
dt
(4.11)
2
dt
2
而这正是Kepler
第二定律。
将式(4.10)
改写后代入式(4.5)
2
d2r
C1
MG
dt2
r3
r2
由此得到行星运动的较为简单形式的数学模型:
d2r
2
C1
MG
dt2
r3
r2
d
C1
dt
r2
rt
0
r0
dr
0
dt
t
0
t
0
0
实验任务
1.在求解方程(4.24)
时,试用矩形法、梯形法和
Simpson法来计算数值积分,
并对所得的结果加以比较?
解答:
由于行星的运动满足
Kepler第二定律式(4.11),
改写该式为
r2d
C1
t
p2
t
0C11
2d
ecos
如果要求tT1时相应的
和r,则意味着首先要解方程
F
C1T1
p2
其中
F
1
d
(4.24)
1
ecos
2
0
标准文档
实用文案
利用矩形法计算次积分,并带入水星数据,得
Clear
r0,
v0,
h,
c1,
p,e,
F,
T1,
k,
1,
2,
r,
v;
h
0.0001;
r0
0.6982
1011;
v0
3.886
104;
M
1.989
1030;
G
6.672
10
11;
c1
r0
v0;
p
c12
M
G;
e
1
p
r0;
T1
50
24
3600;
k
0;
For
F
0,
F
c1
T1
p2,k
1
k
h;
F
F
h
1
e
Cos
1
2;
r
p
1
2;
e
Cos
1
;
c1
r
v
r;
h,
"
",
k1,
"
",
1,
"
",
r,
"
",
"
",v,"
"
;
计算得到数据
h
n
1
r
角速度
v
0.05
75
3.75
4.74679*10^1
1.20416*10^-
57158.8
0
6
0.01
378
3.78
4.76145*10^1
1.19675*10^-
56982.7
0
6
0.005
757
3.785
4.76396*10^1
1.19549*10^-
56952.7
0
6
0.001
3790
3.79
4.76649*10^1
1.19422*10^-
56922.4
0
6
标准文档
实用文案
0.0005
7580
3.79
4.76649*10^1
1.19422*10^-
56922.4
0
6
0.0001
37905
3.7905
4.76675*10^1
1.19409*10^-
56919.4
0
6
0.00005
75811
3.79055
4.76677*10^1
1.19408*10^-
56919.1
0
6
0.00001
379060
3.7906
4.76680*10^1
1.19407*10^-
56918.8
0
6
利用梯形法计算此积分并代入水星数据,得
Clear
r0,
v0,
h,
c1,
p,e,
F,
T1,
k,
1,
2,
r,
v
;
h
0.05;
r0
0.6982
1011;
v0
3.886
104;
M
1.989
1030;
G
6.672
10
11;
c1
r0
v0;
p
c12
M
G;
e
1p
r0;
T1
50
24
3600;
k
0;
For
F
0,
F
c1
T1
p2,k
1
k
h;
2
k
1
h;
F
F
h
2
1
e
Cos
1
2
1
e
Cos
2
2
;
r
p
1
e
Cos
2
;
c1
r
2;
v
r;
h,
"
",
k
1,
"
",
2,
"
",
r,
"
",
"
",v,"
";
计算得到数据:
hnr角速度v
1
标准文档
实用文案
0.05
75
3.8
4.77162*10^1
1.19166*10^-
56861.3
0
6
0.01
379
3.8
4.77162*10^1
1.19166*10^-
56861.3
0
6
0.005
758
3.795
4.76905*10^1
1.19294*10^-
56892.0
0
6
0.001
3790
3.791
4.76700*10^1
1.19397*10^-
56916.4
0
6
0.0005
7581
3.791
4.76700*10^1
1.19397*10^-
56916.4
0
6
0.0001
37906
3.7907
4.76685*10^1
1.19404*10^-
56918.2
0
6
0.00005
75812
3.79065
4.76682*10^1
1.19405*10^-
56918.5
0
6
0.00001
379061
3.79062
4.76681*10^1
1.19406*10^-
56918.7
0
6
用Simpson法计算,并代入水星数据
Clear
r0,
v0,
G,
M,
h,
c1,
p,
e,
F,
T1,
k,
1,
2,
3,
r,
v;
h
0.0001;
1011;
r0
0.6982
v0
3.886
104;
M
1.989
1030;
G
6.672
1011;
c1
r0
v0;
p
2
M
G;
c1
e
1
p
r0;
T1
50
24
3600;
k
0;
For
F
0,
F
c1
T1
p2,k
1
k
h;
2
k
0.5
h;
3
k1
h;
FF
h
6
1
e
Cos
1
2
4
1
e
Cos
2
2
1
e
Cos
3
2
;
r
p
1
e
Cos
2
;
c1
r2;
v
r;
h,
"
",
k
1,
"
",
2,
"
",
r,
"
",
"
",
v,
"
";
计算得到数据:
标准文档
实用文案
h
n
1
r
角速度
v
0.05
75
3.775
4.75896*10^1
1.19801*10^-
57012.6
0
6
0.01
379
3.795
4.76905*10^1
1.19294*10^-
56892.0
0
6
0.005
758
3.7925
4.76777*10^1
1.19358*10^-
56907.2
0
6
0.001
3790
3.7905
4.76675*10^1
1.19409*10^-
56919.4
0
6
0.0005
7581
3.79075
4.76688*10^1
1.19403*10^-
56917.9
0
6
0.0001
37906
3.79065
4.76682*10^1
1.19405*10^-
56918.5
0
6
0.00005
75812
3.79063
4.76681*10^1
1.19406*10^-
56918.7
0
6
0.00001
379061
3.79062
4.76681*10^1
1.19406*10^-
56918.7
0
6
从上面计算得到的数据进行比较可以明显看出,矩形法在所取步长下未得道精确数据,梯形法在步长为0.00001时得到精确数据,而Simpson法在步长为0.00005就得到了精确数据。
显然,梯形法比矩形法精确,Simpson法又比梯形法精确,而我们随后将要用的Runge-Kutte法则比Simpson法更精确。
分别利用矩形法,梯形法,Simpson法计算此积分,并带入冥王星数据
得到数据:
矩形法
h
n
1
r
角速度
v
0.05
12
0.6
7.04384*10^12
5.47844*10^-1
3858.93
0
0.01
64
0.64
6.99164*10^12
5.56056*10^-1
3887.74
0
0.005
128
0.64
6.99164*10^12
5.56056*10^-1
3887.74
0
0.001
643
0.643
6.98764*10^12
5.56693*10^-1
3889.97
0
0.0005
1287
0.6435
6.98697*10^12
5.56799*10^-1
3890.34
标准文档
实用文案
0
0.0001
6435
0.6435
6.98697*10^12
5.56799*10^-1
3890.34
0
0.00005
12871
0.64355
6.98690*10^12
5.56810*10^-1
3890.38
0
0.00001
64359
0.64359
6.986685*10^1
5.56818*10^-1
3890.41
2
0
梯形法
h
n
1
r
角速度
v
0.05
12
0.6
7.04384*10^1
5.47844*10^-1
3858.93
2
0
0.01
64
0.64
6.99164*10^1
5.56056*10^-1
3887.74
2
0
0.005
128
0.64
6.99164*10^1
5.56056*10^-1
3887.74
2
0
0.001
643
0.643
6.98764*10^1
5.56693*10^-1
3889.97
2
0
0.0005
1287
0.6435
6.98697*10^1
5.56799*10^-1
3890.34
2
0
0.0001
6435
0.6435
6.98697*10^1
5.56799*10^-1
3890.34
2
0
0.00005
12871
0.64355
6.98690*10^1
5.56810*10^-1
3890.38
2
0
0.00001
64359
0.64359
6.98685*10^1
5.56818*10^-1
3890.41
2
0
Simpson法
h
n
1
r
角速度
v
0.05
12
0.65
6.97826*10^1
5.58190*10^-1
3895.19
2
0
0.01
64
0.65
6.97826*10^1
5.58190*10^-1
3895.19
2
0
0.005
128
0.645
6.98497*10^1
5.57119*10^-1
3891.46
2
0
0.001
643
0.644
6.98630*10^1
5.56905*10^-1
3890.71
2
0
0.0005
1287
0.644
6.98630*10^1
5.56905*10^-1
3890.71
2
0
0.0001
6435
0.6436
6.98684*10^1
5.56820*10^-1
3890.41
标准文档
实用文案
2
0
0.00005
12871
0.6436
6.98684*10^1
5.56820*10^-1
3890.41
2
0
0.00001
64359
0.6436
6.98684*10^1
5.56820*10^-1
3890.41
2
0
2.水星到太阳的最远距离为0.6982*1011m,此时水星绕太阳运行的线速度为
3.886*104m/s,试求:
1)水星到太阳的最近距离;
2)水星绕太阳运行的周期;
3)求从远日点开始的第50天(地球天)结束
时水星的位置。
解答:
1-基于压缩映射的求根方法
首先,回到水星的轨道曲线,我们引进轨道椭圆的参
p
数方程求解。
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