数学新题分类汇编三角函数高考真题+模拟新题.docx
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数学新题分类汇编三角函数高考真题+模拟新题
三角函数(高考真题+模拟新题)
课标理数10.C1[2011·江西卷]如图1,一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动,M和N是小圆的一条固定直径的两个端点.那么,当小圆这样滚过大圆内壁的一周.点M,N在大圆内所绘出的图形大致是( )
图1
图2
课标理数10.C1[2011·江西卷]A 【解析】如图,建立直角坐标系,由题意可知,小圆O1总与大圆O相内切,且小圆O1总经过大圆的圆心O.
设某时刻两圆相切于点A,此时动点M所处位置为点M′,则大圆圆弧与小圆圆弧相等.
以切点A在劣弧上运动为例,记直线OM与此时
小圆O1的交点为M1,记∠AOM=θ,则∠OM1O1=∠M1OO1=θ,故∠M1O1A=∠M1OO1+∠OM1O1=2θ.
大圆圆弧的长为l1=θ×1=θ,小圆圆弧的长为l2=2θ×=θ,即l1=l2,
∴小圆的两段圆弧与的长相等,故点M1与点M′重合,
即动点M在线段MO上运动,同理可知,此时点N在线段OB上运动.
点A在其他象限类似可得,M、N的轨迹为相互垂直的线段.
观察各选项,只有选项A符合.故选A.
课标文数14.C1[2011·江西卷]已知角θ的顶点为坐标原点,始边为x轴的正半轴,若P(4,y)是角θ终边上一点,且sinθ=-,则y=________.
课标文数14.C1[2011·江西卷]-8 【解析】r==,
∵sinθ=-,∴sinθ===-,解得y=-8.
课标理数5.C1,C6[2011·课标全国卷]已知角θ的顶点与原点重合,始边与x轴的正半轴重合,终边在直线y=2x上,则cos2θ=( )
A.-B.-C.D.
课标理数5.C1,C6[2011·课标全国卷]B 【解析】解法1:
在角θ终边上任取一点P(a,2a)(a≠0),则r2=2=a2+(2a)2=5a2,
∴cos2θ==,∴cos2θ=2cos2θ-1=-1=-.
解法2:
tanθ==2,cos2θ===-.
课标文数7.C1,C6[2011·课标全国卷]已知角θ的顶点与原点重合,始边与x轴的正半轴重合,终边在直线y=2x上,则cos2θ=( )
A.-B.-
C.D.
课标文数7.C1,C6[2011·课标全国卷]B 【解析】解法1:
在角θ终边上任取一点P(a,2a)(a≠0),则r2=2=a2+(2a)2=5a2,
∴cos2θ==,∴cos2θ=2cos2θ-1=-1=-.
解法2:
tanθ==2,cos2θ===-.
大纲文数14.C2[2011·全国卷]已知α∈,tanα=2,则cosα=________.
大纲文数14.C2[2011·全国卷]- 【解析】∵tanα=2,∴sinα=2cosα,代入sin2α+cos2α=1得cos2α=,又α∈,∴cosα=-.
课标文数9.C2,C6[2011·福建卷]若α∈,且sin2α+cos2α=,则tanα的值等于( )
A.B.C.D.
课标文数9.C2,C6[2011·福建卷]D 【解析】因为sin2α+cos2α=sin2α+1-2sin2α=1-sin2α=cos2α,
∴cos2α=,sin2α=1-cos2α=,
∵α∈,
∴cosα=,sinα=,tanα==,故选D.
大纲文数12.C2[2011·重庆卷]若cosα=-,且α∈,则tanα=________.
大纲文数12.C2[2011·重庆卷] 【解析】∵cosα=-,且α∈,
∴sinα=-=-,
∴tanα==.
课标理数15.C3,C5[2011·北京卷]已知函数f(x)=4cosxsin-1.
(1)求f(x)
的最小正周期;
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.
课标理数15.C3,C5[2011·北京卷]【解答】
(1)因为f(x)=4cosxsin-1
=4cosx-1
=sin2x+2cos2x-1
=sin2x+cos2x
=2sin,
所以f(x)的最小正周期为π.
(2)因为-≤x≤,所以-≤2x+≤.
于是,当2x+=,即x=时,f(x)取得最大值2;
当2x+=-,即x=-时,f(x)取得最小值-1.
课标文数15.C3,C5[2011·北京卷]已知函数f(x)=4cosxsin-1.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.
课标文数15.C3,C5[2011·北京卷]【解答】
(1)因为f(x)=4cosxsin-1
=4cosx-1
=sin2x+2cos2x-1
=sin2x+cos2x
=2sin.
所以f(x)的最小正周期为π.
(2)因为-≤x≤,所以-≤2x+≤.
于是,当2x+=,即x=时,f(x)取得最大值2;当2x+=-,即x=-时,f(x)取得最小值-1.
课标理数3.C2,C6[2011·福建卷]若tanα=3,则的值等于( )
A.2B.3C.4D.6
课标理数3.C2,C6[2011·福建卷]D 【解析】因为
===2tanα=6,故选D.
课标理数11.C4,C5[2011·课标全国卷]设函数f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)的最小正周期为π,且f(-x)=f(x),则( )
A.f(x)在单调递减
B.f(x)在单调递减
C.f(x)在单调递增
D.f(x)在单调递增
课标理数11.C4,C5[2011·课标全国卷]A 【解析】原式可化简为f(x)=sin,因为f(x)的最小正周期T==π,
所以ω=2.
所以f(x)=sin,
又因为f(-x)=f(x),所以函数f(x)为偶函数,
所以f(x)=sin=±cos2x,
所以φ+=+kπ,k∈Z,
所以φ=+kπ,k∈Z,
又因为<,所以φ=.
所以f(x)=sin=cos2x,
所以f(x)=cos2x在区间上单调递减.
课标文数12.C3[2011·辽宁卷]已知函数f(x)=Atan(ωx+φ),y=f(x)的部分图象如图1-7,则f=( )
图1-7
A.2+B.
C.D.2-
课标文数12.C3[2011·辽宁卷]B 【解析】由图象知=2×=,ω=2.又由于2×+φ=kπ+(k∈Z),φ=kπ+(k∈Z),又|φ|<,所以φ=.这时f(x)=Atan.又图象过(0,1),代入得A=1,故f(x)=tan.所以f=tan=,故选B.
课标文数15.C4[2011·安徽卷]设f(x)=asin2x+bcos2x,其中a,b∈R,ab≠0.若f(x)≤对一切x∈R恒成立,则
①f=0;
②<;
③f(x)既不是奇函数也不是偶函数;
④f(x)的单调递增区间是(k∈Z).
⑤存在经过点(a,b)的直线与函数f(x)的图像不相交.
以上结论正确的是________(写出所有正确结论的编号).
课标文数15.C4[2011·安徽卷]【答案】①③
【解析】f(x)=asin2x+bcos2x=sin(2x+φ),因为对一切x∈R时,f(x)≤恒成立,所以sin=±1.
故φ=2kπ+或φ=2kπ-.
故f(x)=sin,
或f(x)=-sin.
对于①,f=sin2π=0,或f=-sin2π=0,故①正确;
对于②,===sin,
==
=sin.所以=,故②错误;
对于③,由解析式f(x)=sin,或f(x)=-sin知其既不是奇函数也不是偶函数,故③正确;
对于④,当f(x)=sin时,(k∈Z)是f(x)的单调递减区间,故④错误;
对于⑤,要使经过点(a,b)的直线与函数f(x)的图像不相交,则此直线须与横轴平行,且|b|>,此时平方得b2>a2+b2,这不可能,矛盾,故不存在过点(a,b)的直线与函数f(x)的图像不相交.故⑤错.
课标理数9.C4[2011·安徽卷]已知函数f(x)=sin(2x+φ),其中φ为实数,若f(x)≤对x∈R恒成立,且f>f(π),则f(x)的单调递增区间是( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
课标理数9.C4[2011·安徽卷]C 【解析】对x∈R时,f(x)≤恒成立,所以f=sin=±1,可得φ=2kπ+或φ=2kπ-,k∈Z.
因为f=sin(π+φ)=-sinφ>f(π)=sin(2π+φ)=sinφ,故sinφ<0.所以φ=2kπ-,所以f(x)=sin.
由-+2kπ≤2x-≤+2kπ,得函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z),答案为C.
大纲理数5.C4[2011·全国卷]设函数f(x)=cosωx(ω>0),将y=f(x)的图像向右平移个单位长度后,所得的图像与原图像重合,则ω的最小值等于( )
A.B.3
C.6D.9
大纲理数5.C4[2011·全国卷]C 【解析】将y=f(x)的图像向右平移个单位长度后得到的图像与原图像重合,则=k,k∈Z,得ω=6k,k∈Z,又ω>0,则ω的最小值等于6,故选C.
大纲文数7.C4[2011·全国卷]设函数f(x)=cosωx(ω>0),将y=f(x)的图像向右平移个单位长度后,所得的图像与原图像重合,则ω的最小值等于( )
A.B.3C.6D.9
大纲文数7.C4[2011·全国卷]C 【解析】将y=f(x)的图像向右平移个单位长度后得到的图像与原图像重合,则=k,k∈Z,得ω=6k,k∈Z,又ω>0,则ω的最小值等于6,故选C.
课标理数16.D3,C4[2011·福建卷]已知等比数列{an}的公比q=3,前3项和S3=.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若函数f(x)=Asin(2x+φ)(A>0,0<φ<π)在x=处取得最大值,且最大值为a3,求函数f(x)的解析式.
课标数学16.D3,C4[2011·福建卷]【解答】
(1)由q=3,S3=得=,解得a1=.
所以an=×3n-1=3n-2.
(2)由
(1)可知an=3n-2,所以a3=3.
因为函数f(x)的最大值为3,所以A=3;
因为当x=时f(x)取得最大值,
所以sin=1.
又0<φ<π,故φ=.
所以函数f(x)的解析式为f(x)=3sin.
课标理数3.C4[2011·湖北卷]已知函数f(x)=sinx-cosx,x∈R,若f(x)≥1,则x的取值范围为( )
A.
B.
C.
D.
课标理数3.C4[2011·湖北卷]B 【解析】因为f(x)=sinx-cosx=2sinx-,由f(x)≥1,得2sinx-≥1,即sinx-≥,所以+2kπ≤x-≤+2kπ,k∈Z,解得+2kπ≤x≤π+2kπ,k∈Z.
课标文数6.C4[2011·湖北卷]已知函数f(x)=sinx-cosx,x∈R.若f(x)≥1,则x的取值范围为( )
A.
B.
C.
D.
课标文数6.C4[2011·湖北卷]A 【解析】因为f(x)=sinx-cosx=2sinx-,由f(x)≥1,得2sinx-≥1,即sinx-≥,所以+2kπ≤x-≤+2kπ,k∈Z,解得+2kπ≤x≤π+2kπ,k∈Z.
课标理数17.C8,C4[2011·湖南卷]在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足csinA=acosC.
(1)求角C的大小;
(2)求sinA-cos的最大值,并求取得最大值时角A,B的大小.
课标理数17.C8,C4[2011·湖南卷]【解答】
(1)由正弦定理得sinCsinA=sinAcosC.
因为00.
从而sinC=cosC.
又cosC≠0,所以tanC=1,则C=.
(2)由
(1)知,B=-A,于是
sinA-cos=sinA-cos(π-A)
=sinA+cosA=2sin.
因为0 综上所述,sinA-cos的最大值为2,此时A=,B=. 课标文数17.C8,C4[2011·湖南卷]在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足csinA=acosC. (1)求角C的大小; (2)求sinA-cos的最大值,并求取得最大值时角A,B的大小. 课标文数17.C8,C4[2011·湖南卷]【解答】 (1)由正弦定理得sinCsinA=sinAcosC. 因为00. 从而sinC=cosC. 又cosC≠0,所以tanC=1,则C=. (2)由 (1)知,B=-A,于是 sinA-cos=sinA-cos(π-A) =sinA+cosA=2sin.
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