等角定理教学设计.docx
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等角定理教学设计
等角定理教学设计
教材版本:
北京师范大学出版社高中数学必修二
科目:
高一数学
上课章节:
第一章第4节第二课时
上课内容:
等角定理
任课教师姓名:
聂德菊
任教学校:
安康高新中学
《等角定理》教学设计
一.教学内容分析
本文所讲的等角定理是初中平面几何等角定理的延续和推广,也是高中立体几何部分的基本定理和准备知识,具有很强的实用性,在课改中被保留下来。
但是对定理内容的描述稍有改动,修改后的优点一是对“角方向相同”这个模糊概念的回避,优点二是强调在“两个角的两边分别对应平行”这个前提下,结论是不唯一的。
教学过程中,可通过动画展示、实物模拟等手段来调动学生的好奇心和求知欲,通过探索发现、类比推广与归纳总结,培养学生提出问题—分析问题—解决问题的能力。
二.学生学习情况分析
通过初中平面几何的学习,学生对几何问题的研究方法已经初步掌握,但是学生的思维往往局限在“平面”,导致考虑问题不全面,也就是说从“平面”到“空间”是一个非常大的跨越,学生往往会不适应,课堂上应注意引导。
教学过程中,还应经常把“平面几何”中的结论和“立体几何”中的结论进行对照,时刻提醒学生“平面几何”与“立体几何”的异同。
等角定理是立体几何中的第一个定理,如果善于使用多种教学手段,并且理论与实践相结合,定能激起学生的学习兴趣。
三.设计思想
本课采用实验探究、自主学习、合作交流、类比推广的研究性学习方式,重点放在定理的探究形成和定理的应用上,努力挖掘定理数学中蕴涵的思维价值,从实际出发,引入数学课题,最后把所学知识应用于实际问题。
四.教学目标
1.知识与技能:
(1)引导学生发现等角定理,重视探索过程;
(2)把等角定理稍作“修改”,从而引出异面直线所成的角;
(3)运用等角定理和异面直线所成的角等有关知识,解决和计算、证明有关的实际问题。
2.过程与方法:
让学生从已知的知识经验出发,通过对平面几何中等角定理的复习和动画演示,归纳总结出立体几何等角定理的内容,然后在等角定理中,把“平移一角”改为“平移一边”,从而引出异面直线所成的角的概念。
引导学生通过观察、猜想、比较归纳等角定理,由此培养学生合情推理探索数学规律的数学思维能力。
3.情感、态度与价值观:
(1)通过对等角定理和异面直线所成的角的探究学习,经历数学探究活动的过程,体会认识事物的规律,培养探索精神和创新意识;
(2)通过学习和运用实践,体会数学的科学价值和应用价值,学习用数学的思维方式解决问题、认识世界,进而领会数学的人文价值、美学价值,不断提高自身的文化修养,初步树立事物之间的普遍联系与辩证统一的辩证唯物主义观点。
五.教学重点与难点
本节课的重点是等角定理和异面直线所成的角的探索;难点是用等角定理和异面直线所成的角等知识解决实际问题。
六.教学过程
自
主
学
习
学生认真阅读课本,学会以下内容:
公理1:
如果一条直线上的两个点在一个平面内,那么这条直线上的所有点都在这个平面内(即直线在平面内).
公理2:
经过不在同一条直线上的三个点,有且只有一个平面(即确定一个平面).
公理3:
如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.
公理4:
平行于同一直线的两条直线平行.
学生自己能够解决的问题,一定要放心地让学生自己去解决,老师不能代劳,培养学生独立解决问题的能力。
引
领
探
究
【探究一】等角定理
问题1.观察下图,思考在平面几何中,等角定理的内容是什么?
学生回答:
平面中,如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.
问题2.在上图中,哪个角和∠AOB相等?
哪个角和∠AOB互补?
学生回答:
∠AOB=∠A’O’B’,∠AOB+∠A’O’C’=180o(用式子表示).
问题3.通过观察脚手架的升降(点击这里观察动画),思考这个定理在空间成立不成立?
学生回答:
成立.
问题4.如何把平面几何中的等角定理改为立体几何中的等角定理?
研究成果:
空间中,如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.(填定理内容).
问题5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,根据等角定理,找出两对相等的角和两对互补的角.
学生回答:
∠AOB=∠A1O1B1,∠ACB=∠A1C1B1,∠AOB+∠B1O1C1=180o,∠AOD+∠D1O1C1=180o。
【探究二】异面直线所成的角
问题6.由上面的动画可知,平移一个角,角的大小不变!
试问,如果平移锐角的一个边,使其成异面直线,角的大小会不会改变?
学生回答:
不会.
问题7.由此受到启发,思考什么是异面直线a、b所成的角?
学生回答:
过空间任意一点O分别作异面直线a,b的平行直线a’,b’,这两条相交直线所成的锐角(或直角)就是异面直线a,b所成的角.
问题8.类比两条相交直线垂直的定义,思考什么叫两条异面直线垂直?
学生回答:
如果两条异面直线所成的角是直角,我们就说这两条异面直线互相垂直,记作a⊥b.
问题9.两条异面直线所成角的取值范围是什么?
学生回答:
(0o,90o].
问题10.在问题5的图中,找出两对异面垂直的直线.
学生回答:
AB⊥B1C1,AC⊥B1D1.
【探究三】
例.已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的四边AB、BC、CD、DA的中点,求证四边形EFGH是平行四边形。
证明:
连接AC、BD,
易知EH是△ABD的中位线,
∴EH∥BD,
同理FG∥BD,
∴EH∥FG,
∴EFGH是平行四边形。
追问1.对角线AC、BD满足什么条件时,EFGH是矩形?
学生回答:
AC⊥BD.
追问2.对角线AC、BD满足什么条件时,EFGH是菱形?
学生回答:
AC=BD.
追问3.对角线AC、BD满足什么条件时,EFGH是正方形?
学生回答:
AC⊥BD且AC=BD.
通过实物模型展示,让学生复习平面几何的等角定理,为下一步引出立体几何的等角定理打下基础。
通过动画展示,很容易地把平面几何和等角定理推广成立体几何的等角定理。
通过问题5,让学生初步了解等角定理的应用。
把等角定理中的“平移一角”变为“平移一边”,很容易引出异面直线所成的角。
紧接着,引导学生总结异面垂直的概念和异面直线所成的角取值范围。
本题考察的是公理4,异面直线所成的角,平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定等知识,初步培养学生的逻辑思维和变通能力.
训
练
检
测
课后训练检测设计(分基础、运用、拓展、提高类,渗透中、高考考点)
1.已知AB//PQ,BC//QR,∠ABC=30o,则∠PQR等于(C)
A.30oB.150oC.30o或150oD.以上结论都不对
2.如右图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是底面ABCD的中心,则
AB与CC1所成的角_90o_;
BC与AD1所成的角_45o_;
DC1与CB1所成的角_60o_;
AD1与C1O所成的角_30o_。
3.如右图,已知AA1、BB1、CC1不共面,并且AA1//BB1,AA1=BB1,BB1//CC1,BB1=CC1.求证ABC≌A1B1C1.
提示:
由已知可证四边形ABB1A1和BCC1B1都是平行四边形,从而可证AB//A1B1,AB=A1B1,BC//B1C1,BC=B1C1,再由等角定理证出∠ABC=∠A1B1C1,再SAS定理即可证明ABC≌A1B1C1.
思考:
还有没有其它方法?
通过3个简单的检测题,了解学生对本节课内容的掌握情况,如果掌握情况不好,要及时补救.大题要求逻辑清晰,条理分明,书写工整!
板书设计
总结升
华
七.教学反思
本节课有两个重点内容:
一个是等角定理,一个是异面直线所成的角.等角定理的探讨,是把平面几何的等角定理,通过动画演示,直接推广成空间几何的等角定理,过渡自然,学生容易接受;探讨完等角定理后,把等角定理中的“平移一角”变为“平移一边”,很容易引出异面直线所成的角.在这两个重点问题中,学生思维活跃,发言积极,教学效果较好.由于时间的限制,综合性的问题没有在本节课中出现,这也是下一节课需要解决的问题。
八年级上册数学科导学案
学生:
洪伟腾
课题名称
等边三角形
时间
___11月2日
课型
复习
课时
3
主备人
王瑞
审核人
教学目标:
掌握等边三角形的定义、性质和判定并会应用
教学重点:
等边三角形的性质和判定
教学难点:
等边三角形的性质和判定的应用
本章知识网络:
知识点:
1.三条边都相等的三角形叫做等边三角形,也叫做正三角形.
2.等边三角形的性质:
等边三角形的三个内角都相等,并且每一个内角都等于60°
3.等边三角形的判定方法:
(1)三条边都相等的三角形是等边三角形;
(2)三个角都相等的三角形是等边三角形;
(3)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
4.在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.
【典型例题讲练】
重点例题:
例题1.如图,△ABC中,D在BC延长线上,且AC=CD,CE是△ACD的中线,CF平分∠ACB,交AB于F,求证:
(1)CE⊥CF;
(2)CF∥AD.
例题2.如图:
Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=22.5°,DC=BC,DE⊥AB.求证:
AE=BE.
例题3.已知D、E分别是等边△ABC中AB、AC上的点,且AE=BD,求BE与CD的夹角是多少度?
例题4.如图,△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AD⊥AC交BC于点D,
求证:
BC=3AD.
例题5.如图,已知点B、C、D在同一条直线上,△ABC和△CDE都是等边三角形.BE交AC于F,AD交CE于H,
①求证:
△BCE≌△ACD;
②求证:
CF=CH;
③判断△CFH的形状并说明理由.
易错点例题:
例:
如图,△ABC是边长为1的等边三角形,BD=CD,∠BDC=120°,E、F分别在AB、AC上,且∠EDF=60°,求△AEF的周长.
分析:
由∠BDC=120°和∠EDF=60°得到∠BDE+∠CDF=60°,从而想到把这两个角拼在一起构造全等三角形,即延长AC至点P,使CP=BE,证明△BDE≌CDP,然后证明△DEF≌△DPF,得到EF=PF,从而把△AEF的周长转化为用△ABC的边长表示.
解:
延长AC至点P,使CP=BE,连接PD.
∵△ABC是等边三角形
∴∠ABC=∠ACB=60°
∵BD=CD,∠BDC=120°
∴∠DBC=∠DCB=30°∴∠EBD=∠DCF=90°
∴∠DCP=∠DBE=90°
在△BDE和△CDP中
∴△BDE≌△CDP(SAS)
∴DE=DP,∠BDE=∠CDP
∵∠BDC=120°,∠EDF=60°
∴∠BDE+∠CDF=60°∴∠CDP+∠CDF=60°
∴∠EDF=∠PDF=60°
在△DEF≌△DPF中
∴△DEF≌△DPF(SAS)∴EF=FP∴EF=FC+BE
∴△AEF的周长=AE+EF+AF=AB+AC=2
考点例题:
例题1.如图14-45,在等边ΔABC中,O是三个内角平分线的交点,OD∥AB,OE∥AC,则图中等腰三角形的个数是。
例题2.如图14-46,ΔABC是等边三角形,D为BA的中点,DE⊥AC,垂足为点E,EFAB,AE=1,则AD=,ΔEFC的周长=。
例题3.如图14-47,在等边ΔABC中,AE=CD,BGAD,求证:
BP=2PG。
例题4.如图14-48,已知等边ΔABC的ABC、ACB的平分线交于O点,若BC上的点E、F分别在OB、OC垂直平分线上,试说明EF与AB的关系,并加以证明。
例题5.如图14-49,C是线段AB上的一点,ΔACD和ΔBCE是两个等边三角形,点D、E在AB同旁,AE交CD于点G,BD交CE于点H,求证:
GH∥AB。
例题6.如图14-50,已知ABC是等边三角形,E是AC延长线上一点,选择一点D使得ΔCDE是等边三角形,如果M是线段AD的中点,N是线段BE的中点,求证:
ΔCMN是等边三角形。
课堂练习:
(时长:
20分钟,等级:
。
)
1.如图,△ABC是等边三角形,BD是AC边上的中线,延长BC到E使CE=CD,试判断△BDE的形状.
2.如图,C为线段AE上一动点(不与点A,E重合),在AE同侧分别作
正三角形ABC和正三角形CDE、AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,
BE与CD交于点Q,连结PQ.以下五个结论:
①AD=BE;②PQ∥AE;③AP=BQ;
④∠AOB=60°;⑤若M,N分别是AD,BE的中点,则△MCN为等边三角形;
连接OC,则∠AOC=∠EOC.恒成立的结论有_______________________(把你认为正确的序号都填上)。
3.如图,已知点C是AB上一点,ΔACM、ΔCBN都是等边三角形.
(1)说明AN=MB.
(2)将ΔACM绕点C按逆时针旋转180°,使A点落在CB上,请对照原题图画出符合要求的图形.
(3)在
(2)所得到的图形中,结论“AN=BM”是否成立?
若成立,请说明理由;若不成立,说明理由.
4.如图1,△ABC是正三角形,△BDC是等腰三角形,BD=CD,∠BDC=1200,以D为顶点作一个600角,角的两边分别交AB、AC边于M、N两点,连接MN.
(1)探究BM、MN、NC之间的关系,并说明理由.
(2)若△ABC的边长为2,求△AMN的周长.
(3)若点M、N分别是射线AB、CA上的点,其他条件不变,此时
(1)中的结论是否还成立,
在图2中画出图形,并说明理由.
课后巩固:
一、选择题
1.正△ABC的两条角平分线BD和CE交于点I,则∠BIC等于()
A.60°B.90°
C.120°D.150°
2.下列三角形:
①有两个角等于60°;②有一个角等于60°的等腰三角形;③三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的三角形;④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形.其中是等边三角形的有()
A.①②③B.①②④C.①③D.①②③④
3.如图,D、E、F分别是等边△ABC各边上的点,且AD=BE=CF,则△DEF的形状是()
A.等边三角形B.腰和底边不相等的等腰三角形
C.直角三角形D.不等边三角形
4.Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高,∠B=30°,AD=2cm,则AB的长度是()
A.2cmB.4cmC.8cmD.16cm
5.如图,E是等边△ABC中AC边上的点,∠1=∠2,BE=CD,则对△ADE的形状最准备的判断是()
A.等腰三角形B.等边三角形
C.不等边三角形D.不能确定形状
二、填空题
6.△ABC中,AB=AC,∠A=∠C,则∠B=_______.
7.已知AD是等边△ABC的高,BE是AC边的中线,AD与BE交于点F,则∠AFE=______.
8.等边三角形是轴对称图形,它有______条对称轴,分别是_____________.
9.△ABC中,∠B=∠C=15°,AB=2cm,CD⊥AB交BA的延长线于点D,则CD的长度是_______.
三、解答题
10.已知D、E分别是等边△ABC中AB、AC上的点,且AE=BD,求BE与CD的夹角是多少度?
11.如图,△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AD⊥AC交BC于点D,
求证:
BC=3AD.
12.如图,已知点B、C、D在同一条直线上,△ABC和△CDE都是等边三角形.BE交AC于F,AD交CE于H,
①求证:
△BCE≌△ACD;
②求证:
CF=CH;
③判断△CFH的形状并说明理由.
13.如图,点E是等边△ABC内一点,且EA=EB,△ABC外一点D满足BD=AC,且BE平分∠DBC,求∠BDE的度数.(提示:
连接CE)
答案:
一、1.C2.D3.A4.C5.B
二、6.60°7.60°8.三;三边的垂直平分线9.1cm
三、10.60°或120°
11.∵AB=AC,∠BAC=120°,
∴∠B=∠C=30°,
∴在Rt△ADC中CD=2AD,
∵∠BAC=120°,∴∠BAD=120°-90°=30°,
∴∠B=∠BAD,∴AD=BD,∴BC=3AD
12.①∵∠ACB=∠DCE=60°,
∴∠BCE=∠ACD.
又∵BC=AC,CE=CD,
∴△BCE≌△ACD;
②证明△BCF≌△ACH;
③△CFH是等边三角形.
13.连接CE,先证明△BCE≌△ACE得到∠BCE=∠ACE=30°,
再证明△BDE≌△BCE得到∠BDE=∠BCE=30°
信息反馈:
学生今日表现:
老师寄语:
本周最有意义的一件事:
家长意见:
家长签字:
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