定积分的证明题.docx
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定积分的证明题
题目1证明题容易
dX
证明(x-t)f(t)dt=f(x)-f(a)dxJa
解答_
X
a(x-t)f(t)dt
X
=[(X—t)df(t)
XX
=(X一t)f(t)a+[f(t)dt
X
=(^-X)f(a)+[f(t)dt
dX
^Xa(X-t)f(t)dt
--f(a)f(x)
f(x)-f(a)。
题目2证明题容易
利用积分中值定理证明
解答
π
:
Ijm4SinnXdX二0n00
由积分中值定理,在[0,…]上存在点',使
4
Iim4SinnXdX=IimSinn(0)G三[0,]
n》:
:
0n匚44
IimSinn
4J0
Q0.sin:
:
1
.IimSinn=0
n_O
π
.Iim4SinnXdX=0。
—00题目3证明题一般
b
设函数f(x)在[a,b]内可导,且f(a)=0,f(x)dx=0
-a
证明:
在[a,b]内至少存在一点•使f「)=0。
解答_
由积分中值定理,在(a,b)存在一点'1,使
b
[f(x)dx=f(:
1)(b-a)=0
f
(1)=0
在区间[a,1]上,应用罗尔定理,可知存
在一点二(a,'1)(a,b)使f(J=0b
题目4证明题一般
设f(x)=f(x+a),
naa
证明:
当n为正整数时0f(x)dx=n.°f(x)dx
解答
naa2ana
证明:
f(x)dx=f(x)dxf(x)dxf(x)dx
=0=0^a=(n丄)a
f(x)=f(xa)
2aaaa
af(x)dxx=ya0f(ya)dy=0f(y)dy=Of(x)dx
3aaa
2af(x)dxx=y2aOf(y2a)dy=0f(ya)dy
aa
=.0f(y)dy=0f(x)dx
naa
(n仆f(x)dxx=y(n-1)aOf(y(n—1)a)dy
a
=0f(y)dy
a
0f(x)dx
naa
.0f(x)dx=n0f(x)dx°
题目5证明题一般
11证明:
Xm(I-X)ndxXn(I-X)mdxo
解答_
证:
令X=1-t贝UdX=-d且X=0时,t=1
X=1时,t=0
1
•0xm(1-x)ndx
0
=.1(1-t)mt(dt)
1
=0tn(1-t)mdt
1
=J0χn(1-x)mdx
题目6证明题一般
设f(x)在[a,b]上有定义,且对[a,b]上任意两点x,y,
b1
af(x)dx-(b-a)f(a)兰;(b-a)
有f(x)-f(y)_X-y.则f(x)在[a,b]上可积,且
1
解答
证明:
∖∕xE(a,b)因为∆y=|f(x+&)-f(x)≤A*
.IimLy=O
.f(x)在[a,b]上连续,于是f(X)在[a,b]上可积.又由题设知If(X)—f(a)
(b-a)2
2
-1(b-a)2。
2
a:
∙x:
b
解答_
证明:
由假设并利用微分中值定理,有
f(X)=f(X)-f(a)=(x-a)f(1
f(x)=f(x)-f(b)=(x-b)f
(2)又由M=SUPf(X)故f(i)EM.ia:
XIb
取绝对值,有f(X)_(x-a)M
f(x)_(b-x)M
a-ba-b
即f(a)-(x-a)Ef(X)Ef(a)(x-a)由定积分的不等性质,有 b [[f(a)—(x—a)]dx b af(x)dx b a[f(a)(X-a)]dx- b af(x)dx-(b-a)f(a) ”: (b-a)2 _2 b 几[f(x)dx-(b-a)f(a) 题目7证明题一般 设f(x)在[a,b]上的连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=0. 、b2 证明: 4ILf(x)dx兰M(b—a),其中M=SUPf"(x) Ia_L- 1(a,x) 2(x,b) =1,2 If2∣f(x)dx≤MIa2(x—a)dx=M(b—a) bbM2 abf(x)dx乞Mab(b-x)dx(b-a) 228 两式相加,有 f∣f(x)dx兰M(b—a)2。 a4 题目8证明题一般 设f(x)在[a,b]上正值,连续,则在(a,b)内至少存在一点 匚b1b 使af(x)dx=f(x)dxf(x)dx 解答 Xb 证: 令F(X)=f(t)dt-f(t)dt UaJX 由于X[a,b]时,f(x)0 b -F(a)—af(t)dt: : : 0 b F(b)f(t)dt0 Va 由根的存在性定理,存在一点-(a,b)使 F()=0 已b 即[f(t)dt=%f(t)dt bEb 又Qaf(t)dt=af(x)dx.f(x)dx 巴b f(x)dx.f(x)dx a■ > =2f(x)dx a 从而原式成立。 题目9证明题一般 πJI 证明: 0<02Sinn*xdxcJ2sinnXdX。 解答_ 证明: 已知函数Sin连续•非负,且X0[0二],使 22 π Sinn41x°>0,由性质,有0Sinnd1xdxn0 又已知函数SinnX-Sinn*X=Sinnx(1-Sinx)在[0,工]连续非负, 2 且X0[0,2],使SinnX0-sinn1x。 =Sinnx°(1-Sinx°)0,由性质,有 解答 X(0,1)时,x2x3 ...4-χ2-χ3: : .4=2 又χ30 .4-X2-X3.4-X 111 2.4-χ2χ3.4-X 111 dχ= 022 1dχ_二 厂4>=6 11dχ二 。 20Lx2+χ36 题目11证明题一般 设f(x)在区间(a,b)上连续,且在(a,b)内任一闭区间上积分为零,证明f(x)在(a,b)内恒等于零。 解答_ 证明: 设x0∙(a,b),-X∙(a,b)。 令 X G(X)=xf(t)dt x0则由题设: •: 」(x)=0从而G(X)=O而"(X)=f(x) .f(x)≡0° 题目12证明题一般若函数f(X)在[0,1]上连续, a321a2 证明: 0Xf(x)dxXf(x)dx(a0)。 解答_ 21 证: 令X=t,则XdXdt,且x=0时,t=0 2 X=a时,t=a2 a3 0Xf(X)dx a21 =0tf(t)-dt 1a2 =2-0tf(t)dt a2 OXf(X)dx。 _1 2 题目13证明题一般 设函数f(x)和g(x)在[a,b]上连续, b2b2b2 证明: [af(x)g(x)dx] 解答 考虑以t为参数的定积分 b2 f[f(X)—tg(x)]dx 显然[f(x)-tg(x)]2_0.并由题设知它在[a,b]上连续, 故有[&f(x)-tg(x)]2dx_0 2b2bb2 即tag(X)dx—2t[f(x)g(x)dx+[f(x)dxK0 不等式左端是关于t的二次三项式,且对任意t,此二次式均非负.所以其判别式.■: <0 bbb 即[[f(χ)g(χ)dχ]2—[[f2(x)dx][[g2(χ)dχ]≤0 b2b2b2 -[af(x)g(x)dx]<[af(x)dx][ag(x)dx]o 题目14证明题一般 设f(x)在[0,1]上连续, ππ 证明: 02f(sin2)cos: d=04f(sin2)(cos「亠Sin: )d: 解答_ π 左式=『f(sin2®)cos®d® ππ =q4f(Sin2)cos: d「亠∣2∙f(sin2)cos: d: 4 在第二个积分中,令t,则2即房-2t,d即=-dt 2 π _2f(Sin2)cos: d: 4 0二 f(sin(二-2t))cos(t)d(-t) 42 π =∫04f(sin2t)sintdt π =∫04f(sin2cP)sincPdcP ππ .左式=o4f(Sin2JcosV亠14f(sin2Jsin: d: π 二O4f(sin2J(CoSiSin)d: =右式。 题目15证明题一般 设f(x)在[a,b]上可导,且f(x)EM,f(a)=0, bMC 证明: af(x)dx≤M(b—a)2o 解答证明: 由假设可知广X(a,b)f(x)在[a,x]上满足 微分中值定理,则 f(X)=f(x)一f(a) f()(x-a)(a,x) 又.f(x)二M,-χ=(a,b) .f(x)^M(x-a) 由定积分的比较定理,有 ff(x)dxι≡fM(x_a)dx=M(b_a)2。 题目16证明题一般 设f(x)在[Q2a],(a0)上连续, 2aa 证明: f(x)dx=j[f(x)f(2a-x)]dx。 解答_ 2aa2a 由于Of(x)dx=Of(X)dxaf(x)dx 令X=2a7,贝Udx=-dt 2aaa Of(x)dx=j0f(x)dx0f(2a-t)dt a 二0[f(X)f(2a-x)]dx。 题目17证明题一般 设k为正整数,证明: .π2 (1)CoSkxdx=■: ; -2 (2)Sinkxdx=二。 --JI 解答_ .π2 (1)coskxdx 二1cos2kxI dx -二2 =[1X+1Sin2kx]π 24k-TI ππ 七0)r°) (2)Sin2kxdx 二1-cos2kxI dx -二2 11兀 =[一X-—Sin2kx] 24k一兀 JIj[ 七-0)-(0) 22 =二。 题目18证明题一般 设f(x)在[0,1]上有一阶连续导数•且f (1)-f(0)=1. 试证: Jf(x)]dx亠1。 解答 证明: [f(X)_1]2=[f(X)]2_2f(X)1_0.[f(X)]2_2f(X)-1 121 [f(x)]2dx_2f(x)dx- 1 dx 1 -1 0 =2[f (1)-f(0)]-1 =1。 题目19证明题一般 若m为正整数, =2f(x) 证明: π 2m.m. cosXSInXdX0 π 2CoSmXdX。 解答 π "2m・m. 2cosXSinXdX0 _1 _2m π JSinm(2x)dx 1(t),则 22 左式1 2 ISinm(t-)dt 2 π m1.ICoSmtdt 三 π 2cosmtdt 0 π 2cosmXdX 1 =丄 2m =右式。 题目20证明题一般 若函数f(x)在区间[a,b]上连续, bb 贝Jaf(X)dx=(b—a)af[a(b-a)x]dx。 解答 作代换x=a∙(b-a)t,贝Udx=(b-a)dt且X=b时t=1 X=a时t=0 b .af(x)dx 1 =.°f[a(b-a)t](b-a)dt 解答 证: 显然f(COSX)是以二为周期的函数 二JOjrf(CoSX)dx Tr =20f(cosx)dx π =2[o2f(cosx)dx匚f(cosx)dx] "2 在后一积分中,令X-二-t则 津f(cosx)dx 2 O -f(cos(二-t))dt 2 =Of(cost)dt=O2f(cosx)dx 2-■ .∖「f(cosx)dx ππ =2[o2f(cosx)dxo2f(cosx)dx] π JI 得证J2f( LOX 题目22证明题 =4『f(cosx)dx cosx)dx=4Pf(cosx)d 一般 X 若函数f(x)在R连续,且f(χ)f(t)dt,则f(x)三O 卜a 解答_ f(x)在R连续 .f(x)在R可导 X1 且-XR有f(X)=(f(t)dt)1=f(x) La f(X^f(X)=O 考虑函数p(x)=f(x)e*.-χ∙R P(X)=f(x)e-f(x)e」=[f(x)-f(x)]e»=O-P(X)=c(常数) a 已知f(a)=f(t)dt=O a ■f(a)=CeX=O c=O ■f(x)=O-xR。 题目23证明题一般 设f(x)是以兀为周期的连续函数, 2TTTr 证明: 0(Sinxx)f(x)dx=O(2x二)f(x)dx。 证明: 由于 2 O(Sinxx)f(x)dx π2π (Sinxx)f(x)dx(Sintt)f(t)dt 0 令tx,则 2二 (Sintt)f(t)dt π =O[(sin(‘亠x)亠■亠x]f(,亠x)dx =0(x: ;嘖一Sinx)f(x)dx 2二 二∫θ(Sinx+x)f(x)dx ππ =O(SinXx)f(x)dx亠I(x: ;嘖-Sinx)f(x)dx=O(2X二)f(x)dx° 题目24证明题一般 设f(X)在[0,1]上连续且单调递减,试证明: 对于任何q∙[0,1],都有不等式 q1,、 ILOf(x)dxEq0f(x)dx成立。 解答_ 令X=qt,则dx=qdt,从而 q11 Of(X)dx=0f(qt)qdt=q0f(qt)dt 由于q<1,即qtEt 又f(x)单调递减,故f(qt)_f(t) 11 √.ILf(qt)dt3Jf(t)dt 0'0 q11 .0f(x)dx=q0f(qt)dt一q0f(t)dt° 题目25证明题一般 设f(x)在[a,b]上单调增加且f“(X)>0. bf(a)f(b) 证明: (b—a)f(a) 证明: 由假设-x: =[a,b].x■a时f(X).f(a) b 二af(x)dx>(b-a)f(a) -t[a,b].f(t)在X点处的展式为 f(t)=f(x)f(x)(t-x)£f()(t-X)2 (•在t与X之间) 又因f「)∙O.故 f(t)■f(x)f(X)(^X) 将t=b,t=a分别代入上式,并相加,有 f(b)f(a)2f(x)(ab)f(x)-2xf(x) bbbb [f(b)f(a)]dx-2f(x)dx(ab)f(x)dx-2Xf(x)dx a'a'a'a b 2[f(b)+f(a)](b-a)>4[f(x)dx bf(a)f(b)小、 二[f(x)dx龙'∖(b-a)。 题目26证明题一般 设函数f(x)在[a,b]上连续且单调递增。 1X F(x)f(t)dt,(a: : X二b) X_aa F(a)=f(a), 证明: F(X)在[a,b]上单调增。 解答 证明: 对[a,b]内的每个x,由积分中值定理 1X1 F(x)f(t)dtf()(x-a)=f()(a: ■f: ■x) X—aax-a 当X>a时,」a, Iim.F(x)=lim.f()=f(a)=F(a) X―.aX_a X af(t)dt .F(X)在点a连续•从而F(X)在[a,b]上连续,则 F(x』2 X_a(x_a) =3・【f()(x-a)] x「a(X「a) f(χ)-f() X-a Qf(x)单调增且满足a: 「: : : X,故f(): f(x),从而 F(X)0,(a: : : Xmb) .F(X)在[a,b]上单调增。 题目27证明题一般 设f(x)在[a,b]上二阶可导且f"(X)v0, ba+b 证明: af(x)dx≤(b-a)f(冷卫)。 o4-b ab)2 -F) -x∙(a,b)将f(x)在二一处展开,有 abab、/ab1…、f(x)=f()f'()(x)f()(x 2222! (•介于X与Lb之间•) 2 由题设知f()<0 abab -f(x^f (2)f' (2)(x- bab1ι af(x)dxz(b—a)f(-^)*f( a+b =(b-a)f (2)。 题目28证明题一般 设f(x)在[a,b]上连续,在[a,b]可导,且f'(x)cθ,证明函数/f(t) F(X)dt aX—a 在(a,b)内满足F(X)_00 X (X—a)f(X)—Lf(t)dt F(X)=2a (x-a) =(X-a)f(X)-(x-a)f()..[a,x] 解答 (x-a)2 _f(x)-f()(x-a) X(a,b) 由已知X(a,b)时,f(x): : 0,故f(X)在(a,b)内递减 a--x, f>T) X(a,b)o 又x-a0 .F(x)乞0 题目29证明题一般 试证: 如果f(x)在[a,b]上连续,且对于一切χE[a,b],f(x)≥0 -一b 同时至少存在一点[a,b],使f()0,贝U.f(x)dx0。 a 解答_ 证明: 由f(x)在点连续,且f()•0,--[a,b] 则存在0,当X∙C,)时,有f(x)0 于是 b■;. Jaf(x)dx≥&吊f(C)dx=26f(t)>0 b Lff(x)dx>0 题目30证明题一般 bC-a 试证f(c-x)dxf(x)dxo La°c-b 解答令t=C「x则X=C「t,dx=-dt 且X=a时,t=c-a x=b时,t=c「b b .αf(c-x)dx C_b 二c』fgt) CJb =Tf(t)dt C_a CJ f(x)dx> CJb 题目31证明题一般 设函数f(x)在[0,1]上可微,且满足等式: 1 f (1)一2jxf(x)dx=0 试证在(0,1)内至少存在一点•,使f「)=-匚丄。 解答_ 1 由于f (1)-2]xf(x)dx=0 则由积分中值定理,有•<[0,-],使 2 1 f (1)-21f (1)=0成立,即f (1)-1f (1)=0 令F(X)=Xf(x),贝肝 (1)=F (1); 对函数F(X)在「1,1]上用罗尔定理,有 F()=0,C1,1)(0,1) 即f()f()0,-二(0,1) •f()=-□(0,1)。 题目32证明题一般 设f(x)在[a,b]上连续,并且对于每一个在[a,b] 上的连续函数g(x).都有fg(x)f(x)dx=0 La 证明: f(x)=0(a乞XEb)。 解答 证明: 若不然,设有X。 ∙(a,b),使f(x°)=0∙ 不妨设f(x0)■0.由于f(x)在x0处 ;0=f(X。 ).存在j..0. 2 连续,故对 当X-X0: : 时即在区间(X0-「.,X0亠心)内,有 f(X0) f(x)-f(Xo): : : 2 从而f(x)•丄凹.0 2 构造连续函数g(x)如下: FQXE[a,x0-6]U[(x0+6,b] h(x)X(X0-、..x°、.) 其中h(x)0.x(X0-J..X0,)且 Iimh(x)=Iimh(x)=0 X“0J■Xr(X)亠,)- b ■ag(x)f(x)dx x0=f(X0)x0■;. =X0-.h(x)f(x)dx-2-x0-. 这与题设矛盾故f(X)≡0a_X_b。 题目33证明题难 设函数f(x)在[a,b]上有连续导数 b 则Llf(X)L(X)IdX g(χ)=丿 h(x)dx0 bab[f 2 f(x,且f(a)=0, 2 (x)]dx。 解答 a二XLb 则F(X)Ka[f(t)]dt f(t) f(X)-f(a) f(x) bb'2 2jf(x)f(x)dx兰2jF(x)F(x)dx=F(b)aa 由柯西不等式,有 2bObb2 F2(b)=(F(x)dx)2空dx[F(x)]2dx La*a"a b'2 =(b-a)[f(x)]dx a b'b-ab2 faf(x)f(x)dx≤=-Ja[f(x)]dx。 arja 题目34证明题难 设f(x)在[a,b]上二阶连续可微,其中a: : : 0: : : b,则在该区间上必存在一个•,使 b122 f(x)dx=bf(b)—af(a)[b
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