培优专题7线段和角含答案K12教育文档.docx
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培优专题7线段和角(含答案)-(word版可编辑修改)
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培优专题7线段和角
线段和角是最简单、最基本的几何图形,与它们有关的概念、性质以及它们的画法和计算是研究平面几何的基础.
要解决线段和角的计数、计算问题,首先应掌握好线段和角的一些特点及基本性质,其次要注意总结规律,灵活运用.
例1如图,数出各条线上线段的总条数.
分析要确定一条线段,就需要确定线段的两端点,做到不重不漏.
在
(1)中,先数以A为左端点的线段:
AC、AB,2条;再数以C为端点的线段:
CB,1条.故
(1)中共有3条线段.
同样地,在图
(2)中有线段AC、AD、AB,3条;CD、CB,2条;DB,1条.共计3+2+1=6条.
在(3)中有线段AC、AD、AE、AB;CD、CE、CB;DE、DB;EB.共计4+3+2+1=10条.
从上面的分析可见,当线段上有n个点(包括两端点)时,它上面的线段总共有
(n-1)+(n-2)+…+2+1=
(条).
练习1
1.在直线L上顺将取点A、B、C、D、E、F、M、N,则在A、N两点之间共有线段______条(包括线段AN).
2.
(1)数一数图中的图①中共有______个角;图②中共有_____角;图③中共有______角.
(2)从
(1)中你找到一种数图④中角的个数的规律吗?
3.如图,图中共有_______条线段.
例2在图中,若线段A1A2=a1,A2A3=a2,A3A4=a3,A4A5=a4,A5A6=a5,求出所有线段长的和.
分析要求出所有线段长的总和,可采用分类计数的方法,分别以A1、A2、A3、A4、A5为左端点,按5类分别计算长度,如:
L1=A1A2+A1A3+A1A4+A1A5+A1A6
=a1+(a1+a2)+(a1+a2+a3)+(a1+a2+a3+a4)+(a1+a2+a3+a4+a5)
=5a1+4a2+3a3+2a4+a5.
同理:
L2=4a2+3a3+2a4+a5,
L3=3a3+2a4+a5.
L4=2a4+a5.
L5=a5.
故所有线段的长度总和为:
L=L1+L2+L3+L4+L5
=5a1+8a2+9a3+8a4+5a5.
当本例从6个点推广到n个点时,所有这些线段长的总和为:
L=a1(n-1)×1+a2(n—2)×2+a3(n—3)×3+…+an—2×2×(n—2)+an-1×1×(n—1).
练习2
1.如图1,B、C、D依次是线段AE上的点,已知AE=8.9cm,BD=3cm,则图中从A、B、C、D、E这五个点为端点的所有线段的长度之和等于_________.
(1)
(2)(3)
2.
(1)如图2,3个机器人A1、A2、A3排成一条线做流水作业,它们都要不断从一个固定的零件箱中拿零件,则零件箱放在()处最好(使得各机器人到零件箱的距离之和最小).
A.A1B.A2C.A3D.A1、A2之间或A2、A3之间的一点处
(2)如图3,若有4个机器人B1、B2、B3、B4,零件箱放在何处最好?
3.经过直线L外一点P作长度为5cm的线段,使其另一端点在L上,这样的线段可以作()条.
A.0或1B.1或2C.0或2D.0或1或2
例3如图,已知C在线段AB上,且AC:
BC=2:
3,D在线段AB的延长线上,BD=AC,E为AD的中点,若AB=40cm,求CE的长.
分析由AC:
BC=2:
3及AB=40cm,可先求出AC、BC的长度,再由E为AD中点,可求出AE的长度,再由CE=AE-AC求出CE.
解:
设AC=2x,BC=3x,由题意得:
2x+3x=40,解得x=8.
∴AC=16,BC=24,∴BD=AC=16.
∴AD=AB+BD=40+16=56.
∵E为AD中点,
∴AE=
AD=28.
∴CE=AE-AC=12(cm).
练习3
1.三点A、B、C在同一直线上,若BC=2AB,且AB=a,则AC=________.
2.如图,C、D、E将线段AB分成四部分,且AC:
CD:
DE:
EB=2:
3:
4:
5,M、P、Q、N分别是AC、CD、DE、EB的中点,若MN=21,则PQ长为________.
3.
(1)如图,已知∠AOB=90°,∠BOC=30°,OM平分∠BOC,求∠MON的度数;
(2)如果
(1)中∠AOB=α,其他条件不变,求∠MON的度数;
(3)如果
(1)中,∠BOC=β(β为锐角),其它条件不变,求∠MON的度数.
(4)从
(1)、
(2)、(3)的结果中你可得出什么结论?
(5)线段的计算与角的计算存在着密切的联系,它们之间可以互相借鉴解法,请你模仿
(1)~(4)设计一道以线段为背景的计算题,写出其中的规律并给出解答.
例4如图,过点O任作7条直线.
求证:
以O为顶点的角中必有一个小于26°.
分析过点O的7条直线被点O分成14条射线,而相邻的两射线可组成14个角,而要证明以O为顶点的角中必有一个小于26°,只要考虑这14个角即可.
证明:
设相邻的射线组成的14个角为α1、α2…、α14,
则α1+α2+…+α14=360°.
假设α1+α2+…+α14都不小于26°,则:
α1+α2+…+α14≥364°
与α1+α2+…+α14=360°矛盾.
故α1、α2…α14中必有一个角小于26°.
练习4
1.9点20分时,时针与分针所成的角是多少度?
2.如图是一个3×3的正方形,则图中∠1+∠2+∠3+…+∠9的度数是多少?
3.如图,∠A1OA11是一个平角,∠A3OA2—∠A2OA1=∠A4OA3-∠A3OA2=∠A5OA4-∠A4OA3=…=∠A11OA10-∠A10OA9=2°,求∠A11OA10的度数.
例5从县城P出发的一条直线公路两旁共有10个村需要安装自来水(水从县城引出),县城与A村的距离为30千米,其余各村之间的距离如图7—14所示,现有粗细不同的两种水管可以选用,粗管是供给所有各村用水,细管只能供一个村用水.安装费用:
粗管每千米8000元,细管每千米2000元.把粗管和细管适当搭配、互相连接,可以降低工程总费用.请你设计一种最节省的安装方案,并求出所需的总费用.
分析显然粗细管适当搭配较合适,由于粗管安装费用是细管安装费用的4倍,故需要用4根细管的路段采用粗管或细管所花费用相同,需要用多于4根细管的路段采用粗管较合算.由县城P─A─B─C─D─E─F宜采用粗管,F─G用粗管或细管均可,G─H、G─M、G─N分别安装一根细管.总费用是:
(30+5+2+4+2+3)×8000+2×8000+2×2000+(2+2)×2000+(2+2+5)×2000=414000(元).
练习5
1.如图,小圆圈表示网络的结点,结点之间的连线表示它们之间有网线相联,连线标注的数字表示该网络单位时间内可以通过的最大信息量.现从结点A向结点B传递信息,信息可以分开沿不同的路线同时传递,由单位时间内传递的最大信息量为().
A.19B.20C.24D.26
2.甲和乙两人同时从A、B两地相向而行(如图7-16),甲骑自行车,乙步行.出发后30分钟甲与乙在P1处相遇,然后甲、乙继续前进,甲到B地后马上折回向A骑行,从P1起30分钟后,甲又在P2处追上乙,此后两人继续前进,甲从A地在返回B地的路上在P3处与乙相遇.求证:
P1、P2、P3是AB的四等分点.
3.
(1)现有一个19°的“模板”(如图),请你设计一种方法,只用这个“模板”和铅笔在纸上画出1°的角来?
(2)现有一个17°的“模板",能否只用这个“模板”和铅笔在纸上画出一个1°的角来?
(3)用一个21°的“模板”与铅笔,能否在纸上画出一个1°的角来?
对于
(2)、(3)两问,如果能,请你简述画法步骤;如果不能,请你说明理由.
答案:
练习1
1.28.
=28.
2.
(1)①3;②6;③10;
(2)
.
3.30.如线段BE上有6条线段,故共有6×5=30条线段.
练习2
1.41.6cm.其长度总和=4AB+6BC+6CD+4DE=4(AB+DE)+6(BC+CD)=4(AE—BC)+6BD=4AE+2BD=4×8。
9+2×3=41.6cm.
2.
(1)A2处,故选B.
(2)若选在B1、B2之间,设此点为M1,则其和为:
B1B4+B2B3+2B2M1;若选在B2、B3之间,设此点为M2,则其和为B1B4+B2B3;若选在B3、B4之间,设此点为M3,则其和为B1B4+B2B3+2B3M3,故选在B2、B3之间(包括(B2、B3处),其到机器人的距离和最短.
3.选D.若点P到L的距离d=5cm,则此点只有一个;若d〉5cm,不存在此点;若d<5cm,则这样的点有两个,故选D.
练习3
1.a或3a,若点B、C在点A的同侧,则AC=3a;若点B、C在点A的异侧,则AC=a.
2.7.设AC=2k,则CD=3k,DE=4k,EB=5k,且MN=
k,PQ=
k,由MN=21,可知:
k=2,故PQ=7.
3.
(1)∠MON=45°,∠MON=
∠AOC+
∠BOC=
∠AOB=45°.
(2)∠MON=
α
(3)∠MON=45°
(4)分析
(1)、
(2)、(3)的结果和解题过程可知:
∠MON的大小总等于∠AOB的一半,而与锐角∠BOC的大小无关.
(5)如图7—1,B为线段AC上一点,AC=a,M、N分别为线段AB、BC的中点,求MN的长.本题的规律是:
MN=
AC,而与BC的长度变化无关.
练习4
1.160°.时钟从表面12处顺时针转过(9
×30°)=280°,分针从表面12处顺时针转过(20×6°)=120°,故时针与分针形成的角为160°.
2.405°.由图知:
∠3=∠5=∠7=45°,∠1+∠9=90°,∠2+∠6=90°,∠4+∠8=90°,∴∠1+∠2+…+∠9=405°.
3.27°.将条件中的9个等式相加,得:
∠A11OA10—∠A2OA1=9×2°,
即∠A11OA10=∠A2OA1+18°,
又∠A1OA11=∠A2OA1+∠A3OA2+…+∠A11OA10=
(∠A2OA1+∠A11OA10)×10=180°,
两个方程联立解得∠A11OA10=27°.
练习5
1.考察每条通道的最大信息量,四条通道在单位时间可同时通过的最大信息量为3、4、6、6,则(3+4)+(6+6)=19,选A.
2.乙从B到P1用了30分钟,由P1到P2也用了30分钟,
故有BP1=P1P2,因为甲从P1到B然后再到P2用了30分钟,共行了3P1P2长的路程,
所以甲的速度是乙速度的3倍.
再由第三次相遇知P2A+AP3=3P2P3,即P2P3+2AP3=3P2P3,
则P2P3=AP3,
再由第一次相遇知:
AP1=3P1B,
由此2P2P3+P1P2=3P1B,
故P2P3=P1B,由此AP3=P2P3=P2P1=P1B.
故P1、P2、P3=是线段AB的四等分点.
3.本题关键是得到一个1°的角,设“模板”的角度为α,
假设可由m个α角与n个180°角可以画出1°的角来,则有mα-180n=1.
(1)当α=19°时,取m=19,n=2,即用“模板”连续画出19个19°的角,得到361°的角,去掉360°的周角,即可得到1°的角.
(2)当α=17°时,取m=53,n=5,可以得到一个1°的角.
(3)当α=21°时,21m—180n=1无正整数解,故不能用21°的“模板”画出1°的角.
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