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数学建模2
教学中楼的疏散问题
47组
湖南大学数学与计量经济学院
二零零五年五月十六号
教学中楼的疏散问题
摘要
本文通过对意外事件时建筑物(本文中为教学中楼)内人群疏散问题的分析与仿真,分别通过同时到达离散模型和水流连续模型得到了较好的结论。
在离散的模型里,我们建立了一般的意外疏散模型和火灾的疏散模型,将烟气对人员疏散的影响考虑在模型之内,并且提出了有效穿越烟气时间的概念,将建筑物人员疏散的评判方式从以往的时间评判变成时间及人员健康双重的评判方式。
在水流连续模型里,我们将被疏散人员看成水流,并很好的解决了这一问题。
最后我们认为中楼的意外人员疏散情况很不理想,并针对此实际情况对建筑管理者提出了有价值的建议。
1问题重述
教学中楼的疏散问题
我校教学中楼共有四层楼面,六十多间教室,可同时容纳近五千人上课。
楼内设有中间和东、西共三个楼梯供师生上下。
前面设有一个大门,北面设有两个小门出入。
于是我们面临一个无法回避的现实问题:
一旦遇有意外事件(例如火灾)发生,教学楼内的师生是否能够有组织地、尽快地通过走廊和楼梯疏散撤离出去。
(1)某天只有第一层楼的全部教室在上课;
(2)某天只有第一、二层楼的全部教室在上课;
(3)某天全楼的所有教室在上课;
某天全楼有一半的教室临一个无法回避的现实问题:
一旦遇有意外事件(例如火灾)发生,教学楼内的师生是否能够有组织地、尽快地通过走廊和楼梯疏散撤离出去。
(4)经过考察中楼教室的布局,我们绘制出平面简图。
建立数学模型针对下面几种情况给出师生的疏散路线并计算出全部人员撤离完毕所用的时间,并就结论得出一些建议给学校后勤在上课。
2模型假设与符号说明
2.1模型假设
建筑撤离出口有且仅有大厅南面三个门,北面两个门;
将教师和学生作为整体进行分析;
认为楼内人员均为身体健康,具有正常判断能力的无差别个体;
假设只有一到三层有学生上课,这是由地下室和四楼的情况过于复杂的实际情况决定的。
2.2符号的说明
t:
发生火灾后经历的时间,单位:
秒;
:
至t时刻止到大厅的人数;
:
至t时刻止从大厅出去的人数;
:
t时刻大厅滞留的人数;
q:
某个门的通过率;
p:
单位时间内通过某通道(走廊、门等)的人流次数;
DC:
动态载流能力
Minwidth:
路径最窄处宽度
AFV:
平均人流量
3问题的分析
全部人员撤离完毕所用的时间T受到人员从离开座位到到达走廊上所用时间
、经过走廊所用时间
、经过走廊所用时间
、经过大厅所用时间
共同决定,即有
T=
+
+
+
(1)
在不同情况下,式中的
~
有不同的处理,有的可以忽略,在下面具体问题中会相应指出。
4模型的建立和求解
4.1疏散问题的离散模型
(1)只有第一层楼的全部教室在上课
中楼第一层共有教室18个,其中可容纳40-50人的小教室5个,可容纳70-80人的中教室5个,并有两个分别为288和225人的大教室。
=pqnt
(2)
n为该教室门的个数,
对于一个宽为1.5m的门,由于在很拥挤的情况下,人运动过程中仍不会与墙壁或门等障碍发生物理接触,一般都保持0.15m的间距,且中国人标准肩宽0.52m,故通过率q=2.5(人/秒)。
同理,宽为1m的门通过率q=1.5(人/秒)。
查阅相关资料可知在拥挤情况下p=2。
教室间容量的不同、门的个数及大下的不同导致各个教室学生全部逃逸所用时间不同。
类别
容量
门数
逃逸时间(S)
通过率(人/S)
个数
序号
小
45
1
15
3
5
1
中
70
2
11.67
6
6
2
70
1
14
5
1
3
110
2
18.33
6
3
4
大
120
1
24
5
1
5
225
1
45
5
1
6
288
1
57.6
5
1
7
表
(一)一楼教室分类表
在这里,我们首先构造了一个较为简单的同时到达离散模型,忽略人从教室达到大厅所用时间,认为人离开教室门进入走廊即进入大厅(事实上,如资料
(1)所示,主要限制火灾中人员逃逸速度的往往不是走廊等而是门!
)
大厅南有三个大门,北面设有两个小门,宽度均为1.5m,通过率q=2.5(人/秒),p=2。
大厅滞留的人数等于到达的人数减去离开大厅逃逸出去的人数即
=
-
(3)
我们通过分段函数(表达式如附录
(一)),得到了如下的数据:
图
(一)到达大厅人数
与时间t(s)关系
图
(二)滞留大厅人数
与时间t关系
因此,我们得到,只有第一层楼全部教室在上课时全部人员撤离完毕所用时间为77s。
同时,通过对函数微分得
的最大值在18s时取得。
(2)只有第一、二层楼的全部教室在上课
二楼也有人上课时,大量人群涌向楼梯,在达到某时刻
时,阻滞产生的瓶颈效应使得二楼的人群无法顺利下到一楼,即使一楼的大厅是空闲的。
这样,大厅出口的疏散能力不能得到全部发挥,其疏散速度便由楼梯通过能力限制.
此时,我们约定二楼的210、213、214、220、221、201、202的人群全部从中间楼梯下,205、203、215、219的人群有一半从中间楼梯下,另一半从临近的边侧楼梯下。
计算得走中间楼梯的人数为788,走西面楼梯的人数为420,走东面楼梯的人数为405。
又给定了各楼梯的通过率,中间楼梯
p=4.5;
东、西侧均有
p=3;
进而经中间楼梯的人群全部通过需788/4.5=175s,东为135s,西为140s。
由于在楼梯排队的时间均远大于第一问的结果(77s),因此第一、二层楼的全部教室在上课时的疏散时间决定于二楼人员疏散完毕的时间,而并非逃离出口的速度。
与第一问类似,我们可以求得只有第一、二层楼的全部教室在上课时人员全部疏散完毕时间为177s.(3)全楼的所有教室在上课全楼的学生都在上课的情形与问题二类似,人员在楼梯和大厅均产生了滞留,我们可以采用相同的算法对结果进行计算,带入有关参数得到全部教室在上课的疏散时间为407s。
(4)离散的改进
在前面的模型当中,我们考虑了中楼发生以外状况下的人员疏散问题,下面,我们将着重对发生火灾这一特殊问题,结合中楼的自身情况,做较为详细的研究。
在前面的模型中,我们始终是假设每个教室是在同一时刻知道意外事件的发生,于是在前面的讨论中,我们的研究是在所有教室同时开始进行人员疏散。
但是对于特定的灾害如火灾等,我们不得不建立一个更贴近于事实的人员疏散模型,这个模型除了要体现人员疏散的特点,更要注意的就是要尽量符合灾害的真实,客观性。
对于火灾而言,首先要考虑的就是它的突发性,当一个教室发生火灾时,这个教室的人员会首先逃离火灾现场,但是由于其他教室对这一突发事件并未察觉,所以会使整个的疏散过程变成一个较为离散的情况。
与这个教室相近的几个教室会更快的发现火灾情况而撤离,而相当来说比较远的教室由于得知这个消息的时间要比较长,所以会较晚撤离,但是这个过程不是一个不断进行的过程,当时间到达某一值时,由于门外人员的呼喊,教学楼内烟雾浓度的增加等,其余所有还不知道火灾情况的教室将在同一时刻火速撤离。
根据这个理论,我们可以先假设某一具体教室已经起火,从而分析在这一情况下,人员疏散的数学模型。
先考虑一个极端的情况,假设火灾是发生在107教室,上课的楼层只有第一楼。
那么我们可以假设在0时刻,这个教室的人员开始逃离教室,为了准确的知道其他周围教室得知火灾时间的情况,通过参考大量文献可知,一般在烟浓度不是很大的情况下,在横向多层建筑物中的横向传播速度为0.3-0.8m/s,而当烟扩散到楼梯道时,往上的传播速度一般为3-4m/s,考虑到火灾的初期,烟的浓度还不是很大,于是我们都取速度的最小值。
另外一方面,根据资料分析,一般人确认火灾发生的方式是看到烟的存在,也就是说,我们还可以假设只有当人们看到烟的时候,人们才会开始逃离。
有了这两个假设的基础,再结合我们所掌握的中楼的情况,我们可以看出,在火灾开始的初期,与107教室相隔较近的教室只用了20-30秒时间就确定了火灾的发生并且开始逃离,但和107教室较远的特别是大厅另一侧的教室则用了相当多的时间才了解了火灾的情况并开始逃离,为了使模型更加真实,我们给出了确认火灾情况的最大时间为1分钟。
由上面的分析可以知道,中楼大厅南北两边门在紧急情况下最大的流通量为23人/秒。
那么我们可以详细的分析从0时刻开始一直到结束,大厅聚集疏散人员的变化,及人员疏散的总时间,由于有了前面的计算,我们在此仅仅给出我们所做出的答案,在只有第一层上课的情况下,疏散所有人员所需要的最小时间为125秒。
同样,我们还计算出了当教学楼有两层楼上课和三层楼全部都在上课的情况,当教学楼有两层或三层的情况时,人员疏散的情况和前面的稍有不同,前面的模型中是假定二,三楼去往楼下的路径有三条,但是在这个实际情况中,这方面又有着一点的不同,由于火灾是发生在107教室,那么烟雾最开始是沿着西边的楼梯向上扩散,根据大量研究证明,人在这种情况下的逃离路线一般是要背离浓烟袭来的方面,于是虽然隔西边的楼梯口很近,2楼3楼的靠西边教室里的同学一般也会选择往中间的楼梯口逃离。
在前面的模型中,我们已经证实了,中楼的楼梯已经超越了出口成为了限制人员疏散的最大的瓶颈。
那么这样一来,大量西边的人流量往中间逃离势必会增加中间人流通过的总时间。
那么根据这个前提,我们通过计算,得到了1,2楼上课和三楼全部上课的人员疏散时间分别为:
283s和458s。
烟包括可见的烟颗粒和不可见的燃烧气体,两者很少单独存在。
而燃烧的烟包含了相当大量的有毒气体,吸入氯化氢会伴随有窒息作用,人吸入50PPm氯化氢,短时间不致命,但会使受灾者难以前进,氯化氢气体遇到湿润的眼球会变成盐酸,首先侵害人眼角膜、角膜,造成严重的撕裂感和剧烈的疼痛,加上浓烟降低可见度,使受害者寸步难移。
丙烯腈蒸气对眼结膜及上呼吸道黏膜有直接的刺激作用,CO会使组织严重缺氧,而中枢神经系统对缺氧极度敏感,所以在火灾时,首先会让受灾者失去清晰的思维。
其他有害物质还有很多,但基本上分为了对眼睛,对呼吸道和对中枢神经危害几种。
而这些有毒气体往往有很多是可以致命的,比如CO,光气等。
所以对人员疏散的研究,必不可少的就是对烟的研究,而一个好的建筑不但在人员疏散时间上要达到一定的标准,对于人们在疏散过程中受到的烟的伤害也应该尽可能减少到最少。
那么在下面的文章中,我们引入一个有效穿越烟气时间的概念,有效穿越烟气时间,顾名思义就是说一个人在逃离火灾现场的过程中,总计穿越烟气时间的和,那我们对这个值的研究就要求,平均每个人在逃离过程中的平均穿越烟气时间要小,并且对于所有的有效穿越烟气时间来说,其方差要尽可能小。
我们可以假设人员在疏散时的速度为v,而根据大量实验表明,人在浓烟的环境中的逃离速度会随着烟气浓度的增加而减少。
从图中可以看出,当火灾生成的烟是无刺激性烟时,步行速度和烟浓度成反比例函数,但是如果生成的烟是刺激性烟时,当烟浓度大雨清光系数0.4/m时,速度将会急剧下降。
因此,我们可以假设,人员在穿越烟气时,速度将会降到60%。
通过计算,我们可以知道,在只有一楼上课时,当火灾发生在107教室的情况下,平均的穿越烟气时间按有关参数计算可知在上述情况下,平均穿越烟气时间为1.5秒/人。
那么如果是1,2楼上课或者是全部上课呢?
那平均穿越烟气时间将是上述值的十倍以上。
此外,如果发生火灾的地方不是偏僻的107教室,而是靠近大厅的地方,那么即使只有1楼上课,这个值也将大的惊人!
所以,通过上面的分析,我们基本上可以说,中楼的防意外的能力是相当低的。
同时,经过分析和模拟,我们的发现门的个数与宽度的确是影响疏散时间的重要因素,因此我们建议建筑管理者应在上课时间全天保持各通道的畅通无阻,包括一楼西面的出口,应作为紧急通道,而不是全天锁着。
亦不应当在通道内堆放杂物。
对于通往复临舍的空中走廊,由于从来没有发现她开通过,故也没有考虑。
相信如果打开这些通道的话,在事故时中楼各主干道的压力会大大减小。
同时,学校也应加强紧急情况下的自救互救教育。
4.2疏散问题的连续模型
然后我们考虑连续模型,用水流来模拟人流的移动,因此我们对教学楼的实际情况进行了一个抽象:
我们把教室、楼梯间的平台、楼梯、大厅、走廊等作为一个源节点,将教室与走廊等相连接的门、大厅与安全区相连接的门等作为人流的弧,即:
人流是从教室流向走廊并最终从大厅流向安全区。
因此我们将实际中的教学楼抽象成带权网络图,人从图中的源节点出发,达到目标节点则表示该人已经安全。
每个源节点都有一个初始的人数和人数上限。
图中的每条边v有一个属性表示该路径的动态载流能力DC(单位为人/秒),DC的估计过程如下:
首先我们找出这条路径中的最窄地方的宽度为minwidth(单位为米),因为整个路径发生阻塞的地方一定会出现在最窄的地方。
然后我们找到一个平均人流量AFV(单位为人/米*秒),如果这个人流量能顺利通过最窄的地方而不发生阻塞,那么这个人流量在该路径下任何地方都不会发生阻塞,故DC=minwidth*AFV。
另外还有一个属性是穿越该路径所需的时间,我们把从两节点几何中心的距离认为是连接两节点的路径的长度,由平均人流量,我们能算出人流速度,这样就能很快求出穿越该路径所需的时间。
在程序中,我们选取5秒中作为一个时间段,每隔一个时间段就计算一次图中人流量的分布,并记录当前状态。
当发现图中已经无人滞留时则疏散完毕。
实际教学楼的一部分抽象成网络图如下示:
图中箭头表示人流的方向,因实际抽象的网络图较复杂,故我们只节选了很小一部分画出来。
(图的详细数据表示参见附录)。
(1)当某天只有第一层全部教室在上课时,模拟结果显示最终疏散时间为53s;大厅中的人流曲线为:
图第一中情况大厅滞留人数与时间关系
(2)当某天只有1,2两层楼的全部教室在上课时,模拟结果显示最终疏散时间为113s;大厅中的人流曲线为:
图第1,2层全都有人上课时大厅滞留人数与时间关系
(3)当某天全楼所有教室都在上课时,模拟结果显示最终疏散时间为220s;大厅中的人流曲线为:
图整个楼都有人上课时大厅滞留人数与时间关系
对比上面三个图我们发现:
第
(1)中情况大厅中的滞留人数直到疏散结束才降到零,但是第
(2),(3)中情况下的大厅中滞留人数并没有一直持续到人员疏散结束,例如第
(2)中情况中,大厅中的滞留人数在70s左右就已经降到零,但这个时候疏散并没有结束。
分析这种情况出现的原因如下:
因第一中情况下楼上没有人下来,故全部人员都集中的一楼,都必须从大厅出去到达安全地带,故疏散结束大厅中的滞留人数也就为零了。
但是以后两种情况均有人员从楼上下来,而从楼梯口进入大厅的速度小于打听中人员撤离的速度,所以就出现了大厅空了下来但是整个疏散过程仍然没有结束的情况,这个时候从楼梯上下来的人能从大厅中直接出去到达安全区,所以大厅中就不再有人滞留,而人员主要滞留在楼梯间。
由此,我们可以知道要加快疏散时间,我们应该首先通过适当的指挥增加大厅中往外撤离的速度,又要通过调整增加楼梯上人员的前进速度。
[参考文献]
[1]姜启源,谢金星,叶俊,《数学模型》,北京,高等教育出版社,2004年4月第4次印刷
[2]T.M.Kisko,R.L.Francis,C.R.Nobel,《EVACNET4USER’SGUIDE》,Florida,http:
//www.ise.ufl.edu/kisko/files/evacnet/EVAC4UG.HTM
[3]李椿年,《人在火灾中的行为》,1989年10月第1版
附录
(一):
functionF=hallnum(t)
ift<0
F=0;
elseift<11.67
F=(3*5+6*6+5+6*3+5+5+5)*t
elseift<14
F=89*11.67+(3*5+5+6*3+5+5+5)*(t-11.67)
elseift<15
F=1162.12+(3*5+6*3+5+5+5)*(t-14)
elseift<18.33
F=1210+(6*3+5+5+5)*(t-15)
elseift<24
F=1319.89+(5+5+5)*(t-18.33)
elseift<45
F=1404.05+(5+5)*(t-24)
elseift<57.6
F=1614.05+(5)*(t-45)
elseift>57.6
F=hallnum(57.5);
End
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