黄冈中学高考数学易错题精选三不等式直线与圆易错题.docx
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黄冈中学高考数学易错题精选三不等式直线与圆易错题
黄冈中学高考数学易错题精选(三)
不等式、直线与圆易错题
1.设为任意为实数,记三者中的最大值为M,则()
A.B.C.D.
2.已知方程的两根为、,并且,则的取值范围是()
A.B.
C.D.
3.给出平面区域如图所示,若使目标函数取得最大值的最优解有无穷多个,则的值为()
A.B.
C.4D.
4.过点作圆的弦,其中弦长为整数的共有()
A.16条B.17条C.32条D.34条
5.过圆C:
的圆心,作直线分别交、正半轴于点A、B,△AOB被圆分成四部分(如图).若这四部分图形面积满足SⅠ+SⅣ=SⅡ+SⅢ,则这样的直线AB有()
A.0条B.1条
C.2条D.3条
6.在平面直角坐标系中,不等式(a为常数),表示的平面区域的面积是9,那么实数的值是()
A.B.C.D.1
7.若不等式组表示的平面区域是一个三角形,则的取值范围是()
A.B.
C.D.
8.已知实数满足,下列5个关系式:
①;②;③;④;⑤.其中不可能成立的有()
A.1个B.2个C.3个D.4个
9.已知关于的方程有两个绝对值都不大于1的实数根,则点所对应的区域图形大致是()
10.已知两点,若直线与线段PQ没有公共点,则的取值范围是.
11.满足的整点(横、纵坐标为整数的点)的个数是.
12.已知实数满足当时,则的最大值的变化范围是.
13.不等式在上恒成立,则的取值范围是.
14.对于满足的所有实数,使不等式恒成立的的取值范围为.
15.当时,不等式恒成立,则实数的取值范围为
.
16.
(1)求使成立的的取值范围为;
(2)不等式在上恒成立,则的取值范围为.
17.若三条直线及能围成三角形,求实数m的
取值范围.
18.设,函数,当时,.
(1)求证:
;
(2)求证:
当时,.
19.已知.
(1)若的最大值为M,求证:
;
(2)当时,求的表达式.
20.过圆上一点作两直线,分别与圆相交于另一点P、Q,若直线的倾斜角互补,试推断直线PQ的斜率是否为定值.
21.方程在(0,1]上有解,求的取值范围.
22.若不等式对于满足的一切实数恒成立,求实数的取值范围.
23.已知满足约束条件,且的最大值为7,求的值.
24.设为实数,若.
25.设满足的点的集合为A,满足的点的集合为B,其中是正数,且.
(1)问之间有什么关系?
(2)求表示的图形面积.
26.已知集合,,且.
(1)求的取值范围;
(2)若,且的最大值为8,求的值.
27.已知,二次函数,设不等式的解集为A,又知集合,若,求的取值范围.
28.设,方程的两个实数根为、,且满足,
.
(1)求证:
;
(2)设,试比较与的大小.
29.设二次函数,方程的两个根、满足,当时,证明:
.
30.已知直线和抛物线.当变化且直线与抛物线C有公共点时,点关于直线的对称点.请写出关于的函数关系式,并求出点Q直线上时的取值范围.
不等式、直线与圆易错题参考答案
1.解析:
由题设,,,,
于是,所以,故选A.
2.解析:
令,因为,
所以,即,此不等式组表示的平面区域,如图所示.
又的几何意义是原点和点所在直线的斜率,由图可知:
,故选C.
3.解析:
依据题意,直线与直线AC平行,所以,即,故选D.
4.解析:
因为圆的标准方程为:
,即此圆是一个以点为圆心,以R=13为半径的圆.
因为,而R=13,
所以经过A点且垂直于OA的弦是经过A点的最短的弦,其长度为;
而经过OA的弦则是经过A点的最长的弦,其长度为圆的直径,即2R=26;
所以经过A点且为整数的弦长还可取11,12,13,14,15,…,25共15个值,又由于圆内弦的对称性,经过某一点的弦的长若介于最大值与最小值之间,则一定有2条,而经过某一点的圆的最长弦与最短弦各有1条,故一共有15×2+2=32条,故选C.
5.解析:
由已知得SⅣ-SⅡ=SⅢ-SⅠ,第Ⅱ,Ⅳ部分的面积是定值,所以SⅣ-SⅡ为定值,
即SⅢ-SⅠ为定值.当直线AB绕着圆心C移动时,只可能有一个位置符合题意,即直线AB只有一条,故选B.
6.解析:
作出可行域,可知当时,可行域就是构成的区域,其面积是一个无穷大的值,不可能是9,故(以下同上述错解).答案D.
7.解析:
先把前三个不等式表示平面区域画出来,如图所示.
此时可行域为△AOB及其内部,交点B为,故当过B时,
所以时可行域仍为△AOB,当过A点时,.
故当时,此时可行域也为三角形,故.答案:
D.
8.解析:
作,的图象,如图所示.
当时,,则有;
当时,,则有;
当时,,则有.答案:
B.
9.解析:
依题意,方程有两个在区间[-1,1]上的实根,因而有作出可行域,易得答案为A.
10.解析:
由线性规划知识得,点P、Q在直线的同侧,故,
即,解得或.
11.解析:
坐标轴上有个整点,第一象限有6个整数,根据对称性四个象限有个整点,故满足条件下整点有17+24=41个,故填41.
12.解析:
当时,约束条件表示的区域为与轴,轴在第一象限围成的三角形区域.
所以直线过点(0,4)时,的最大值取值为最大,;
当时,直线过与的交点时最大,此时,显然,的最大值的取值为最小.
由,得,所以.所以,即的最大值变化范围是[7,8].
13.解析:
设,它在(0,2]上为减函数,
要小于等于,即要小于或等于在(0,2]上的最小值.
设,它在(0,2]上为增函数,要大于或等于,即要大于或等于在(0,2]上的最大值.而,所以,故应填入的答案是.
14.解析:
已知不等式可化为.
设,则或.
15.解析:
恒成立的解集为R,求的范围,即小于的最小值.
令.
当时,的最小值为1.
或.
或.
16.解析:
(1)由图可知,的取值范围是.
(2)原不等式等价于.当时,显然在上,而,故不符合条件.于是.
画出和的图象,如图所示.
由图可知,在范围内,要使函数的图象在函数的上方,的取值范围是.
17.解:
三条直线能围成三角形必须这三条直线两两相交,且不共点.
.
由.
由,
即时三线共点,
所以且时,三条直线能围成三角形.
18.证明:
(1)因为当时,,所以,即.
(2)由于时,,所以,.
所以.
,
即,.而在[-1,1]上单调,所以时,.
19.
(1)证明:
因为,,
所以,所以.
(2)因为,又,
所以,即,故.
代入得,且,所以,故.
20.解:
过点A作轴的垂线交圆O于B点,设直线分别与轴相交于M、N点,
依据题意△AMN为等腰三角形,所以AB为∠PAQ的平分线.
所以B为的中点.连结OB,则OB⊥PQ.由对称性知,点,
所以,所以,为定值.
21.解:
方法1:
设,
(1)若在(0,1]上有两解,如图,
则有,所以此不等式无解.
(2)若在(0,1]上有且仅有一解,
则有,即,解得.
综上所述得的取值范围为.
方法2:
因为,所以,
原方程可变为.
因为,所以
故,
即,所以.
22.解:
设,其函数图象为开口向上的抛物线,要使得对于满足的一切实数恒有,只需满足:
(1),∴.
(2)即∴.
(3)即∴∴.
综合①、②、③得,当时,不等式对一切均成立.
23.解:
画出可行域,如图.
直线的斜率为.若,即,
则直线过点B(4,3)时,,得;
若,即,则直线过点时,,得(不符);
若,即,则直线过点时,(不符).故.
24.解:
画出可行域及圆,如图.
直线恒过原点,所以当直线与线段AB有交点时,可行域在圆内,满足题意,则,解得.
25.解:
(1)作函数及的图象,画出及表示的区域,如图.可知,,则.
(2)当时,表示一矩形区域,各边所在直线方程为,,,,矩形两边长分别是两平行线间的距离.
即,所以.
当时,面积.综上,所求面积.
26.解:
(1)分别画出不等式和所表示的平面区域,如图.
因为,由图可知,,所以的取值范围是.
(2)平移直线,当这条直线经过点时,取得最大值.
所以,所以.
27.解:
由为二次函数,所以.令,因为,所以方程有两个不等实数根.设为,则.
①若,则.由的充要条件得,
即,解这一无理不等式得.
②若,则.由的充要条件得,
即,解这一无理不等式得.
综合知所求的取值范围是.
28.解:
(1)由,得,所以,,
所以,即,
所以,证毕.
(2)由,知.又,且,
所以,
所以
,
所以.
29.证明:
令,
依题意有,
当时,
因为,所以.
又,所以.
即.又
,因为,所以,,
即,
所以,即.综上,.
30.解:
由,知.
因为与C有公共点,且,所以,于是可得且.
因为点Q关于对称,
所以,所以.而,
所以.
当点Q在直线上时,,则,而,
所以,解得或.故实数的取值范围是.
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