高考数学天津理科试题及答案解析版.docx

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高考数学天津理科试题及答案解析版

2016年市高考数学试卷（理科）

一、选择题

【2016（理）】已知集合A={1，2，3，4}，B={y|y=3x﹣2，x∈A}，则A∩B=（　　）

A．{1}B．{4}C．{1，3}D．{1，4}

【答案】D

【解析】解：

把x=1，2，3，4分别代入y=3x﹣2得：

y=1，4，7，10，即B={1，4，7，10}，

∵A={1，2，3，4}，

∴A∩B={1，4}，

【2016（理）】设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+5y的最小值为（　　）

A．﹣4B．6C．10D．17

【答案】B

【解析】解：

作出不等式组表示的可行域，

如右图中三角形的区域，

作出直线l0：

2x+5y=0，图中的虚线，

平移直线l0，可得经过点（3，0）时，z=2x+5y取得最小值6．

故选：

B．

【2016（理）】在△ABC中，若AB=，BC=3，∠C=120°，则AC=（　　）

A．1B．2C．3D．4

【答案】A

【解析】解：

在△ABC中，若AB=，BC=3，∠C=120°，

AB2=BC2+AC2﹣2AC•BCcosC，

可得：

13=9+AC2+3AC，

解得AC=1或AC=﹣4（舍去）．

【2016（理）】阅读如图的程序图，运行相应的程序，则输出S的值为（　　）

A．2B．4C．6D．8

【答案】B

【解析】解：

第一次判断后：

不满足条件，S=2×4=8，n=2，i＞4，

第二次判断不满足条件n＞3：

第三次判断满足条件：

S＞6，此时计算S=8﹣6=2，n=3，

第四次判断n＞3不满足条件，

第五次判断S＞6不满足条件，S=4．n=4，

第六次判断满足条件n＞3，

故输出S=4，

【2016（理）】设{an}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q＜0”是“对任意的正整数n，a2n﹣1+a2n＜0”的（　　）

A．充要条件B．充分而不必要条件

C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】解：

{an}是首项为正数的等比数列，公比为q，

若“q＜0”是“对任意的正整数n，a2n﹣1+a2n＜0”不一定成立，

例如：

当首项为2，q=﹣时，各项为2，﹣1，，﹣，…，此时2+（﹣1）=1＞0，+（﹣）=＞0；

而“对任意的正整数n，a2n﹣1+a2n＜0”，前提是“q＜0”，

则“q＜0”是“对任意的正整数n，a2n﹣1+a2n＜0”的必要而不充分条件，

【2016（理）】已知双曲线﹣=1（b＞0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为（　　）

A．﹣=1B．﹣=1C．﹣=1D．﹣=1

【答案】D

【解析】解：

以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆的方程为x2+y2=4，双曲线的两条渐近线方程为y=±x，

设A（x，x），则∵四边形ABCD的面积为2b，

∴2x•bx=2b，

∴x=±1

将A（1，）代入x2+y2=4，可得1+=4，∴b2=12，

∴双曲线的方程为﹣=1，

【2016（理）】已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边AB、BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE=2EF，则的值为（　　）

A．﹣B．C．D．

【答案】B

【解析】解：

由DD、E分别是边AB、BC的中点，DE=2EF，可得

=（+）•（﹣）

=（+）•（﹣）

=（+）•（﹣）

=2﹣•﹣2=﹣•1•1•﹣

=．

【2016（理）】已知函数f（x）=（a＞0，且a≠1）在R上单调递减，且关于x的方程|f（x）|=2﹣x恰好有两个不相等的实数解，则a的取值围是（　　）

A．（0，]B．[，]C．[，]∪{}D．[，）∪{}

【答案】C

【解析】解：

y=loga（x+1）+在[0，+∞）递减，则0＜a＜1，

函数f（x）在R上单调递减，则则：

；

解得，；

由图象可知，在[0，+∞）上，|f（x）|=2﹣x有且仅有一个解，

故在（﹣∞，0）上，|f（x）|=2﹣x同样有且仅有一个解，

当3a＞2即a＞时，联立|x2+（4a﹣3）+3a|=2﹣x，

则△=（4a﹣2）2﹣4（3a﹣2）=0，

解得a=或1（舍去），

当1≤3a≤2时，由图象可知，符合条件，

综上：

a的取值围为[，]∪{}，

二、填空题

【2016（理）】已知a，b∈R，i是虚数单位，若（1+i）（1﹣bi）=a，则的值为　　．

【答案】2

【解析】解：

∵（1+i）（1﹣bi）=1+b+（1﹣b）i=a，a，b∈R，

∴，

解得：

，

∴=2，

【2016（理）】（x2﹣）8的展开式中x7的系数为　　（用数字作答）

【答案】-56

【解析】解：

Tr+1==x16﹣3r，

令16﹣3r=7，解得r=3．

∴（x2﹣）8的展开式中x7的系数为=﹣56．

【2016（理）】已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位：

m），则该四棱锥的体积为　m3

【答案】2

【解析】解：

由已知中的三视图可得：

该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，

棱锥的底面是底为2，高为1的平行四边形，故底面面积S=2×1=2m2，

棱锥的高h=3m，

故体积V==2m3，

【2016（理）】如图，AB是圆的直径，弦CD与AB相交于点E，BE=2AE=2，BD=ED，则线段CE的长为　　．

【答案】

【解析】解：

如图，

过D作DH⊥AB于H，

∵BE=2AE=2，BD=ED，

∴BH=HE=1，则AH=2，BH=1，

∴DH2=AH•BH=2，则DH=，

在Rt△DHE中，则，

由相交弦定理可得：

CE•DE=AE•EB，

∴．

故答案为：

．

【2016（理）】已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递增，若实数a满足f（2|a﹣1|）＞f（﹣），则a的取值围是　　．

【答案】（，）

【解析】解：

∵f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递增，

∴f（x）在区间（0，+∞）上单调递减，

则f（2|a﹣1|）＞f（﹣），等价为f（2|a﹣1|）＞f（），

即﹣＜2|a﹣1|＜，

则|a﹣1|＜，即＜a＜，

【2016（理）】设抛物线（t为参数，p＞0）的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B，设C（p，0），AF与BC相交于点E．若|CF|=2|AF|，且△ACE的面积为3，则p的值为　　．

【答案】

【解析】解：

抛物线（t为参数，p＞0）的普通方程为：

y2=2px焦点为F（，0），如图：

过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B，设C（p，0），AF与BC相交于点E．|CF|=2|AF|，

|CF|=3p，|AB|=|AF|=p，A（p，），

△ACE的面积为3，，

可得=S△ACE．

即：

=3，

解得p=．

三、计算题

【2016（理）】已知函数f（x）=4tanxsin（﹣x）cos（x﹣）﹣．

（1）求f（x）的定义域与最小正周期；

（2）讨论f（x）在区间[﹣，]上的单调性．

【解析】解：

（1）∵f（x）=4tanxsin（﹣x）cos（x﹣）﹣．

∴x≠kπ+，即函数的定义域为{x|x≠kπ+，k∈Z}，

则f（x）=4tanxcosx•（cosx+sinx）﹣

=2sinx（cosx+sinx）﹣

=sinxcosx+sin2x﹣

=sin2x+（1﹣cos2x）﹣

=sin2x﹣cos2x﹣

=sin（2x﹣）﹣

则函数的周期T=；

（2）由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，

得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，即函数的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z，

当k=0时，增区间为[﹣，]，k∈Z，

∵x∈[﹣，]，∴此时x∈[﹣，]，

由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，

得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，即函数的减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z，

当k=﹣1时，减区间为[﹣，﹣]，k∈Z，

∵x∈[﹣，]，∴此时x∈[﹣，﹣]，

即在区间[﹣，]上，函数的减区间为∈[﹣，﹣]，增区间为[﹣，]．

【2016（理）】某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4，现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．

（1）设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；

（2）设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望．

【解析】解：

（1）从10人中选出2人的选法共有=45种，

事件A：

参加次数的和为4，情况有：

①1人参加1次，另1人参加3次，②2人都参加2次；

共有+=15种，

∴事件A发生概率：

P==．

（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2．

P（X=0）==

P（X=1）==，

P（X=2）==，

∴X的分布列为：

X

0

1

2

P

∴EX=0×+1×+2×=1．

【2016（理）】如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB=BE=2．

（1）求证：

EG∥平面ADF；

（2）求二面角O﹣EF﹣C的正弦值；

（3）设H为线段AF上的点，且AH=HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值．

【解析】

（1）证明：

取AD的中点I，连接FI，

∵矩形OBEF，∴EF∥OB，EF=OB，

∵G，I是中点，

∴GI∥BD，GI=BD．

∵O是正方形ABCD的中心，

∴OB=BD．

∴EF∥GI，EF=GI，

∴四边形EFIG是平行四边形，

∴EG∥FI，

∵EG⊄平面ADF，FI⊂平面ADF，

∴EG∥平面ADF；

（2）解：

建立如图所示的坐标系O﹣xyz，则B（0，﹣，0），C（，0，0），E（0，﹣，2），

F（0，0，2），

设平面CEF的法向量为=（x，y，z），则，取=（，0，1）

∵OC⊥平面OEF，

∴平面OEF的法向量为=（1，0，0），

∵|cos＜，＞|=

∴二面角O﹣EF﹣C的正弦值为=；

（3）解：

AH=HF，∴==（，0，）．

设H（a，b，c），则=（a+，b，c）=（，0，）．

∴a=﹣，b=0，c=，

∴=（﹣，，），

∴直线BH和平面CEF所成角的正弦值=|cos＜，＞|==．

【2016（理）】已知{an}是各项均为正数的等差数列，公差为d，对任意的n∈N+，bn是an和an+1的等比中项．

（1）设cn=b﹣b，n∈N+，求证：

数列{cn}是等差数列；

（2）设a1=d，Tn=（﹣1）kbk2，n∈N*，求证：

．

【解析】证明：

（1）∵{an}是各项均为正数的等差数列，公差为d，对任意的n∈N+，bn是an和an+1的等比中项．

∴cn=b﹣b=an+1an+2﹣anan+1=2dan+1，

∴cn+1﹣cn=2d（an+2﹣an+1）=2d2为定值；

∴数列{cn}是等差数列；

（2）Tn=（﹣1）kbk2=c1+c3+…+c2n﹣1=nc1+•4d2=nc1+2n（n﹣1）d2，①n∈N*，

由已知c1=b22﹣b12=a2a3﹣a1a2=2da2=2d（a1+d）=4d2，

将c1=4d2，代入①得Tn=n（n+1）d2，

∴==（1﹣…+﹣）=（1﹣）．

即不等式成立．

【2016（理）】设椭圆+=1（a＞）的右焦点为F，右顶点为A．已知+=，其中O为原点，e为椭圆的离心率．

（1）求椭圆的方程；

（2）设过点A的直线l与椭圆交于点B（B不在x轴上），垂直于l的直线与l交于点M，与y轴于点H，若BF⊥HF，且∠MOA≤∠MAO，求直线l的斜率的取值围．

【解析】解：

（1）由+=，得，

即，

∴a[a2﹣（a2﹣3）]=3a（a2﹣3），解得a=2．

∴椭圆方程为；

（2）由已知设直线l的方程为y=k（x﹣2），（k≠0），

设B（x1，y1），M（x0，k（x0﹣2）），

∵∠MOA≤∠MAO，

∴x0≥1，

再设H（0，yH），

联立，得（3+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣12=0．

△=（﹣16k2）2﹣4（3+4k2）（16k2﹣12）=144＞0．

由根与系数的关系得，

∴，，

MH所在直线方程为，

令x=0，得，

∵BF⊥HF，

∴

，

即1﹣x1+y1yH=，

整理得：

，即8k2≥3．

∴或．

【2016（理）】设函数f（x）=（x﹣1）3﹣ax﹣b，x∈R，其中a，b∈R．

（1）求f（x）的单调区间；

（2）若f（x）存在极值点x0，且f（x1）=f（x0），其中x1≠x0，求证：

x1+2x0=3；

（3）设a＞0，函数g（x）=|f（x）|，求证：

g（x）在区间[0，2]上的最大值不小于．

【解析】解：

（1）函数f（x）=（x﹣1）3﹣ax﹣b的导数为

f′（x）=3（x﹣1）2﹣a，

当a≤0时，f′（x）≥0，f（x）在R上递增；

当a＞0时，当x＞1+或x＜1﹣时，f′（x）＞0，

当1﹣＜x＜1+，f′（x）＜0，

可得f（x）的增区间为（﹣∞，1﹣），（1+，+∞），减区间为（1﹣，1+）；

（2）证明：

f′（x0）=0，可得3（x0﹣1）2=a，

由f（x0）=（x0﹣1）3﹣3x0（x0﹣1）2﹣b=（x0﹣1）2（﹣2x0﹣1）﹣b，

f（3﹣2x0）=（2﹣2x0）3﹣3（3﹣2x0）（x0﹣1）2﹣b

=（x0﹣1）2（8﹣8x0﹣9+6x0）﹣b=（x0﹣1）2（﹣2x0﹣1）﹣b，

即为f（3﹣2x0）=f（x0）=f（x1），

即有3﹣2x0=x1，即为x1+2x0=3；

（3）证明：

要证g（x）在区间[0，2]上的最大值不小于，

即证在[0，2]上存在x1，x2，使得g（x1）﹣g（x2）≥．

当a≥3时，f（x）在[0，2]递减，f

（2）=1﹣2a﹣b，f（0）=﹣1﹣b，

f（0）﹣f

（2）=2a﹣2≥4＞，递减，成立；

当0＜a＜3时，f（1﹣）=（﹣）3﹣a（1﹣）﹣b=﹣﹣a+a﹣b

=﹣a﹣b，

f（1+）=（）3﹣a（1+）﹣b=﹣a﹣a﹣b

=﹣﹣a﹣b，

f

（2）=1﹣2a﹣b，f（0）=﹣1﹣b，

f

（2）﹣f（0）=2﹣2a，

若0＜a≤时，f

（2）﹣f（0）=2﹣2a≥成立；

若a＞时，f（1﹣）﹣f（1+）=＞成立．

综上可得，g（x）在区间[0，2]上的最大值不小于．

2016年市高考数学试卷（理科）

一、选择题

1．【2016（理）】已知集合A={1，2，3，4}，B={y|y=3x﹣2，x∈A}，则A∩B=（　　）

A．{1}B．{4}C．{1，3}D．{1，4}

2．【2016（理）】设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+5y的最小值为（　　）

A．﹣4B．6C．10D．17

3．【2016（理）】在△ABC中，若AB=，BC=3，∠C=120°，则AC=（　　）

A．1B．2C．3D．4

4．【2016（理）】阅读如图的程序图，运行相应的程序，则输出S的值为（　　）

A．2B．4C．6D．8

5．【2016（理）】设{an}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q＜0”是“对任意的正整数n，a2n﹣1+a2n＜0”的（　　）

A．充要条件B．充分而不必要条件

C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件

6．【2016（理）】已知双曲线﹣=1（b＞0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为（　　）

A．﹣=1B．﹣=1C．﹣=1D．﹣=1

7．【2016（理）】已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边AB、BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE=2EF，则的值为（　　）

A．﹣B．C．D．

8．【2016（理）】已知函数f（x）=（a＞0，且a≠1）在R上单调递减，且关于x的方程|f（x）|=2﹣x恰好有两个不相等的实数解，则a的取值围是（　　）

A．（0，]B．[，]C．[，]∪{}D．[，）∪{}

二、填空题

9．【2016（理）】已知a，b∈R，i是虚数单位，若（1+i）（1﹣bi）=a，则的值为　　　　　　．

10．【2016（理）】（x2﹣）8的展开式中x7的系数为　　　　　　（用数字作答）

11．【2016（理）】已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位：

m），则该四棱锥的体积为

　　　　　　m3

12．【2016（理）】如图，AB是圆的直径，弦CD与AB相交于点E，BE=2AE=2，BD=ED，则线段CE的长为　　　　　　．

13．【2016（理）】已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递增，若实数a满足f（2|a﹣1|）＞f（﹣），则a的取值围是　　　　　　．

14．【2016（理）】设抛物线（t为参数，p＞0）的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B，设C（p，0），AF与BC相交于点E．若|CF|=2|AF|，且△ACE的面积为3，则p的值为　　　　　　．

三、计算题

15．【2016（理）】已知函数f（x）=4tanxsin（﹣x）cos（x﹣）﹣．

（1）求f（x）的定义域与最小正周期；

（2）讨论f（x）在区间[﹣，]上的单调性．

16．【2016（理）】某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4，现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．

（1）设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；

（2）设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望．

17．【2016（理）】如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB=BE=2．

（1）求证：

EG∥平面ADF；

（2）求二面角O﹣EF﹣C的正弦值；

（3）设H为线段AF上的点，且AH=HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值．

18．【2016（理）】已知{an}是各项均为正数的等差数列，公差为d，对任意的n∈N+，bn是an和an+1的等比中项．

（1）设cn=b﹣b，n∈N+，求证：

数列{cn}是等差数列；

（2）设a1=d，Tn=（﹣1）kbk2，n∈N*，求证：

．

19．【2016（理）】设椭圆+=1（a＞）的右焦点为F，右顶点为A．已知+=，其中O为原点，e为椭圆的离心率．

（1）求椭圆的方程；

（2）设过点A的直线l与椭圆交于点B（B不在x轴上），垂直于l的直线与l交于点M，与y轴于点H，若BF⊥HF，且∠MOA≤∠MAO，求直线l的斜率的取值围．

20．【2016（理）】设函数f（x）=（x﹣1）3﹣ax﹣b，x∈R，其中a，b∈R．

（1）求f（x）的单调区间；

（2）若f（x）存在极值点x0，且f（x1）=f（x0），其中x1≠x0，求证：

x1+2x0=3；

（3）设a＞0，函数g（x）=|f（x）|，求证：

g（x）在区间[0，2]上的最大值不小于．