高考数学难点突破 难点14 数列综合应用问题2.docx
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高考数学难点突破难点14数列综合应用问题2
Jupjrn高考数学难点突破难点14数列综合应用问题
秋风清,秋月明,落叶聚还散,寒鸦栖复惊。
难点14数列综合应用问题
纵观近几年的高考,在解答题中,有关数列的试题出现的频率较高,不仅可与函数、方程、不等式、复数相联系,而且还与三角、立体几何密切相关;数列作为特殊的函数,在实际问题中有着广泛的应用,如增长率,减薄率,银行信贷,浓度匹配,养老保险,圆钢堆垒等问题.这就要求同学们除熟练运用有关概念式外,还要善于观察题设的特征,联想有关数学知识和方法,迅速确定解题的方向,以提高解数列题的速度.
●难点磁场
(★★★★★)已知二次函数y=f(x)在x=
(1)求y=f(x)的表达式;
(2)若任意实数x都满足等式f(x)·g(x)+anx+bn=xn+1[g(x)]为多项式,n∈N*),试用t表示an和bn;
(3)设圆Cn的方程为(x-an)2+(y-bn)2=rn2,圆Cn与Cn+1外切(n=1,2,3,„);{rn}是各项都是正数的等比数列,记Sn为前n个圆的面积之和,求rn、Sn.
●案例探究
[例1]从社会效益和经济效益出发,某地投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游产业,根据规划,本年度投入800万元,以后每年投入将比上年减少
15
t22
t
2
处取得最小值-
4
(t>0),f
(1)=0.
,本年度当地旅游
业收入估计为400万元,由于该项建设对旅游业的促进作用,预计今后的旅游业收入每年会比上年增加
14
.
(1)设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元,旅游业总收入为bn万元,写出an,bn的表达式;
(2)至少经过几年,旅游业的总收入才能超过总投入?
命题意图:
本题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式等基础知识;考查综合运用数学知识解决实际问题的能力,本题有很强的区分度,属于应用题型,正是近几年高考的热点和重点题型,属★★★★★级题目.
知识依托:
本题以函数思想为指导,以数列知识为工具,涉及函数建模、数列求和、不等式的解法等知识点.
错解分析:
(1)问an、bn实际上是两个数列的前n项和,易与“通项”混淆;
(2)问是既解一元二次不等式又解指数不等式,易出现偏差.
技巧与方法:
正确审题、深刻挖掘数量关系,建立数量模型是本题的灵魂,
(2)问中指数不等式采用了换元法,是解不等式常用的技巧.
解:
(1)第1年投入为800万元,第2年投入为800×(1-×(1-
15
15
)万元,„第n年投入为800
)n-1万元,所以,n年内的总投入为
15
15
n-1
n
an=800+800×(1-)+„+800×(1-)
=800×(1-
k1
15
)k-1
=4000×[1-(
45
)]
14
n
第1年旅游业收入为400万元,第2年旅游业收入为400×(1+收入400×(1+
14
),„,第n年旅游业
)n-1万元.所以,n年内的旅游业总收入为
14
14
k-1
n
bn=400+400×(1+
54
)+„+400×(1+)
=400×(
k1
54
)k-1.
=1600×[(
)n-1]
(2)设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入,由此bn-an>0,即:
1600×[(
54
)n-1]-4000×[1-(
25
45
)n]>0,令x=(
45
45
)n,代入上式得:
5x2-7x+2>
0.解此不等式,得x<,或x>1(舍去).即(
)n<
25
,由此得n≥5.
∴至少经过5年,旅游业的总收入才能超过总投入.[例2]已知Sn=1+
21
13
+„+
1n
,(n∈N*)设f(n)=S2n+1-Sn+1,试确定实数m的取值范围,
2
使得对于一切大于1的自然数n,不等式:
f(n)>[logm(m-1)]-立.
1120
[log(m-1)m]恒成
2
命题意图:
本题主要考查应用函数思想解决不等式、数列等问题,需较强的综合分析问题、解决问题的能力.属★★★★★级题目.
知识依托:
本题把函数、不等式恒成立等问题组合在一起,构思巧妙.
错解分析:
本题学生很容易求f(n)的和,但由于无法求和,故对不等式难以处理.技巧与方法:
解决本题的关键是把f(n)(n∈N*)看作是n的函数,此时不等式的恒成立就转化为:
函数f(n)的最小值大于[logm(m-1)]2-
解:
∵Sn=1+
21
13
1120
[log(m-1)m]2.
+„+
1n1
.(n∈N*)
1n312n3
12n4
1n2)0
12n1
12n2
12n3
22n4
f(n)S2n1Sn1又f(n1)f(n)(
12n2
12n4
1
n2
2n2
1
)(
2n3
∴f(n+1)>f(n)
∴f(n)是关于n的增函数∴f(n)min=f
(2)=
122
1231120920
∴要使一切大于1的自然数n,不等式f(n)>[logm(m-1)]-
2
[log(m-1)m]恒成立
2
只要9
20>[logm(m-1)]-211
20[log(m-1)m]成立即可2
由m0,m1
m10,m11得m>1且m≠2
2此时设[logm(m-1)]=t则t>0119t于是2020解得0<t<1
t0
由此得0<[logm(m-1)]<1
解得m>1
22且m≠2.
●锦囊妙计
1.解答数列综合题和应用性问题既要有坚实的基础知识,又要有良好的思维能力和分析、解决问题的能力;解答应用性问题,应充分运用观察、归纳、猜想的手段,建立出有关等差(比)数列、递推数列模型,再综合其他相关知识来解决问题.
2.纵观近几年高考应用题看,解决一个应用题,重点过三关:
(1)事理关:
需要读懂题意,明确问题的实际背景,即需要一定的阅读能力.
(2)文理关:
需将实际问题的文字语言转化数学的符号语言,用数学式子表达数学关系.
(3)事理关:
在构建数学模型的过程中;要求考生对数学知识的检索能力,认定或构建相应的数学模型,完成用实际问题向数学问题的转化.构建出数学模型后,要正确得到问题的解,还需要比较扎实的基础知识和较强的数理能力.
●歼灭难点训练
一、选择题
1.(★★★★★)已知二次函数y=a(a+1)x2-(2a+1)x+1,当a=1,2,„,n,„时,其抛物线在x轴上截得的线段长依次为d1,d2,„,dn,„,则lim(d1+d2+„+dn)的值是()
n
A.1
二、填空题B.2C.3D.4
2.(★★★★★)在直角坐标系中,O是坐标原点,P1(x1,y1)、P2(x2,y2)是第一象限的两个点,若1,x1,x2,4依次成等差数列,而1,y1,y2,8依次成等比数列,则△OP1P2的面积是_________.
3.(★★★★)从盛满a升酒精的容器里倒出b升,然后再用水加满,再倒出b升,再用水加满;这样倒了n次,则容器中有纯酒精_________升.
4.(★★★★★)据2000年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》:
“20XX年国内生产总值达到95933亿元,比上年增长7.3%,”如果“十·五”期间(20XX年~20XX年)每年的国内生产总值都按此年增长率增长,那么到“十·五”末我国国内年生产总值约为_________亿元.
三、解答题
5.(★★★★★)已知数列{an}满足条件:
a1=1,a2=r(r>0),且{anan+1}是公比为q(q>0)的等比数列,设bn=a2n-1+a2n(n=1,2,„).
(1)求出使不等式anan+1+an+1an+2>an+2an+3(n∈N*)成立的q的取值范围;
(2)求bn和lim1
Sn,其中Sn=b1+b2+„+bn;n
(3)设r=219.2-1,q=1
2,求数列{log2bn1log2bn}的最大项和最小项的值.
6.(★★★★★)某公司全年的利润为b元,其中一部分作为奖金发给n位职工,奖金分配方案如下:
首先将职工按工作业绩(工作业绩均不相同)从大到小,由1到n排序,第1位职工得奖金b
n元,然后再将余额除以n发给第2位职工,按此方法将奖金逐一发给每位职
工,并将最后剩余部分作为公司发展基金.
(1)设ak(1≤k≤n)为第k位职工所得奖金金额,试求a2,a3,并用k、n和b表示ak(不必证明);
(2)证明ak>ak+1(k=1,2,„,n-1),并解释此不等式关于分配原则的实际意义;
(3)发展基金与n和b有关,记为Pn(b),对常数b,当n变化时,求limPn(b).
n
7.(★★★★)据有关资料,1995年我国工业废弃垃圾达到7.4×10吨,占地562.4平方公里,若环保部门每年回收或处理1吨旧物资,则相当于处理和减少4吨工业废弃垃圾,并可节约开采各种矿石20吨,设环保部门1996年回收10万吨废旧物资,计划以后每年递增20%的回收量,试问:
(1)20XX年回收废旧物资多少吨?
(2)从1996年至20XX年可节约开采矿石多少吨(精确到万吨)?
(3)从1996年至20XX年可节约多少平方公里土地?
8.(★★★★★)已知点的序列An(xn,0),n∈N,其中x1=0,x2=a(a>0),A3是线段A1A2的中点,A4是线段A2A3的中点,„,An是线段An-2An-1的中点,„.
(1)写出xn与xn-1、xn-2之间关系式(n≥3);
(2)设an=xn+1-xn,计算a1,a2,a3,由此推测数列{an}的通项公式,并加以证明;
(3)求limxn.
n8
参考答案
难点磁场
解:
(1)设f(x)=a(x-
2t22)-2t24,由f
(1)=0得a=1.∴f(x)=x-(t+2)x+t+1.
(2)将f(x)=(x-1)[x-(t+1)]代入已知得:
(x-1)[x-(t+1)]g(x)+anx+bn=xn+1,上式对任意的x∈R都成立,取x=1和x=t+1分别代入上式得:
1t1anbn1n+1n且t≠0,解得a=[(t+1)-1],b=[1-(t+1])nnn1tt(t1)anbn(t1)
(3)由于圆的方程为(x-an)2+(y-bn)2=rn2,又由
(2)知an+bn=1,故圆Cn的圆心On在直线
n+1x+y=1上,又圆Cn与圆Cn+1相切,故有rn+rn+1=2|an+1-an|=2(t+1)
设{rn}的公比为q,则
rnrnq2(t1)
n2
rn1rn1q2(t1)
n1
①
②
②÷①得q=
rn1rn
2
=t+1,代入①得rn=
2(t1)t2
n1
∴Sn=π
2
(r1+r2+„+rn)=
2
r1(q
2
22n
1)
q1
2(t1)t(t2)
3
4
[(t+1)-1]
2n
歼灭难点训练
一、1.解析:
当a=n时y=n(n+1)x-(2n+1)x+1由|x1-x2|=
112
123
a
2
,得dn=
1n(n1)
1n(n1)
,∴d1+d2+„+dn
12
13
1n
1n1
1n1
1
12
1
1
lim(d1d2dn)lim(1
n
n
n1
)1
答案:
A二、2.解析:
由1,x1,x2,4依次成等差数列得:
2x1=x2+1,x1+x2=5解得x1=2,x2=3.又由1,y1,y2,8依次成等比数列,得y1=y2,y1y2=8,解得y1=2,y2=4,
∴P1(2,2),P2(3,4).∴OP1(2,2),OP2=(3,4)∴OP1OP26814,OP122,|OP2|5,
cosP1OP2
12
12
14522
127210
,sinP1OP2
210
210
2
SOP1P2
|OP1||OP2|sinP1OP2
2251
答案:
1
3.解析:
第一次容器中有纯酒精a-b即a(1-
a(1
b
ba
)升,第二次有纯酒精a(1-
ba
)-
)
ab,即a(1-b)2升,故第n次有纯酒精a(1-b)n升.aaa
答案:
a(1-
ba
)n
4.解析:
从20XX年到20XX年每年的国内生产总值构成以95933为首项,以7.3%为公比的等比数列,∴a5=95933(1+7.3%)4≈120000(亿元).
答案:
120000三、
5.解:
(1)由题意得rqn-1+rqn>rqn+1.由题设r>0,q>0,故从上式可得:
q2-q-1<0,解
得
12
5
<q<
12
5
,因q>0,故0<q<
bn1bn
12
5
;
a2n1qa2nqa2n1a2n
n-1
(2)∵
an1an2anan1
an2an
q,
a2n1a2n2a2n1a2n
q0.b1=1+r≠0,所以
{bn}是首项为1+r,公比为q的等比数列,从而bn=(1+r)q.
当q=1时,Sn=n(1+r),
limlim
1Sn1Sn
limlim
1n(1r)
0;当0q1时,Sn
1q1r,
1q
,(0q1)
1r
0,(q1)
;
(1r)(1q)
1q
n
,
nn
1q(1r)(1q)
nn
nn
当q1时,Sn
1Sn
(1r)(1q)
1q1q
1Sn
lim
n
lim
n
(1r)(1q)
n1
n
0,所以lim
n
(3)由
(2),有bn(1r)qlog2bn1log2bn
log2[(1r)q]log2[(1r)q
n1
n
]
log2(1r)nlog2qlog2(1r)(n1)log2q
1
1n20.2
.
记Cn
log2bn1log2bn
,从上式可知,当n-20.2>0,即n≥21(n∈N*)时,Cn随n的增大而减
小,故
1<Cn≤C21=1+
12120.210.2
1
10.8
=2.25①
当n-20.2<0,即n≤20(n∈N*)时,Cn也随n的增大而减小,故1>Cn≥C20=1+
12020.2
1
=-4②
综合①②两式知,对任意的自然数n有C20≤Cn≤C21,故{Cn}的最大项C21=2.25,最小项C20=-4.
6.解:
(1)第1位职工的奖金a1=金a3=
1n
bn
,第2位职工的奖金a2=
1n
1n
(1-
1n
)b,第3位职工的奖
(1-
1n
)2b,„,第k位职工的奖金ak=
1n
2
(1-
1n
)k-1b;
(2)ak-ak+1=的原则.
(1-
1n
)k-1b>0,此奖金分配方案体现了“按劳分配”或“不吃大锅饭”
(3)设fk(b)表示奖金发给第k位职工后所剩余数,则f1(b)=(1-
1n
1n
)b,f2(b)=(1-
)2b,„,fk(b)=(1-
1n
)kb.得Pn(b)=fn(b)=(1-
1n
)nb,
故limPn(b)
n
be
.
7.解:
设an表示第n年的废旧物资回收量,Sn表示前n年废旧物资回收总量,则数列{an}是以10为首项,1+20%为公比的等比数列.
(1)a6=10(1+20%)5=10×1.25=24.8832≈25(万吨)
(2)S6=
10[(120%)
6
1]
(120%)1
10
1.610.2
6
=99.2992≈99.3(万吨)
∴从1996年到2000年共节约开采矿石20×99.3≈1986(万吨)
(3)由于从1996年到20XX年共减少工业废弃垃圾4×99.3=397.2(万吨),∴从1996年到20XX年共节约:
562.4397.210
7.410
8
4
≈3平方公里.
xn1xn2
2
8.解:
(1)当n≥3时,xn=;
x2
12(1212
(x2x1)a)
14a
12a,
(2)a1x2x1a,a2x3x2a2x4x3
x3x2
2
x3
12
x2x1
2
(x3x2)
由此推测an=(-
12
)n-1a(n∈N)
证法一:
因为a1=a>0,且
anxn1xn
xnxn1
2
xn
xn1xn
2
12
(xnxn1)
12
an1(n≥2)
所以an=(-
12
)n-1a.
证法二:
用数学归纳法证明:
(ⅰ)当n=1时,a1=x2-x1=a=(-
12
)0a,公式成立;
12
(ⅱ)假设当n=k时,公式成立,即ak=(-那么当n=k+1时,ak+1=xk+2-xk+1=
12(12)
k1
)k-1a成立.
xk1xk
212)
xk1
12
(xk1xk)
12
ak
a(
(k1)1
a公式仍成立.
12
据(ⅰ)(ⅱ)可知,对任意n∈N,公式an=(-
)n-1a成立.
(3)当n≥3时,有xn=(xn-xn-1)+(xn-1-xn-2)+„+(x2-x1)+x1=an-1+an-2+„+a1,
由
(2)知{an}是公比为-的等比数列,所以limxn
2
n
1
a11(
12)
23
a.
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