最新高等数学上册期末考试试题含答案TT.docx
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最新高等数学上册期末考试试题含答案TT
2019最新高等数学期末考试试题(含答案)
一、解答题
1.一动点沿抛物线y=x2运动,它沿x轴方向的分速度为3cm·s-1,求动点在点(2,4)时,沿y轴的分速度.
解:
当x=2时,
(cm·s-1).
2.将函数f(x)=x-1(0≤x≤2)展开成周期为4的余弦级数.
解:
将f(x)作偶延拓,作周期延拓后函数在(-∞,+∞)上连续,则有bn=0(n=1,2,3,…)
故
(0≤x≤2)
3.写出下列以2π为周期的周期函数的傅里叶级数,其中f(x)在[-π,π)上的表达式为:
(1)
(2)
;
(3)
(4)
.
解:
(1)函数f(x)满足狄利克雷定理的条件,x=nπ,n∈z是其间断点,在间断占处f(x)的傅里叶级数收敛于
,在x≠nπ,有
于是f(x)的傅里叶级数展开式为
(x≠nπ)
(2)函数f(x)在(-∞,+∞)上连续,故其傅里叶级数在(-∞,+∞)上收敛于f(x),注意到f(x)为偶函数,从而f(x)cosnx为偶函数,f(x)sinnx为奇函数,于是
,
,
(n=1,2,…)
所以,f(x)的傅里叶级数展开式为:
(-∞ (3)函数在x=(2n+1)π(n∈z)处间断,在间断点处,级数收敛于0,当x≠(2n+1)π时,由f(x)为奇函数,有an=0,(n=0,1,2,…) 所以 (x≠(2n+1)π,n∈z) (4)因为 作为以2π为周期的函数时,处处连续,故其傅里叶级数收敛于f(x),注意到f(x)为偶函数,有bn=0(n=1,2,…), 所以f(x)的傅里叶级数展开式为: x∈[-π,π] 4.将 展开成(x+4)的幂级数. 解: 而 又 所以 5.设某企业固定成本为50,边际成本和边际收入分别为 C′(x)=x2-14x+111,R′(x)=100-2x. 试求最大利润. 解: 设利润函数L(x). 则L(x)=R(x)-C(x)-50 由于L′(x)=R′(x)-C(x)=(100-2x)-(x2-14x+111)=-x2+12x-11 令L′(x)=0得x=1,x=11. 又当x=1时,L″(x)=-2x+12>0.当x=11时L″(x)<0,故当x=11时利润取得最大值.且最大利润为 L(11)= 6.求正弦交流电 经过半波整流后得到电流 的平均值和有效值。 解: 有效值 故有效值为 . 7.有一等腰梯形闸门,它的两条底边各长10m和6m,高为20m,较长的底边与水面相齐,计算闸门的一侧所受的水压力. 解: 如图20,建立坐标系,直线AB的方程为 . 压力元素为 所求压力为 (20) =1467(吨)=14388(KN) 8.设有一截锥体,其高为h,上、下底均为椭圆,椭圆的轴长分别为2a,2b和2A,2B,求这截锥体的体积。 解: 如图16建立直角坐标系,则图中点E,D的坐标分别为: E(a,h),D(A,0),于是得到ED所在的直线方程为: (16) 对于任意的y∈[0,h],过点(0,y)且垂直于y轴的平面截该立体为一椭圆,且该椭圆的半轴为: ,同理可得该椭圆的另一半轴为: . 故该椭圆面积为 从而立体的体积为 .
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