FIR滤波器和IIR滤波器格型结构.docx
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FIR滤波器和IIR滤波器格型结构
4・3・5全零点格型结构
1973年,Gray和Markel提出一种新的系统结构形式,即格型结构(latticestructure)。
这是一种很有用的结构,在功率谱估计、语音处理、自适应滤波等方面以得到了广泛的应用。
这种结构的优点是,对有限字长效应的敏感度低,且适合递推算法。
这种结构有三种形式,即适用于FIR系统的全极点格型结构和适用于IIR系统的全极点
和零极点格型结构。
下面先介绍图7.10所示的全零点格型结构。
其他两种个性结构将留到
第4.3节讨论。
格型结构是由多个基本单元级联起来的一种极为规范化的结构。
图7.11示出其中的第
m极。
与fir滤波器的直接型结构一样,全零点格型结构也是没有反馈支路的,
第1级第2皴■…第级第阳级
:
厂jZ-1;:
z1:
z1f
g血)£0)爲也)裁1火)£如⑷£则何
图7.10全零点格型结构
图7.11全零点格型结构的基本单元
让我们从一组FIR滤波器的系统函数开始研究全零点格型结构。
图7.10中,以x(n)为输入序列,后接M个格型级,这样就形成M个滤波器:
第m
(m=1,2,...,M)个滤波器有两个输出,即上输出fm(n)和下输出gm(n)。
以fm(n)为输
出的滤波器称为前向滤波器;以gm(n)为输出的滤波器称为后向滤波器。
对于M个前向FIR滤波器,它们的系统函数为:
(18)
Hm(z)=Am(z),m=1,2,...,M
式中,AJz)是多项式:
m
Am(z)=1'am(k)z=1EmEM(19)
k=±
这里,为了数学推导的方便,令式子右边第
1项为1;下标m代表滤波器序号,也代表滤波
器的阶数,例如,给定a(0)=1以及a
(1),a
(2),…,a(M),则第4个滤波器的系统函数为
出⑵=1a4
(1)z」a4
(2)z,a°⑶z;a4(4)z,
设第m个滤波器的输入、输出序列分别是x(n)和y(n),则
m
y(n)=x(n)'am(k)x(n-k)(21)
k4
其直接型实现如图12所示。
图7.12FIR滤波器的一种直接实现形式
m=1阶滤波器的输出可表示为
y(n)=x(n)冃
(1)x(n-1)(22)
该输出也可以从图12所示的第一级格型滤波器得到。
图中,两个输入端联在一起,激励信
号为x(n)。
从两个输出端得到的信号分别为f,(n)和g(n):
下1(n)=x(n)+kox(n—1)
丿(23)
g(n)=k°x(n)-x(n-1)
其次我们考虑二阶FIR滤波器,它的直接型结构输出为
y(n)=x(n)a2
(1)x(n-1)a2
(2)x(n-2)
=[x(n)x(n-1)x(n-2)][1a2
(1)a?
(2)]T(24)
上式将输出y(n)表示为两个向量的内积,T表示向量转置。
相应地,这个二阶滤波器可以用两个级联的格型单元(图10前面的两级)来实现。
,
图中,第一级的输出为
f1(n)=x(n)+k|X(nT)
丿(25)
41(n)=k1X(n)—x(n—1)
丫2(n)=人(n)+k2®(n-1)加n)*£(n)p(n-1)
将式(25)中的fMn)代入式(26)中,得
=x(n)k1(Vk2)x(n一1)k2x(n一2)
(27)
现在令式(24)和式(27)的系数相等,即
鬼⑵=k2,a2
(1)-k1(1k2)
(28)
于是,
得二阶格型结构的参数
ka⑺k弘⑴
(29)
©-a2
(2),k1-
1a2
(2)
其中,
k^a2
(2)这个结果是很容易理解的。
从图7.12看,如果滤波器阶数
m=2,则时
延为2的输入输出传输值为a2
(2),而从图7.10看,从输入到上端输出有三条可能的支路,而其中时延为2的支路传输值为k1。
如果这两个流图等效,则应有k2=a2
(2)。
因此可以推
论,若有m个格型级,则其最右边的支路km与直接型结构的参数am(m)相等:
km=am(m)(30)
为了得到其它支路传输值kmd,km^,...,k1与直接型结构的参数之间的关系,我们需要从图
7.10所示的M阶格型结构的最右边做起:
根据M阶滤波器的直接型参数,依次求
M-1,M-2,M-3,...,1阶滤波器的直接型参数。
这是降阶递推。
只要求出m阶滤波器
的系数组{am(k),k=1,2,...,m},则格型结构的支路传输km=am(m)。
式(29)表明,二阶格型结构的两个参数k1和k2可以根据直接型结构的参数求出。
继
续这个过程,可以得到一个m阶直接型fir滤波器和一个m阶或m级格型滤波器之间的等效性。
按照图7.10,格型滤波器可用递归方程描述为
f°(n)ng°(n)=x(n)
(31)
fm(n)=fm4(n)kmgm4(n-1),m=1,2,...,M-1
(32)
gm(n)=kmfm4(n)gm4(n-1),m=1,2,...,M-1
(33)
因此,第M-1级滤波器的输出相当于M-1阶FIR滤波器的输出,即
y(n)f4(n)(34)
因为fir滤波器和格型滤波器的输出fm(n)可以表示为
g2(n)=k2fi(n)gi(n-1)
二k2[x(n)Kx(n-1)]Kx(n-1)x(n-2)
二k2X(n)匕(1-k2)x(n「1)x(n-2)
=a2
(2)x(n)a2
(1)x(n-1)x(n-2)
=[x(n)x(n-1)x(n-2)]他
(2)a?
。
)1]T(37)
可见,对于g2(n)为输出的后向滤波器,滤波系数组为[a2
(2)a2
(1)1],而对于以f2(n)
为输出的滤波器,滤波系数组按相反次序排列,为[1a2
(1)a2
(2)]。
根据以上分析。
可见m级格型滤波器的输出gm(n)可以用卷积和形式表示为
m
(38)
gm(n)八:
m(k)x(n-k)
k=0
式中,滤波系数-m(k)与产生输出fm(n)=y(n)的另一滤波器有关,只不过操作次序相反。
例如,如果m=6,
a6(0)=1月6
(1)=2代
(2)=4旦⑶二7旦(4)=5月6(5)=3,a6(6)=6,
-6(6)=1,飞(5)=2,飞(4)=4,飞(3)=7,飞
(2)=5,飞
(1)=6(0)=6
k=0,1,...,m
Pm(k)=am(m-k),fm(m)=1
在Z域中,式(38)变为
(40)
Gm(Z)=Bm(Z)X(Z)
这里,Bm(Z)是下输出端相对于输入端的系统函数;
m
(42)
Bm(Z)八F(k)Z上
k=0
因为F(k)=am(m-k),故
mmm
Bm(z)八am(m-k)Z丄八am(j)zj』二Z』'am(j)zj
k=0j=0j=0
二Z』An(Z」)(43)
这个式子描述前、后向滤波器系统函数之间的关系。
现在我们回到式(31)~(33)的递推方程组,并把它们变换到Z域,得
Fo(z)=Go(z)=X(z)(44)
1
Fm(z)-Fmj(z)kmZGm4(z),m=1,2,...,M-1(45)
Gm(z)二kmFmOz」Gm」(z),m=1,2,...,M-1(46)
各式除以X(Z)并利用前面的关系式,可得
利用式(47)~(49)可以根据格型滤波器系数,从m=1开始按升阶递推法求出直接
型滤波器系数。
例给定三级格型滤波器如图13所示。
确定与之等效的直接型结构的FIR滤波器系数。
z-]
z-1
岛=62」,=12,
图13给定三级格型滤波器
解根据式(48),得
A(z)=Ao(z)艰也(z)
因此,对应于单级格型的FIR滤波器系数为印(0)=1。
1
6
(1)二匕,因Bm(z)是Am(z)的反转多项式,故
4
Bdz)」zd
4
A2(z)=A(Z)Kz」Bi(z)
3z」-z^
3z"z"
A3(Z)二A2(Z)k3Z^2(z)
因此,
与给定三级格型滤波器等效的直接型FIR滤波器系数为
93(0)=1,33(1^7^,33
(2)(3)
248
1351
玄⑼珂玄⑴二玄玄⑵=弄3⑶-
假定已知M阶直接型FIR滤波器的系数或者多项式A(z),我们希望确定相应的格型
滤波器的系数组{ki,i=1,2,...,M}。
对于第M个格型级,可直接得出kM二Am(M),所以,
只需从M—1开始降阶递推过程。
为了得到kMj,只需求出多项式
Ami(Z)=1Am』)Z,...州」(M-1)Z」M
就可以得到kMi=Amj(M-1)。
根据式(48)和式(49),可以得到降阶递推关系:
Am(Z)二Amd(Z)讣乜亠⑵
=Am」(Z)心咼⑵-kmAm^Z)]
曰
是,
(51)
片二⑵二州畀-第気⑵,
1—心
设FIR滤波器的系统函数为
H(z)讥(z)=113zd[z*
248
确定对应于该FIR滤波器的格型系数。
1
解首先,直接得出k3二a3(3),而且
3
B3⑺E十5宀易宀Z'
在m=4的情况下,利用式(51)降阶递推,得
®A^=1討尹
113
因此,k2=a2
(2)和B2(z)z4Z。
228
最后,在m=2的情况下,再降阶递推,得
A⑦-k2B2(z)
A1⑵二—
因此,
1ki二A
(1)
4
图13示出所得三级格型滤波器。
4.3.5IIR系统的全极点格型结构
H(Z)二M(12)
1-\akZ上
kJ
与M阶FIR系统函数相比较,可见这两种系统互为逆系统。
我们在第节以研究了FIR
系统的(全零点)格型结构。
现在我们要基于式(12)找出IIR系统的全极点格型结构。
最
简单的途径就是研究逆系统的信号流图,从中找出规律。
给定一阶FIR系统函数为
Y(z)
H(z)ck1zJ(13)
X(z)
则差分方程为
y(n)二cx(n)k1x(n-1)(14)
图19是相应的信号流图
图佃一阶FIR系统
逆系统的系统函数为
(15)
H'(z)4J
X(z)c+焜
其差分方程为
(16)
1y(n)[x(n)-ky(n-1)]
c
图20示出相应的信号流图。
兀(加0—^0^0—^0丿何
I—
统。
图20一阶FIR系统的逆系统
图21从一阶FIR系统得到其逆系统的中间步骤
于是,可以用上述方法从图7.10的全零点格型结构得到图7.22的全极点结构
第1簸第2级•…第级第肘级
3)g从阿站禺)£阿期⑹飭何
图7.22全极点格型结构
出该结构。
解:
13a5二13
例已求出FIR系统函数为HFir(Z)=1zzZ的格型结构,如图
2483
7.23所示。
岛=132-1,^2=1/2,=1/3
图7.233阶FIR系统的格型结构
图7
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- FIR 滤波器 IIR 结构