《高等数学一》第四章微分中值定理和导数的应用课后习题汇总含答案解析.docx
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《高等数学一》第四章微分中值定理和导数的应用课后习题汇总含答案解析
第四章微分中值定理和导数的应用
[单选题]
1、
曲线
的渐近线为( )。
A、仅有铅直渐近线
B、仅有水平渐近线
C、既有水平渐近线又有铅直渐近线
D、无渐近线
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】B
【您的答案】您未答题
【答案解析】
本题考察渐近线计算.
因为
,所以y存在水平渐近线,且无铅直渐近线。
[单选题]
2、
在区间[0,2]上使罗尔定理成立有中值为ξ为( )
A、4
B、2
C、3
D、1
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】D
【您的答案】您未答题
【答案解析】
,罗尔定理是满足等式f′(ξ)=0,从而2ξ-2=0,ξ=1.
[单选题]
3、
,则
待定型的类型是( ).
A、
B、
C、
D、
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】D
【您的答案】您未答题
【答案解析】
由于当x趋于1时,lnx趋于0,ln(1-x)趋于无穷,所以是
型.
[单选题]
4、
下列极限不能使用洛必达法则的是( ).
A、
B、
C、
D、
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】D
【您的答案】您未答题
【答案解析】
由于当x趋于无穷时,cosx的极限不存在,所以不能用洛必达法则.
[单选题]
5、
在区间[1,e]上使拉格朗日定理成立的中值为ξ=( ).
A、1
B、2
C、e
D、
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】D
【您的答案】您未答题
【答案解析】本题考察中值定理的应用。
[单选题]
6、
如果在
内
,且
在
连续,则在
上( ).
A、
B、
C、
D、
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】C
【您的答案】您未答题
【答案解析】
在
内
,说明
为单调递增函数,由于
在
连续,所以在
上f(a)<f(x)<f(b).
[单选题]
7、
的单调增加区间是( ).
A、(0,+∞)
B、(-1,+∞)
C、(-∞,+∞)
D、(1,+∞)
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】D
【您的答案】您未答题
【答案解析】
若求单调增加区间就是求
的区间,也就是2x-2>0,从而x>1.
[单选题]
8、
( ).
A、-1
B、0
C、1
D、∞
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】C
【您的答案】您未答题
【答案解析】
[单选题]
9、
设
,则
( ).
A、是
的最大值或最小值
B、是
的极值
C、不是
的极值
D、可能是
的极值
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】D
【您的答案】您未答题
【答案解析】
由
,我们不能判断f(0)是极值点,所以选D.
[单选题]
10、
的凹区间是( ).
A、(0,+∞)
B、(-1,+∞)
C、(-∞,+∞)
D、(1,+∞)
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】B
【您的答案】您未答题
【答案解析】
若求凹区间则就是求
的区间,即6x+6>0,即x>-1.
[单选题]
11、
的水平渐近线是( ).
A、x=1,x=-2
B、x=-1
C、y=2
D、y=-1
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】C
【您的答案】您未答题
【答案解析】水平渐近线就是当x趋于无穷时,y的值就是水平渐近线,x趋于无穷时,y的值是2,所以y=2是水平渐近线;当y趋于无穷时,x的值就是垂直渐近线,本题中由于分母可以分解为(x+1)(x-1),所以当x趋于1或-1时y的值趋于无穷.即x=1,x=-1都是垂直渐近线.
[单选题]
12、
设某商品的需求量Q对价格P的函数关系为
,则P=4时的边际需求为( ).
A、-8
B、7
C、8
D、-7
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】A
【您的答案】您未答题
【答案解析】
,
当P=4时,Q=-8.
[单选题]
13、
设某商品的需求函数为
,其中
表示商品的价格,Q为需求量,a,b为正常数,则需求量对价格的弹性
( ).
A、
B、
C、
D、
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】C
【您的答案】您未答题
【答案解析】
由弹性定义可知,
[单选题]
14、
设函数
在a处可导,
,则
( ).
A、
B、5
C、2
D、
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】A
【您的答案】您未答题
【答案解析】
因为f(x)可导,可用洛必达法则,用导数定义计算.
所以
[单选题]
15、
已知函数
(其中a为常数)在点
处取得极值,则a=( ).
A、1
B、2
C、0
D、3
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】C
【您的答案】您未答题
【答案解析】
在点
处取得极值,
[单选题]
16、某商店每周购进一批商品,进价为6元/件,若零售价定位10元/件,可售出120件;当售价降低0.5元/件时,销量增加20件,问售价p定为多少时利润最大?
( ).
A、9.5
B、9
C、8.5
D、7
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】A
【您的答案】您未答题
【答案解析】
设销量为Q,则Q=120+20(10-P)·2=520-40P
利润
此时即取得最大值.
[单选题]
17、若在(a,b)上
,则函数y=f(x)在区间(a,b)上是( )
A、增加且凹的
B、减少且凹的
C、增加且凸的
D、减少且凸的
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】C
【您的答案】您未答题
【答案解析】
[单选题]
18、
求极限
=( ).
A、2
B、
C、0
D、1
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】B
【您的答案】您未答题
【答案解析】
[单选题]
19、
函数
在区间
上的极大值点
=( ).
A、0
B、
C、
D、
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】C
【您的答案】您未答题
【答案解析】
令
,
当
时,
当
时,
当
时,函数有极大值.
[单选题]
20、
设某商品的供给函数为
,其中p为商品价格,S为供给量,a,b为正常数,则该商品的供给价格弹性
( ).
A、
B、
C、
D、
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】A
【您的答案】您未答题
【答案解析】
[单选题]
21、
某产品产量为q时总成本C(q)=1100+
,则q=1200时的边际成本为( )
A、0
B、
C、1
D、2
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】D
【您的答案】您未答题
【答案解析】
,q=1200时的边际成本为2.
[单选题]
22、
已知函数f(x)=ax2-4x+1在x=2处取得极值,则常数a=( )
A、0
B、1
C、2
D、3
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】B
【您的答案】您未答题
【答案解析】
,
得到a=1.
[单选题]
23、
极限
=( )
A、-
B、0
C、
D、1
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】C
【您的答案】您未答题
【答案解析】
首先利用洛必达法则,分子分母分别求导,
.
[单选题]
24、曲线y=x3的拐点为( ).
A、(0,0)
B、(0,1)
C、(1,0)
D、(1,1)
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】A
【您的答案】您未答题
【答案解析】
y"=6x,当y"=0时,x=0,将x=0代入原函数得y=0,所以选择A.
参见教材P108~109.(2015年4月真题)
[单选题]
25、曲线
的水平渐近线为( ).
A、y=0
B、y=1
C、y=2
D、y=3
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】B
【您的答案】您未答题
【答案解析】
因为
,所以直线y=1为曲线
的水平渐近线.
参见教材P110~111.(2015年4月真题)
[单选题]
26、函数y=x3-3x+5的单调减少区间为( ).
A、(-∞,-1)
B、(-1,1)
C、(1,+∞)
D、(-∞,+∞)
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】B
【您的答案】您未答题
【答案解析】
y'=3x2-3
y'=0时,x=±1.
在(-∞,-1)上,y'>0,为增函数;
在(-1,1)上,y'<0,为减函数;
在(1,+∞)上,y'>0,为增函数.
因此选B.
参见教材P100~101.(2015年4月真题)
[单选题]
27、已知函数
(其中a为常数)在
处取得极值,则a=( ).
A、0
B、1
C、2
D、3
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】A
【您的答案】您未答题
【答案解析】
∵ 在
处,取得极值点,
∴
解得a=0.
参见教材P102~104。
(2014年4月真题)
[单选题]
28、设函数
,则下列结论正确的是( ).
A、f(x)在(0,+∞)内单调减少
B、f(x)在(0,e)内单调减少
C、f(x)在(0,+∞)内单调增加
D、f(x)在(0,e)内单调增加
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】D
【您的答案】您未答题
【答案解析】
解得x=e,
当0<x<e时,y'>0
∴ f(x)在(0,e)内单调增加,选择D.
参见教材P100~101。
(2014年4月真题)
[单选题]
29、曲线
的水平渐近线为( ).
A、y=1
B、y=3
C、x=1
D、x=3
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】B
【您的答案】您未答题
【答案解析】
因此选择B.
参见教材P110~111。
(2014年10月真题)
[单选题]
30、设函数f(x)可导,且
=0,则x0一定是函数的( ).
A、极大值点
B、极小值点
C、驻点
D、拐点
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】C
【您的答案】您未答题
【答案解析】
本题考查驻点的定义,
驻点:
函数的一阶导数为0的点.
因此选择C.
参见教材P102~104。
(2014年10月真题)
[单选题]
31、下列函数在区间(-∞,+∞)上单调减少的是( )。
A、
B、
C、
D、
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】A
【您的答案】您未答题
【答案解析】
为指数函数,它在(-∞,+∞)上是单调递减的,故A正确,B、C、D在整个R上是非单调函数。
参见教材P100。
[单选题]
32、已知
是函数
的驻点,则常数
( )。
A、-3
B、-2
C、-1
D、0
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】C
【您的答案】您未答题
【答案解析】 因为
是函数
的驻点,因此
,而
,代入可得a=-1。
参见教材P92。
[单选题]
33、
设函数
可导,且
,则
在
处( ).
A、一定有极大值
B、一定有极小值
C、不一定有极值
D、一定没有极值
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】C
【您的答案】您未答题
【答案解析】
导数为零不一定是极值点,还需要判断两侧导数的正负,故本题选C。
参见教材P102。
[单选题]
34、
曲线
的拐点为( ).
A、(0,1)
B、(1,0)
C、(0,2)
D、(2,0)
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】B
【您的答案】您未答题
【答案解析】
得
,代入
所以在(1,0)处二阶导数为0,二阶导数在(1,0)两端符号相反,所以(1,0)是曲线的拐点。
参见教材P107。
[单选题]
35、曲线
的铅直渐近线为( ).
A、x=-1
B、x=1
C、y=-1
D、y=1
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】B
【您的答案】您未答题
【答案解析】x-1=0,解得x=1。
[单选题]
36、函数
的单调减少区间为( ).
A、(-∞,-1)
B、(5,+∞)
C、(-∞,-1)与(5,+∞)
D、(-1,5)
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】D
【您的答案】您未答题
【答案解析】
,得到-1<x<5.参见教材P100。
[解答题]
37、
函数
在区间[0,1]上满足拉格朗日中值定理的中值
=_________.
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】
【您的答案】您未答题
【答案解析】
在区间[0,1]上,由拉格朗日中值定理可得:
,
即
[解答题]
38、
函数
在区间[-1,1]上的最小值为_________.
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】
【您的答案】您未答题
【答案解析】
,在[-1,1]上,
故
单调递减,故
.
[解答题]
39、
求曲线
的凹凸区间及拐点.
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】
,
,
令
,
所以上凸区间为
;
上凹区间为
;
拐点为
【您的答案】您未答题
[解答题]
40、
证明当x>0时,
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】
令
,
所以
,当x>0时
为单增函数,
所以当x>0时,有
即
【您的答案】您未答题
[解答题]
41、
求极限
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】
【您的答案】您未答题
[解答题]
42、
求
的单调区间,极值,凹凸区间,拐点
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】
【您的答案】您未答题
[解答题]
43、
某厂生产某种产品,固定成本为400万元,多生产一个单位产品,成本增加10万元。
该产品产产销平衡且产品需求函数为x=1000-50P(x产量,P为价格)。
该厂生产多少单位产品所获利润最大?
最大利润是多少?
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】设生产x个单位产品的利润为L,成本为C,收益为R,则
【您的答案】您未答题
[解答题]
44、
证明:
方程
在区间[0,1]上不可能有两个不同的根.
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】
【您的答案】您未答题
[解答题]
45、设某商品的市场需求函数为
,则需求价格弹性函数为.
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】需求价格弹性函数为
.
【您的答案】您未答题
[解答题]
46、求极限
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】
【您的答案】您未答题
[解答题]
47、
求函数
的极值.
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】
令
,
当x=0或x=2时,
不存在,
且
所以极大值为
【您的答案】您未答题
[解答题]
48、
证明不等式:
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】
设
,
所以
(x>0)单调递增,
【您的答案】您未答题
[解答题]
49、设产品的利润函数是L(x),求生产x0个单位产品的边际利润.
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】生产x个单位产品的边际利润为
,故生产x0个单位的边际利润为
.
【您的答案】您未答题
[解答题]
50、加工一个容积v=16π(米3)的有盖圆柱形容器,求它的高h和半径r分别是多少米时,可使容器的表面积最小.
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】
∴驻点是r=2,这时h=4
∴只有一个驻点,这个驻点是最小值点,即r=2,h=4时表面积最小,最小面积是:
A
(2)=2π(4+8)=24π(米2)
【您的答案】您未答题
[解答题]
51、证明:
方程
在区间[0,1]上不可能有两个不同的根.
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】
【您的答案】您未答题
[解答题]
52、求函数f(x)=lnsinx在区间
上满足罗尔定理的点ξ.
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】满足罗尔定理的点也就是f’(ξ)=0的点,
f’(ξ)=cotξ,所以在区间
上,令cotξ=0的点为π/2
【您的答案】您未答题
[解答题]
53、求极限
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】
【您的答案】您未答题
[解答题]
54、证明:
当x>0时,
.
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】
【您的答案】您未答题
[解答题]
55、求极限
.
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】
【您的答案】您未答题
[解答题]
56、
求函数y=
的单调区间.
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】
定义域是全体实数.
令
,
所以
为单减区间,
为单增区间.
【您的答案】您未答题
[解答题]
57、
求函数f(x)=ln(x2+1)在区间[-1,2]上的最大值和最小值.
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】
,令
,
最大值为
,最小值为0.
【您的答案】您未答题
[解答题]
58、
求曲线y=
的水平和铅直渐近线.
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】
所以
为垂直渐近线
所以
为水平渐近线
【您的答案】您未答题
[解答题]
59、求曲线y=x3-3x2-1的拐点.
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】(1,-3)
【您的答案】您未答题
【答案解析】
y'=3x2-6x
y"=6x-6
令y"=0,即6x-6=0
解得x=1,此时y=13-3×12-1=-3
x<1时,y"=6x-6<0
x>1时,y"=6x-6>0
因此点(1,-3)是曲线的拐点.
参见教材P108~109。
(2014年4月真题)
[解答题]
60、已知极限
,求常数k的值.
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】2
【您的答案】您未答题
【答案解析】
∴ k=2.
参见教材P102~104。
(2014年4月真题)
[解答题]
61、求极限
.
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】
【您的答案】您未答题
【答案解析】
参见教材P95~99。
(2014年4月真题)
[解答题]
62、
设某厂生产收音机Q台时的总成本为C(Q)=2000+10Q(元),销售价格为P=800-Q(元),假定产销平衡.
(1)求利润函数L(Q);
(2)问该厂生产多少台时可获得最大利润?
并求获得最大利润时的价格.
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】
(1)L(Q)=-Q2+790Q-2000
(2)该厂生产395台时可获得最大利润,最大利润时的价格为405元.
【您的答案】您未答题
【答案解析】
(1)利润函数
L(Q)=PQ-C
=(800-Q)Q-(2000+10Q)
=-Q2+790Q-2000
(2)
L'(Q)=(-Q2+790Q-2000)'=-2Q+790
令L'(Q)=0
即-2Q+790=0
解得 Q=395(台)
L"(Q)=[L'(Q)]'=(-2Q+790)'=-2<0
因此Q=395是极大值点,
由于Q=395是惟一的驻点,
因此Q=395时L(Q)取最大值.
也就是说产量为395台时,该公司可获得最大利润.
获得最大利润时的价格为
P=800-Q=800-395=405(元)
参见教材P112~116。
(2014年4月真题)
[解答题]
63、求曲线y=x3+9x+15的凹凸区间与拐点.
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】
凹区间为(0,+∞);
凸区间为(-∞,0);
拐点为(0,15).
【您的答案】您未答题
【答案解析】
函数的定义域为(-∞,+∞)
y'=3x2+9,
y"=6x.
令y">0,即6x>0,
解得x>0,
所以凹区间为(0,+∞).
令y"<0,即6x<0,
解得x<0,
所以凸区间为(-∞,0).
当x=0时,y=03+9×0+15=15
则拐点为(0,15).
参见教材P107~109。
(2014年10月真题)
[解答题]
64、求极限
.
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】0
【您的答案】您未答题
【答案解析】
参见教材P95~99。
(2014年10月真题)
[解答题]
65、某厂生产某产品Q吨时总成本为
(万元).问当产量Q为多少时,产品的平均成本最低?
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】4吨
【您的答案】您未答题
【答案解析】
设产品的平均成本
(万元)
令
即
等式左右两边同时乘以Q2,得
解得 Q=4(吨)
因此Q=4是极小值点
由于Q=4是惟一的驻点,因此Q=4时L(Q)取最小值.
也就是说产量为4吨时,产品的平均成本最低.
参见教材P112~116。
(2014年10月真题)
[解答题]
66、求曲线
的凹凸区间。
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】 凹区间为
,凸区间为
【您的答案】您未答题
【答案解析】 因为
,因此可得
,令
,则
,因此凹区间为
,凸区间为
。
参见教材P107。
[解答题]
67、求极限
。
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】
【您的答案】您未答题
【答案解析】
。
参见教材P52。
[解答题]
68、
求极限
.
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】1
【您的答案】您未答题
【答案解析】
参见教材P95。
[解答题]
69、
求函数
的单调区间.
【从题库收藏夹删除】
【正确答案】
增区间为:
,
;减区间为
【您的答案】您未答题
【答案解析】
的定义域为
.
令
,得
因
时,
;
时,
时,
故
的单调增加区间为
与
;单调减区间为
.
参见教材P100。
[解答题]
70、求曲线
的凹凸区间与拐点.
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【正确答案】
拐点
【您的答案】您未答题
[解答题]
71、设某商品的需求函数为
,其中p为价格(万元/吨),Q为需求量(吨).
(1)求总收益函数R(p);
(2)问价格为多少时总收益最大?
并求最大总收益.
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