DVD在线租赁问题.docx
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DVD在线租赁问题
数学建模论文
姓名:
时间:
2011年7月21日
DVD在线租赁
摘要
电子商务是现代商务的重要部分,在线租赁问题亦会是网上购物的趋势和潮流,因此网络经营者必须对预测、购买和分配有着敏锐的洞察力。
问题一的出发点是每人每张碟,总碟数是购买的碟数与两次借者之和,结合保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到这一要求,即可求解,依此原理求出三个月的95%的看到所要求的碟数。
问题二的如何对这些DVD进行分配,才能使会员获得最大的满意度,考虑成单目标优化问题中的0-1整数线性规划,利用隐枚举法,通过增加约束条件求解该规划。
约束条件分别是从每种碟租给会员的总数小于网站的总碟数、每个人可借碟数是3出发列举的。
问题三由最小的购买量,最大的满意度两个要求出发,所以用双目标规划模型,并通过引入权重系数,将其转化为单目标的整形规划模型,进而求出每种碟的购买量和分配方案。
关键字:
在线租赁0-1规划满意度双目标规划
1问题重述
由于信息技术快步发展,网络为人们的日常生活和工作提供了更为便捷化和全面化的服务。
电子商务也成为现代商务的重要部分,商家可以通过网络销售或租赁软件、电影、音乐或图书等产品,这既节约大量的制作、配送费用,又方便了消费者。
因而处理好DVD在线租赁过程中如何购买和分配以及对未来DVD的需求量的预测的问题是至关重要的,达到一个对会员的满意度相对来说比较高同时又要满足商家的利益最大的标准是决策者的最终目的。
2问题分析
问题一:
这一问要根据调查的1000个会员想看的DVD的数量,要根据这一调查结果来求解网站需要购买的DVD数量,使得一个月内50%的会员得到他想看的DVD和在三个月内95%的会员得到想看的DVD。
由于有60%的人数是一个月可以租两次,所以可以把60%的DVD看作是网站新进的,最后根据调查的1000个会员想看的DVD的结果,算出网站需要购买的DVD的数量。
问题二:
这一问是求解DVD的分配问题,网站要根据DVD现有的数量合理的给每个会员分配DVD,使得会员得到最大的满意度,而每种DVD只有选与不选两种可能,所以利用0-1规划模型来求得最终的合理分配。
问题三:
这一问是采用双目标规划的原理,但将双目标规划结合权重转化为混合的整形规划问题,使该题的求解更为方便,从而达到购买量最少,又使会员的满意度最大的双重目的。
问题四:
这一问是针对现实中所出现的具体事件作出更为恰当的措施,合情合理,实用性强,考虑周全即可。
3模型假设
(1)假设问题一中对1000个会员的调查结果是真实可靠的,并且这1000个会员能够代表100000个会员对每种DVD的喜爱程度。
(2)假设DVD在被租后没有损坏,并且每个会员能够按时寄回看完的DVD。
(3)每个会员每次租碟数不超过3张,每月租碟数不超过2次。
(4)60%的会员每月可以租2次,其余40%每月只能租1次。
4符号及变量说明
Di:
需要购买的第i种DVD的数量
Pi:
第i种DVD所看到会员占总人数的概率
aij:
第i个会员得到第j种碟的状况(aij=1表示将第j张DVD租给第i个会员,aij=0表示将第j张DVD不租给第i个会员)
bij:
第i个会员对第j张DVD的偏爱程度
cij:
第i个会员对第j张DVD的满意度
nj:
第j种DVD的现有量
dij:
管理员对第i个会员的第j张DVD的购买量
5模型建立与求解
(1)问题一
①模型的建立
这一问是通过对1000个会员的问卷调查来确定各种DVD的购买量,使得在一个月内有50%的会员能够看到他想看的DVD和在三个月内有95%的会员能够看到想看的DVD。
假设需要购买DVD的数量为Di,由于有60%的会员一个月可以租两次DVD,所以有60%的DVD可以看作是网站重新购买的。
a>一个月内有50%的会员能够看到他想看的DVD
DVD的总量为
所以要使得50%的会员看到想看的DVD,则需要满足:
(1)
b>在三个月内有95%的会员能够看到想看的DVD
三个月内有95%的会员要得到他想看的DVD,由于每个月得到想看的DVD的概率是等可能的,所以只要保证一个月内有95%÷3=31.67%的会员看到他想看的DVD即可,所以式
(1)变为
(2)
②模型的求解
每种DVD的概率为(表1):
表1问题一中五种DVD愿意观看的人数的概率
DVD名称
DVD1
DVD2
DVD3
DVD4
DVD5
20%
10%
5%
2.5%
1%
a>一个月内有50%的会员能够看到他想看的DVD
由式
(1)可得网站需要购买的DVD的数量为(表2):
表2保证一个月内50%的会员看到想看的DVD需购买数量
DVD名称
DVD1
DVD2
DVD3
DVD4
DVD5
需要购买量
6250
3125
1563
782
313
b>三个月内有95%的会员看到他想看的DVD
由式
(2)可得网站需要购买的DVD的数量为(表3):
表3保证三个月内95%的会员看到想看的DVD需购买数量
DVD名称
DVD1
DVD2
DVD3
DVD4
DVD5
需要购买量
3958
1980
990
495
198
⑵问题二
①模型的建立
由表2中的数据可知,cij与xij乘积的和表示所有会员对所收到的DVD的总满意度,即为0-1整数模型的目标函数。
若目标函数得到最小值,则满意度为最大。
由于“0”对应的DVD不在会员的订单中,所以用1000将表2中的0全部代替,这时求最小值时将会尽量避开“1000”。
此0-1模型的约束条件为:
对于每种DVD来说,分配出的DVD的数量不能超过现有的DVD的总量;
在20种DVD中每个会员只能选3张。
a>会员的分配矩阵:
其中aij只可能取1或0,取1时表示获得该碟,取0时表示没有分配到该张碟。
b>根据原题中表2,可以得到会员对DVD的偏爱程度矩阵:
c>根据原题中已知数字越小,偏爱程度越高,若将偏爱程度转化为满意度,即
则会有数字越小,满意度越小,数字越大,满意度越高。
满意度矩阵:
d>因此可以写出每i个会员的满意度
e>当偏爱度分别为1,2,3,即满意度为10,9,8时有满意度最高,此时可以计算出第
个会员的标准化满意度
同时可以计算出目标函数
根据题中表2数据每种DVD的现存碟数可得约束条件:
根据题中表2数据每个会员每次最多借3张碟可得约束条件:
结合aij只可能取1或0,利用已学过的MATLAB编程语言,对模型进行进一步求解。
②模型的求解
利用MATLAB求解(程序见附录一)得到前30号会员的分配情况(表4):
表4前30号会员的DVD分配情况
会员编号
会员得到的DVD编号
会员编号
会员得到的DVD编号
C0001
D008,D041,D098
C0016
D055,D084,D097
C0002
D006,D044,D062
C0017
D047,D051,D067
C0003
D042,D050,D080
C0018
D041,D060,D078
C0004
D007,D018,D041
C0019
D066,D084,D086
C0005
D011,D066,D068
C0020
D045,D061,D089
C0006
D019,D053,D066
C0021
D045,D050,D053
C0007
D008,D026,D081
C0022
D038,D055,D057
C0008
D031,D035,D071
C0023
D029,D081,D095
C0009
D063,D078,D100
C0024
D037,D041,D046
C0010
D055,D060,D085
C0025
D009,D069,D081
C0011
D059,D063,D066
C0026
D022,D068,D095
C0012
D002,D031,D041
C0027
D050,D058,D078
C0013
D021,D078,D096
C0028
D008,D034,D036
C0014
D023,D053,D089
C0029
D028,D030,D055
C0015
D013,D066,D085
C0030
D037,D062,D098
⑶问题三
①模型的建立
由于同时要达成满意度最好,并且购买量最少双要求,所以采用双目标规划的方法。
具体是将双目标规划结合权重转化为混合的整形规划问题。
a>满意度的计算
求出最大值,最小值及其最大值和最小值之间的平均值
b>购买量的计算
求出最大值,最小值及其最大值和最小值之间的平均值
c>利用平均值求出各自的权重
d>写出目标函数
约束条件有
②模型的求解
满意度的最大值是33000
满意度的最小值是0
满意度的最大值和最小值之间的平均值是16500
购买量的最大值是667
购买量的最小值是385
购买量的最大值和最小值之间的平均值是526
此时有目标函数
由满意度和购买量的最大值与最小值的关系可以求出权重,
即权重为
利用LINGO(附录二)求解该规划得(表5、表6、表7)
表5每种DVD的购买量
49
54
45
58
46
51
51
59
55
53
56
57
50
60
49
55
60
54
59
68
57
59
64
55
52
59
51
49
57
57
59
51
54
48
64
57
54
55
51
51
70
61
55
53
62
55
55
52
54
55
63
54
58
54
57
54
64
45
50
61
62
64
58
62
53
57
62
59
56
62
50
48
53
51
52
58
48
58
58
45
42
49
53
46
56
43
55
58
63
49
53
60
46
56
63
47
50
51
46
51
从左到右依次为D001-D100
表6前十个会员的租赁情况
会员号
第一张DVD
DVD8
DVD5
DVD4
DVD7
DVD11
第二张DVD
DVD82
DVD6
DVD50
DVD18
DVD66
第三张DVD
DVD98
DVD44
DVD80
DVD68
会员号
第一张DVD
DVD16
DVD8
DVD15
DVD53
DVD55
第二张DVD
DVD19
DVD26
DVD71
DVD78
DVD60
第三张DVD
DVD53
DVD81
DVD99
DVD100
DVD85
表7前十个会员的满意情况
会员号
相对满意度
100%
90%
74%
94.4
100%
会员号
相对满意度
94.4%
100%
100%
90%
100%
⑷问题四
a>管理者还要考虑DVD的使用寿命对DVD总量的购买影响。
b>管理员在租DVD出去时要考虑到周期与剩有DVD数。
还要考虑DVD总数
c>作为经营管理人员,既希望DVD的租赁周期尽可能短以便再次利用,但这样会增加邮递费用,于是,有必要考虑对租赁周期T进行合理的设计以使能够成本最小。
设一个月内需满足W位会员看到某一种DVD,且此DVD的购买费用为每张a元,需要购买了n张才能满足需要,一个月内,每张DVD的重复利用次数为
则存在关系式:
购买DVD费用
另外,通过查阅资料,可以得到每张DVD的、邮寄费关于租赁周期T的单调不增函数式:
于是,以成本最小为目标就可建立关于租赁周期T的优化模型:
根据实际情况,确定
后就可利用该模型求得最优的租赁周期T。
6模型的评价与推广
学会用期望的思想做出第一问,掌握进一步的方法解题。
科学地构造满意度,建立和掌握0-l线性规划模型,学会采用Lingo算法求解得到了最优解,代替MATLAB。
进一步掌握双目标规划模型,通过加权组合转化为单目标的混合整形规划模型。
理解权重,权重是对一个项目进行研究时,每个影响因子都以主判这个项目的准则对待,并对因子的数值要进行一系列的信息加工和提取,显示着各因子的重要性。
0-1规划可以数量化地描述诸如开与关、取与弃、有与无等现象所反映的离散变量间的逻辑关系、顺序关系以及互斥的约束条件,因此0-1规划非常适合描述和解决如线路设计、工厂选址、生产计划安排、旅行购物、背包问题、人员安排、代码选取、可靠性等人们所关心的多种问题,主要应用于电子商务及各种业务。
7参考文献
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清华大学出版社,2010:
243-251.
[2]姜启源.数学模型(第三版)[M].北京:
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科学出版社,2007:
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西安交通大学出版社,1996:
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[5]蒲黎明.系统工程理论与实践[C].1986.04期.
[6]
[7]
8附录
附录一MATLAB程序
R=load('C:
\DocumentsandSettings\Administrator\桌面\新建文件夹\数学建模\第四次题目\新建文本文档.txt');
C=R(2:
end,:
);
c=reshape(C,100000,1);
fori=1:
100000
ifc(i)==0
c(i)=1000;
elsec(i)=c(i);
end
end
A=[ones(1,1000),zeros(1,99000);
zeros(1,1000),ones(1,1000),zeros(1,98000);
zeros(1,2000),ones(1,1000),zeros(1,97000);
zeros(1,3000),ones(1,1000),zeros(1,96000);
zeros(1,4000),ones(1,1000),zeros(1,95000);
zeros(1,5000),ones(1,1000),zeros(1,94000);
zeros(1,6000),ones(1,1000),zeros(1,93000);
zeros(1,7000),ones(1,1000),zeros(1,92000);
zeros(1,8000),ones(1,1000),zeros(1,91000);
zeros(1,9000),ones(1,1000),zeros(1,90000);
zeros(1,10000),ones(1,1000),zeros(1,89000);
zeros(1,11000),ones(1,1000),zeros(1,88000);
zeros(1,12000),ones(1,1000),zeros(1,87000);
zeros(1,13000),ones(1,1000),zeros(1,86000);
zeros(1,14000),ones(1,1000),zeros(1,85000);
zeros(1,15000),ones(1,1000),zeros(1,84000);
zeros(1,16000),ones(1,1000),zeros(1,83000);
zeros(1,17000),ones(1,1000),zeros(1,82000);
zeros(1,18000),ones(1,1000),zeros(1,81000);
zeros(1,19000),ones(1,1000),zeros(1,80000);
zeros(1,20000),ones(1,1000),zeros(1,79000);
zeros(1,21000),ones(1,1000),zeros(1,78000);
zeros(1,22000),ones(1,1000),zeros(1,77000);
zeros(1,23000),ones(1,1000),zeros(1,76000);
zeros(1,24000),ones(1,1000),zeros(1,75000);
zeros(1,25000),ones(1,1000),zeros(1,74000);
zeros(1,26000),ones(1,1000),zeros(1,73000);
zeros(1,27000),ones(1,1000),zeros(1,72000);
zeros(1,28000),ones(1,1000),zeros(1,71000);
zeros(1,29000),ones(1,1000),zeros(1,70000);
zeros(1,30000),ones(1,1000),zeros(1,69000);
zeros(1,31000),ones(1,1000),zeros(1,68000);
zeros(1,32000),ones(1,1000),zeros(1,67000);
zeros(1,33000),ones(1,1000),zeros(1,66000);
zeros(1,34000),ones(1,1000),zeros(1,65000);
zeros(1,35000),ones(1,1000),zeros(1,64000);
zeros(1,36000),ones(1,1000),zeros(1,63000);
zeros(1,37000),ones(1,1000),zeros(1,62000);
zeros(1,38000),ones(1,1000),zeros(1,61000);
zeros(1,39000),ones(1,1000),zeros(1,60000);
zeros(1,40000),ones(1,1000),zeros(1,59000);
zeros(1,41000),ones(1,1000),zeros(1,58000);
zeros(1,42000),ones(1,1000),zeros(1,57000);
zeros(1,43000),ones(1,1000),zeros(1,56000);
zeros(1,44000),ones(1,1000),zeros(1,55000);
zeros(1,45000),ones(1,1000),zeros(1,54000);
zeros(1,46000),ones(1,1000),zeros(1,53000);
zeros(1,47000),ones(1,1000),zeros(1,52000);
zeros(1,48000),ones(1,1000),zeros(1,51000);
zeros(1,49000),ones(1,1000),zeros(1,50000);
zeros(1,50000),ones(1,1000),zeros(1,49000);
zeros(1,51000),ones(1,1000),zeros(1,48000);
zeros(1,52000),ones(1,1000),zeros(1,47000);
zeros(1,53000),ones(1,1000),zeros(1,46000);
zeros(1,54000),ones(1,1000),zeros(1,45000);
zeros(1,55000),ones(1,1000),zeros(1,44000);
zeros(1,56000),ones(1,1000),zeros(1,43000);
zeros(1,57000),ones(1,1000),zeros(1,42000);
zeros(1,58000),ones(1,1000),zeros(1,41000);
zeros(1,59000),ones(1,1000),zeros(1,40000);
zeros(1,60000),ones(1,1000),zeros(1,39000);
zeros(1,61000),ones(1,1000),zeros(1,38000);
zeros(1,62000),ones(1,1000),zeros(1,37000);
zeros(1,63000),ones(1,1000),zeros(1,36000);
zeros(1,64000),ones(1,1000),zeros(1,35000);
zeros(1,65000),ones(1,1000),zeros(1,34000);
zeros(1,66000),ones(1,1000),zeros(1,33000);
zeros(1,67000),ones(1,1000),zeros(1,32000);
zeros(1,68000),ones(1,1000),zeros(1,31000);
zeros(1,69000),ones(1,1000),zeros(1,30000);
zeros(1,70000),ones(1,1000),zeros(1,29000);
zeros(1,71000),ones(1,1000),zeros(1,28000);
zeros(1,72000),ones(1,1000),zeros(1,27000);
zeros(1,73000),ones(1,1000),zeros(1,26000);
zeros(1,74000),ones(1,1000),zeros(1,25000);
zeros(1,75000),ones(1,1000),zeros(1,24000);
zeros(1,76000),ones(1,1000),zeros(1,23000);
zeros(1,77000),ones(1,1000),zeros(1,22000);
zeros(1,78000),ones(1,1000),zeros(1,21000);
zeros(1,79000),ones(1,1000),zeros(1,20000);
zeros(1,80000),ones(1,100
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