等腰直角三角形的中线.docx
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等腰直角三角形的中线
等腰直角三角形的中线
等腰直角三角形的中线
1.(2014•齐齐哈尔一模)如图,在等腰Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,F是AB边上的中点,点D、E分别在AC、BC边上运动,且保持AD=CE.连接DE、DF、EF.在此运动变化的过程中,下列结论:
①△DFE是等腰直角三角形;②DE长度的最小值为4;③四边形CDFE的面积保持不变;④△CDE面积的最大值为8.其中正确的结论是( )
A
①②③
B
①③
C
①③④
D
②③④
2.(2013•泸州)如图,在等腰直角△ACB中,∠ACB=90°,O是斜边AB的中点,点D、E分别在直角边AC、BC上,且∠DOE=90°,DE交OC于点P.则下列结论:
(1)图形中全等的三角形只有两对;
(2)△ABC的面积等于四边形CDOE的面积的2倍;
(3)CD+CE=
OA;
考点:
等腰直角三角形;全等三角形的判定与性质.菁优网版权所有
专题:
推理填空题.
分析:
解答此题的关键是在于判断△DFE是否等腰直角三角形;做常规辅助线,连接CF,由SAS定理可得△CFE≌△ADF,从而可证∠DFE=90°可得DF=EF,可得①△DFE是等腰直角三角形正确;可得DE=
DF,当DF⊥AC时,DF最小,DE取最小值4
,故②错误;再由补割法可证③是正确的;△CDE最大的面积等于四边形CDEF的面积减去△DEF的最小面积,由③可知④是正确的.故①③④正确.
解答:
解:
①连接CF.
∵△ABC为等腰直角三角形,
∴∠FCB=∠A=45°,CF=AF=FB,
∵AD=CE,
∴△ADF≌△CEF,
∴EF=DF,∠CFE=∠AFD,
∵∠AFD+∠CFD=90°
∴∠CFE+∠CFD=∠EFD=90°,
∴△EDF是等腰直角三角形,
故本选项正确;
②∵△DEF是等腰直角三角形,
∴当DE最小时,DF也最小,
即当DF⊥AC时,DE最小,此时DF=
BC=4,
∴DE=
DF=4
,
故本选项错误;
③∵△ADF≌△CEF,
∴S△CEF=S△ADF,
∴S四边形CDFE=S△DCF+S△CEF=S△DCF+S△ADF=S△ACF=
S△ABC
故本选项正确;
④当△CED面积最大时,由③知,此时△DEF的面积最小,此时,
S△CED=S四边形CEFD﹣S△DEF=S△AFC﹣S△DEF=16﹣8=8,
故本选项正确;
综上所述正确的有①③④.
故选C.
点评:
此题考查的知识点有等腰直角三角形,全等三角形的判定与性质等知识点,综合性强,难度较大,是一道难题.利用“割补法”是求不规则图形的面积的常用方法.
.(2013•泸州)如图,在等腰直角△ACB中,∠ACB=90°,O是斜边AB的中点,点D、E分别在直角边AC、BC上,且∠DOE=90°,DE交OC于点P.则下列结论:
(1)图形中全等的三角形只有两对;
(2)△ABC的面积等于四边形CDOE的面积的2倍;
(3)CD+CE=
OA;
(4)AD2+BE2=2OP•OC.其中正确的结论有( )
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
考点:
等腰直角三角形;全等三角形的判定与性质;勾股定理;相似三角形的判定与性质.菁优网版权所有
专题:
压轴题.
分析:
结论
(1)错误.因为图中全等的三角形有3对;
结论
(2)正确.由全等三角形的性质可以判断;
结论(3)正确.利用全等三角形和等腰直角三角形的性质可以判断.
结论(4)正确.利用相似三角形、全等三角形、等腰直角三角形和勾股定理进行判断.
解答:
解:
结论
(1)错误.理由如下:
图中全等的三角形有3对,分别为△AOC≌△BOC,△AOD≌△COE,△COD≌△BOE.
由等腰直角三角形的性质,可知OA=OC=OB,易得△AOC≌△BOC.
∵OC⊥AB,OD⊥OE,∴∠AOD=∠COE.
在△AOD与△COE中,
∴△AOD≌△COE(ASA).
同理可证:
△COD≌△BOE.
结论
(2)正确.理由如下:
∵△AOD≌△COE,
∴S△AOD=S△COE,
∴S四边形CDOE=S△COD+S△COE=S△COD+S△AOD=S△AOC=
S△ABC,
即△ABC的面积等于四边形CDOE的面积的2倍.
结论(3)正确,理由如下:
∵△AOD≌△COE,
∴CE=AD,
∴CD+CE=CD+AD=AC=
OA.
结论(4)正确,理由如下:
∵△AOD≌△COE,∴AD=CE;∵△COD≌△BOE,∴BE=CD.
在Rt△CDE中,由勾股定理得:
CD2+CE2=DE2,∴AD2+BE2=DE2.
∵△AOD≌△COE,∴OD=OE,
又∵OD⊥OE,∴△DOE为等腰直角三角形,∴DE2=2OE2,∠DEO=45°.
∵∠DEO=∠OCE=45°,∠COE=∠COE,
∴△OEP∽△OCE,
∴
,即OP•OC=OE2.
∴DE2=2OE2=2OP•OC,
∴AD2+BE2=2OP•OC.
综上所述,正确的结论有3个,
故选C.
15.(2012•桂林)如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=6,D为BC的中点.
(1)若E、F分别是AB、AC上的点,且AE=CF,求证:
△AED≌△CFD;
(2)当点F、E分别从C、A两点同时出发,以每秒1个单位长度的速度沿CA、AB运动,到点A、B时停止;设△DEF的面积为y,F点运动的时间为x,求y与x的函数关系式;
(3)在
(2)的条件下,点F、E分别沿CA、AB的延长线继续运动,求此时y与x的函数关系式.
考点:
等腰直角三角形;全等三角形的判定与性质.菁优网版权所有
专题:
压轴题;动点型.
分析:
(1)利用等腰直角三角形的性质得到∠BAD=∠DAC=∠B=∠C=45°,进而得到AD=BD=DC,为证明△AED≌△CFD提供了重要的条件;
(2)利用S四边形AEDF=S△AED+S△ADF=S△CFD+S△ADF=S△ADC=9即可得到y与x之间的函数关系式;
(3)依题意有:
AF=BE=x﹣6,AD=DB,∠ABD=∠DAC=45°得到∠DAF=∠DBE=135°,从而得到△ADF≌△BDE,利用全等三角形面积相等得到S△ADF=S△BDE从而得到S△EDF=S△EAF+S△ADB即可确定两个变量之间的函数关系式.
解答:
(1)证明:
∵∠BAC=90°AB=AC=6,D为BC中点
∴∠BAD=∠DAC=∠B=∠C=45°
∴AD=BD=DC(2分)
∵AE=CF∴△AED≌△CFD(SAS)
(2)解:
依题意有:
FC=AE=x,
∵△AED≌△CFD
∴S四边形AEDF=S△AED+S△ADF=S△CFD+S△ADF=S△ADC=9
∴
∴
;
(3)解:
依题意有:
AF=BE=x﹣6,AD=DB,∠ABD=∠DAC=45°
∴∠DAF=∠DBE=135°
∴△ADF≌△BDE
∴S△ADF=S△BDE
∴S△EDF=S△EAF+S△ADB
=
∴
.
点评:
本题考查了等腰直角三角形的性质及全等三角形的判定与性质,考查的知识点虽然不是很多但难度较大.
17.同学拿了两块45°三角尺△MNK、△ACB做了一个探究活动:
将△MNK的直角顶点M放在△ABC的斜边AB的中点处,设AC=BC=4.
(1)如图1,两三角尺的重叠部分为△ACM,则重叠部分的面积为 4 ,周长为
.
(2)将图1中的△MNK绕顶点M逆时针旋转45°,得到图2,此时重叠部分的面积为 4 ,周长为 8 .
(3)如果将△MNK绕M旋转到不同于图1和图2的图形,如图3,请你猜想此时重叠部分的面积为 4 .
(4)在如图3的情况下,AC交MN于D,MK交BC于E,若AD=1,求出重叠部分图形的周长.
考点:
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专题:
几何综合题.
分析:
(1)根据AC=BC=4,∠ACB=90°,得出AB的值,再根据M是AB的中点,得出AM=MC,求出重叠部分的面积,再根据AM,MC,AC的值即可求出周长;
(2)易得重叠部分是正方形,边长为
AC,面积为
AC2,周长为2AC.
(3)过点M分别作AC、BC的垂线MH、MG,垂足为H、G.求得Rt△MHD≌Rt△MGE,则阴影部分的面积等于正方形CGMH的面积.
(4)先过点M作MG⊥BC于点G,MH⊥AC于点H,根据∠DMH=∠GMH,MH=MG,得出Rt△DHM≌Rt△GME,从而得出HD=GE,CE=AD,最后根据AD和DF的值,算出
,即可得出答案.
解答:
解:
(1)∵AC=BC=4,∠ACB=90°,
∴AB=
=
=4
,
∵M是AB的中点,
∴AM=2
,
∵∠ACM=45°,
∴AM=MC,
∴重叠部分的面积是
=4,
∴周长为:
AM+MC+AC=2
+2
+4=
;
(2)∵叠部分是正方形,
∴边长为
×4=2,面积为2×2=4,
周长为2×4=8.
(3)过点M分别作AC、BC的垂线MH、MG,垂足为H、G,
∵M是△ABC斜边AB的中点,AC=BC=a,
∴MH=
BC,
MG=
AC,
∴MH=MG,
又∵∠NMK=∠HMG=90°,
∴∠NMH+∠HMK=90°,∠GME+∠HMK=90°,
∴∠HMD=∠GME,
在△MHD和△MGE中,
∵
,
∴△MHD≌△MGE(ASA),
∴阴影部分的面积等于正方形CGMH的面积,
∵正方形CGMH的面积是MG•MH=2×2=4;
∴阴影部分的面积是4;
(4)过点M作MG⊥BC于点G,MH⊥AC于点H,
∴四边形MGCH是矩形,
∴MH=CG,
∵∠A=45°,
∴∠AMH=45°,
∴AH=MH,
∴AH=CG,
在Rt△DHM和Rt△EGM中,
,
∴Rt△DHM≌Rt△EGM.
∴GE=DH,
∴AH﹣DH=CG﹣GE,
∴CE=AD,
∵AD=1,
∴DH=1,CE=1,CD=4﹣1=3,
∴DM=
∴四边形DMEC的周长为:
CE+CD+DM+ME
=1+3+
+
=4
.
故答案为:
4,
,4,8,4.
点评:
此题考查了等腰直角三角形,利用等腰直角三角形的性质,等腰直角三角形的面积公式,正方形的面积公式,全等三角形的判定和性质求解.
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