高中物理专题第六章动量守恒定律及三类模型问题docx.docx
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第2讲动量守恒定律及“三类模型”问题
一、动量守恒定律
1.内容
如果一个系统不受外力,或者所受外力的矢量和为零,这个系统的总动量保持不变.
2.表达式
(1)p=p′,系统相互作用前总动量p等于相互作用后的总动量p′.
(2)m1v1+m2v2=m1v1′+m2v2′,相互作用的两个物体组成的系统,作用前的动量和等于作
用后的动量和.
(3)p1=-p2,相互作用的两个物体动量的变化量等大反向.
(4)p=0,系统总动量的增量为零.
3.适用条件
(1)理想守恒:
不受外力或所受外力的合力为零.
(2)近似守恒:
系统内各物体间相互作用的内力远大于它所受到的外力.
(3)某一方向守恒:
如果系统在某一方向上所受外力的合力为零,则系统在这一方向上动量守
恒.
自测1关于系统动量守恒的条件,下列说法正确的是()
A.只要系统内存在摩擦力,系统动量就不可能守恒
B.只要系统中有一个物体具有加速度,系统动量就不守恒
C.只要系统所受的合外力为零,系统动量就守恒
D.系统中所有物体的加速度为零时,系统的总动量不一定守恒
答案C
二、碰撞、反冲、爆炸
1.碰撞
(1)定义:
相对运动的物体相遇时,在极短的时间内它们的运动状态发生显著变化,这个过程
就可称为碰撞.
(2)特点:
作用时间极短,内力(相互碰撞力)远大于外力,总动量守恒.
(3)碰撞分类
①弹性碰撞:
碰撞后系统的总动能没有损失.
②非弹性碰撞:
碰撞后系统的总动能有损失.
③完全非弹性碰撞:
碰撞后合为一体,机械能损失最大.
2.反冲
(1)定义:
当物体的一部分以一定的速度离开物体时,剩余部分将获得一个反向冲量,这种现
象叫反冲运动.
(2)特点:
系统内各物体间的相互作用的内力远大于系统受到的外力.实例:
发射炮弹、爆竹爆
炸、发射火箭等.
(3)规律:
遵从动量守恒定律.
3.爆炸问题
爆炸与碰撞类似,物体间的相互作用时间很短,作用力很大,且远大于系统所受的外力,所
以系统动量守恒
.
自测
2
如图
1所示,两滑块
A、B在光滑水平面上沿同一直线相向运动,滑块
A的质量为
m,速度大小为
2v0,方向向右,滑块
B的质量为
2m,速度大小为
v0,方向向左,两滑块发
生弹性碰撞后的运动状态是
(
)
图1
A.A和B都向左运动
B.A和B都向右运动
C.A静止,B向右运动
D.A向左运动,B向右运动
答案D
解析以两滑块组成的系统为研究对象,两滑块碰撞过程动量守恒,由于初始状态系统的动
量为零,所以碰撞后两滑块的动量之和也为零,所以A、B的运动方向相反或者两者都静止,
而碰撞为弹性碰撞,碰撞后两滑块的速度不可能都为零,则A应该向左运动,B应该向右运
动,选项D正确,A、B、C错误.
命题点一动量守恒定律的理解和基本应用
例1(多选)如图
2所示,
A、B两物体质量之比
mA∶mB=3∶2,原来静止在平板小车
C上,
A、B间有一根被压缩的弹簧,地面光滑,当弹簧突然释放后,则
(
)
图2
A.若A、B与平板车上表面间的动摩擦因数相同,A、B组成的系统的动量守恒
B.若A、B与平板车上表面间的动摩擦因数相同,A、B、C组成的系统的动量守恒
C.若A、B所受的摩擦力大小相等,A、B组成的系统的动量守恒
D.若A、B所受的摩擦力大小相等,A、B、C组成的系统的动量守恒
答案BCD
解析如果A、B与平板车上表面的动摩擦因数相同,弹簧释放后,A、B分别相对小车向左、
向右滑动,它们所受的滑动摩擦力FfA向右、FfB向左,由于mA∶mB=3∶2,所以FfA∶FfB
=3∶2,则A、B组成的系统所受的外力之和不为零,故其动量不守恒,A选项错误;对A、
B、C组成的系统,A、B与C间的摩擦力为内力,该系统所受的外力为竖直方向的重力和支
持力,它们的合力为零,故该系统的动量守恒,与平板车间的动摩擦因数或摩擦力是否相等
无关,故B、D选项正确;若A、B所受的摩擦力大小相等,则
A、B组成的系统的外力之和
为零,故其动量守恒,C选项正确.
例2
(2017·全国卷Ⅰ·14)将质量为
1.00kg的模型火箭点火升空,50g燃烧的燃气以大小为
600m/s的速度从火箭喷口在很短时间内喷出
.在燃气喷出后的瞬间,火箭的动量大小为
(喷出
过程中重力和空气阻力可忽略
)(
)
A.30
kg·m/s
B.5.7×10
2kgm/·s
C.6.0×102kgm/s·
D.6.3×102kgm/·s
答案
A
设火箭的质量为m1,燃气的质量为
m2.由题意可知,燃气的动量
p2=m2
-
解析
v2=50×10
3×600kg·m/s=30kg·m/s.以火箭运动的方向为正方向,根据动量守恒定律可得,
0=m1v1-
m2
v
2,则火箭的动量大小为
p1=m1
1=m2
v
2=30kg·m/s,所以A正确,B、C、D错误.
v
变式1
两磁铁各放在两辆小车上,
小车能在水平面上无摩擦地沿同一直线运动
.已知甲车和
磁铁的总质量为
0.5kg,乙车和磁铁的总质量为
1kg,两磁铁的N极相对.推动一下,使两车
相向运动,某时刻甲的速率为
2m/s,乙的速率为
3m/s,方向与甲相反,两车运动过程中始
终未相碰.则:
(1)两车最近时,乙的速度为多大?
(2)甲车开始反向时,乙的速度为多大?
答案
(1)4
(2)2m/s
3m/s
解析
(1)两车相距最近时,两车的速度相同,设该速度为
v,取刚开始运动时乙车的速度方
向为正方向,由动量守恒定律得
m乙v乙-m甲v甲=(m甲+m乙)v
所以两车最近时,乙车的速度为
mv
-m
v
甲
1×3-0.5×2
4
v=
乙
乙
甲
=
m/s=
m/s.
m甲+m乙
3
0.5+1
(2)甲车开始反向时,其速度为0,设此时乙车的速度为v乙′,取刚开始运动时乙车的速度方
向为正方向,由动量守恒定律得
m乙v乙-m甲v甲=m乙v乙′
解得v乙′=2m/s
命题点二碰撞模型问题
1.碰撞遵循的三条原则
(1)
动量守恒定律
(2)
机械能不增加
Ek1+Ek2≥Ek1′+Ek2
′或p12+p22≥p1′2+p2′2
2m1
2m2
2m1
2m2
(3)
速度要合理
①同向碰撞:
碰撞前,后面的物体速度大;碰撞后,前面的物体速度大(或相等).
②相向碰撞:
碰撞后两物体的运动方向不可能都不改变.
2.弹性碰撞讨论
(1)碰后速度的求解
根据动量守恒和机械能守恒
m1
v
1+m22=m11′+m22′
①
v
v
v
1
2
1
2
2
1
m1
1′
2
1
2
②
m11
+m2
v
=
v
+m22′
2
v
2
2
2
v
解得v1′=m1-m2v1+2m2v2
m1+m2
m2-m1v2+2m1v1
v2′=m1+m2
(2)分析讨论:
当碰前物体
2的速度不为零时,若m1=m2,则v1′=v2,v2′=v1,即两物体交换速度.
当碰前物体
2的速度为零时,v2=0,则:
′=m1-m2v1,v
′=2m1v1,
v1
2
m1+m2
m1+m2
①m1=m2时,v1′=0,v2′=v1,碰撞后两物体交换速度.
②m1>m2时,v1′>0,v2′>0,碰撞后两物体沿同方向运动.
③m1
例3
(多选)两个小球A、B在光滑水平面上相向运动,已知它们的质量分别是
m1=4kg,
m2=2kg,A的速度v1=3m/s(设为正),B的速度v2=-3m/s,则它们发生正碰后,其速度
可能分别是()
A.均为1m/s
B.+4m/s和-5m/s
C.+2m/s和-1m/s
D.-1m/s和5m/s
答案
AD
解析
由动量守恒,可验证四个选项都满足要求
.再看动能情况
1
2
1
2
1
1
Ek=m11
+m22=×4×9J+×2×9J=27J
2
v
2
v
2
2
1
2
1
2′
2
Ek′=m11′
+m2
v
2
v
2
由于碰撞过程动能不可能增加,所以应有
Ek≥Ek′,可排除选项B.选项C虽满足Ek≥Ek′,
但A、B沿同一直线相向运动,发生碰撞后各自仍能保持原来的速度方向
(vA′>0,vB′<0),
这显然是不符合实际的,因此
C错误.验证选项A、D均满足Ek≥Ek′,故答案为选项A(完
全非弹性碰撞)和选项D(弹性碰撞).
例4
(2016·全国卷Ⅲ·35
(2))如图3所示,水平地面上有两个静止的小物块
a和b,其连线与
墙垂直;a和b相距l,b与墙之间也相距
l;a的质量为m,b的质量为3
4m.两物块与地面间的
动摩擦因数均相同
.现使a以初速度v0向右滑动.此后a与b发生弹性碰撞,但b没有与墙发
生碰撞.重力加速度大小为
g.求物块与地面间的动摩擦因数满足的条件.
图3
2
2
答案
32v0≤μ 113gl 2gl 解析 设物块与地面间的动摩擦因数为 μ.若要物块a、b能够发生碰撞,应有 1 2 2mv0 >μmgl ① 2 即μ ② 2gl 设在a、b发生弹性碰撞前的瞬间, a的速度大小为 v1.由能量守恒定律得 1 mv0 2 1 2 +μmgl ③ 2 =mv1 2 设在a、b碰撞后的瞬间,a、b的速度大小分别为 v1′、v2′,以向右为正方向,由动量守 恒和能量守恒有 mv1=mv1′+3mv2′ ④ 4 1 mv1 2 1 2 1 3 2 ⑤ 2 =mv1′ +×mv2′ 2 2 4 联立④⑤式解得 8 ⑥ v2′=v1 7 由题意,b没有与墙发生碰撞,由功能关系可知 1 3 2 3m ⑦ 2 ×mv2′ ≤μ·gl 4 4 联立③⑥⑦式,可得 32v 2 0 ⑧ μ≥113gl 联立②⑧式得,a与b发生弹性碰撞,但b没有与墙发生碰撞的条件为 32v 2 2 0≤μ 0 113gl 2gl. 变式2 (2015·全国卷Ⅰ·35 (2))如图4所示,在足够长的光滑水平面上,物体 A、B、C位于 同一直线上,A位于B、C之间.A的质量为m,B、C的质量都为 M,三者均处于静止状态. 现使A以某一速度向右运动,求 m和M之间应满足什么条件,才能使 A只与B、C各发生 一次碰撞.设物体间的碰撞都是弹性的. 图4 答案 (5-2)M≤m<M 解析 设A运动的初速度为 v0,A向右运动与C发生碰撞,以向右为正方向,由动量守恒定 律得 mv0=mv1+Mv2 由机械能守恒定律得 1 2 1 mv1 2 1 2 2 mv0= +Mv2 2 2 可得v1=m-M0,v2=2m 0 m+Mv m+Mv 要使得A与B能发生碰撞,需要满足 v1<0,即m<M A反向向左运动与B发生碰撞过程,有 mv1=mv3+Mv4 1 2 1 2 1 2 2 mv1 =mv3 +Mv4 2 2 整理可得v =m-M ,v=2m 3 m+Mv1 4 m+Mv1 由于m<M,所以A还会向右运动,根据要求不发生第二次碰撞,需要满足 v3≤v2 2m M-m m-M2 即 m+Mv0≥m+Mv1=( m+M)v0 22 整理可得m+4Mm≥M 另一解m≤-(5+2)M舍去 所以使A只与B、C各发生一次碰撞,须满足 (5-2)M≤m<M 拓展点 1“滑块—弹簧”碰撞模型 例5 如图5所示,质量M=4kg的滑板B静止放在光滑水平面上,其右端固定一根水平轻 质弹簧,弹簧的自由端 C到滑板左端的距离 L=0.5 m,这段滑板与木块A(可视为质点)之间 的动摩擦因数μ=0.2,而弹簧自由端C到弹簧固定端 D所对应的滑板上表面光滑.木块A以 速度v0=10m/s由滑板B左端开始沿滑板 B上表面向右运动.已知木块A的质量m=1kg,g 取10m/s2.求: 图 5 (1)弹簧被压缩到最短时木块 A的速度大小; (2)木块 A压缩弹簧过程中弹簧的最大弹性势能 . 答案 (1)2m/s (2)39J 解析 (1)弹簧被压缩到最短时,木块 A与滑板 B具有相同的速度,设为 v,从木块 A开始沿 滑板B上表面向右运动至弹簧被压缩到最短的过程中,整体动量守恒,以向右为正方向,则 mv0=(M+m)v m 解得v=M+mv0 代入数据得木块A的速度v=2m/s (2)在木块A压缩弹簧过程中,弹簧被压缩到最短时,弹簧的弹性势能最大,由能量关系知, 最大弹性势能为 1 2 1 2 Epm=mv0 -(m+M)v-μmgL 2 2 代入数据得 Epm=39J. 拓展点2 “滑块—平板”碰撞模型 例6 如图6所示,质量m1=0.3kg的小车静止在光滑的水平面上,车长 L=1.5m,现有质 量m2=0.2 kg可视为质点的物块,以水平向右的速度 v0=2m/s从左端滑上小车,最后在车 面上某处与小车保持相对静止 .物块与车面间的动摩擦因数 μ=0.5,取g=10m/s2,求: 图6 (1)物块与小车共同速度大小; (2)物块在车面上滑行的时间t; (3)小车运动的位移大小x; (4)要使物块不从小车右端滑出,物块滑上小车左端的速度v0′不超过多少? 答案 (1)0.8m/s (2)0.24s(3)0.096m(4)5m/s 解析 (1)设物块与小车共同速度为v,以水平向右为正方向, 根据动量守恒定律: m2v0=(m1+m2)v 解得v=0.8m/s (2)设物块与车面间的滑动摩擦力为Ff,对物块应用动量定理: -Fft=m2v-m2v0 又F=μmg f2 v0-v 解得: t=μg 代入数据得t=0.24s 12 (3)对小车应用动能定理: μm2gx=2m1v 解得x=0.096m (4)要使物块恰好不从小车右端滑出,须使物块运动到小车右端时与小车有共同的速度,设其 为v′,以水平向右为正方向,则: m2v0′=(m1+m2)v′ 由系统能量守恒有: 1 m2v0 ′2=1 (m1 +m 2)v′ 2+μm 2 2 2gL 代入数据解得v0′=5m/s 故要使物块不从小车右端滑出,物块滑上小车左端的速度 v0′不超过5m/s. 拓展点3“滑块—斜面”碰撞模型 例7(2016·全国卷Ⅱ·35 (2))如图7所示,光滑冰面上静止放置一表面光滑的斜面体,斜面 体右侧一蹲在滑板上的小孩和其面前的冰块均静止于冰面上.某时刻小孩将冰块以相对冰面3 m/s的速度向斜面体推出,冰块平滑地滑上斜面体,在斜面体上上升的最大高度为 h=0.3m(h 小于斜面体的高度 ).已知小孩与滑板的总质量为 m1=30kg,冰块的质量为 m2=10kg,小孩 与滑板始终无相对运动 .取重力加速度的大小 g=10m/s2. 图7 (1)求斜面体的质量; (2)通过计算判断,冰块与斜面体分离后能否追上小孩? 答案 (1)20kg (2)不能,理由见解析 解析 (1)规定向左为速度正方向 .冰块在斜面体上上升到最大高度时两者达到共同速度, 设此 共同速度为v,斜面体的质量为 m3.由水平方向动量守恒和机械能守恒定律得 m2v0=(m2+m3)v ① 1m2v0 2=1(m2+m3)v2+m2gh ② 2 2 式中v0=3m/s为冰块推出时的速度 .联立①②式并代入题给数据得 m3=20kg
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