积分法求梁的位移.docx
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积分法求梁的位移
第5章梁弯曲时的位移(Displacement)
§5-1梁的位移一挠度及转角
〃(转角)
w(挠度)
挠度(Deflection):
向下为正
转角(Rotation):
顺时针为正
挠曲线方程:
w=f(x)
转角方程:
0utan3=wr=fr{x)
§7-2梁的挠曲线近似微分方程及其积分
纯弯曲时:
因为在小变形情况下:
EI
)M
M>0m#/<0
X
叽7
El
\/^M
MvOh^>0
挠曲线的近似微分方程:
=-M(x)
1M
2.取心0
1.将纯弯曲的公式一=一推广至横力弯曲pEI
Af>0冶">0
EIwn=-M(x)
E/"=-jM(x)dx+C
例:
弯曲刚度为E/的悬臂梁如图,求梁的挠曲线方程及其最大挠度Wmn%°
%
\11
II
XJ
RX
:
1I
LJ
y
解:
X截面处弯矩方程为:
M(x)=-*o(/_x)2梁的挠曲线方程:
F/vv^=-M(x)=^(/-x)2EIwr=f^-(/-x)2dx=-—(/-x/+C
J26
EIw=
EZw=J|--^(/-x)3+C]d¥=^-(/-x)4+Cr+£>
曰“」=_¥(/“f+c
利用位移条件确定积分常数:
边界条件:
I)x=0处w=0
念广+£>=0
24
D=一必
24
乘=券(1寸+3给
2)兀=0处皿=0
-鱼■尸+c=o
6
八吉一敎T+瞥]
当兀=/时:
隘X="I日
o£_
6EI
VVmax
例:
求图示弯曲刚度为£7的简支梁的挠曲线和转角方程,并确定其最大挠度和最大转角。
Fl
解:
1)求弯矩方程
4£)段:
M)(x)=-y~x
段:
A/2(x)=—x-F(x-tz)
EIw:
=-M|(x)=-F—x
EIw;=—M.(x)=-FyF(兀一a
EIw[=-—x2+C,
Fh
EAv.=-—x'+C.x+D.
16/'I
Fh2F(x-«)2
EIw^=x++C7
-2/2-
中Fb3F(x-a^厂c
El=x+卜C^x+
-6/6
Ph
AD段:
E/vv;=-—x2+Cf
Fb
EI\vx=x3+C.x+Dx
16/11
沏段:
曰以"卫,
〜212-
Fb3F(x^af厂门--—X-\kC^X+D,
4)确定积分常数
位移边界条件:
a)x=0时,VV,=0
P=0
EIw.=—+C.x
1611
Fh
AD段:
EIw\=宀C\
21
h^lwx=x+
16/1
DB段:
曰以=—卫,+G
-212-
中_Fb3F(x-ctf
EI=x++CqX+D.
26/62
b)兀=/时,w2=0
~—l3+fQ_a)3+C2l+D^=0
6/6
Fh
AD段:
EIw\=宀C\
21
EIw}=-^-xy+C.x
16/1
段:
EIw;=
-21
RFb3
EI=X+
Fb2F(x_d)2厂
jt+—乙+G
2-
61
KC^x+D,
位移连续条件:
Fb3
a
61
a)x=d时,w,=w2
Fb
+Cxci=a+C^ct+
61~~
Cxa=C、a+D2
空刃刖一6/耐_-
-一一,11■£•£•_
x3+Cxx
2F(x-a^
—JT++C°
212-
中_Fb3F(x-a)3厂门
EI=X++CryX+D.
26/62
b)兀=幺时,vp2*
Fb2Fb2
a十C]=ci+C
211212
Q=c2
D}=0
Fb^F(l-a)3厂7cn
/+—^+CJ+=0
61622C{a=C2a+D】
C.=c2
求得:
G=G=穿孑一,)
6/
D{=D2=0
AD段:
^'=w,}=2iEI^2~b^~X
'6/E/LV7」
沏段:
&2=W2=-^—y(x-6/)~+^(/2-h2)-
21EI\_b3
=Fb_£(x_r)3+02
-6IEIb'7V7
当载荷作用在梁的中点,即a"=〃2时,其最大转角和挠度为:
1.关于分段的确定
原则:
挠曲线微分方程发生了变化,均需分段。
vv=O
VV]'=^2PVV|=W2W]=W2
连续条件:
2.位移条件
边界条件:
ib
=0/vv=O
混合条件:
A
W]-W2
vv(=O
vv2=O
=1P2
VV|=J
vv2=J
Elw=-M(x)
EIw+C
EIw=—J[JA/(x)dx]dx-f-Cr4-Z)
1.Af(x)=O的区段,挠曲线为斜直线;
2.Af(x)^O的区段,挠曲线为曲线;
3.M(x)>0的区段,挠曲线为下凸;
4.M(x)<0的区段,挠曲线为上凸;
5.M(x)=0的截面,挠曲线出现反弯点;
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