第18讲巧解数字问题二.docx
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第18讲巧解数字问题二
第18讲巧解数字问题
(二)
巧点睛——方法和技巧
数字问题不仅有一定的规律,而且还非常有趣,其常见的解题方法是:
(1)根据已知条件,分析数或数字的特点,寻找其中的规律。
(2)将各种可能的情况一一列举,排除不符合题意的部分,从中找出符合题意的结论。
(3)找出数中数字之间的相差关系和倍数关系,转化成“和倍”、“差倍”等问题。
(4)条件复杂时,可先将题中条件用字式、竖式表示,然后借助字式、竖式进行分析推理。
巧指导——例题精讲
A级冲刺名校·基础点睛
【例1】有一个两位数,十位上的数字是个位上数字的3倍。
如果把十位上的数字和个位上的数字对调位置,组成一个新的两位数(我们称新数为原数的倒转数)。
已知这两个两位数的差是54,求原来的两位数。
分析与解我们找几组倒转数相减,观察其规律为
31-13=18=(3-1)×952-25=27=(5-2)×9
73-37=36=(7-3)×994-49=45=(9-4)×9
原来,任意一个两位数与它的倒转数的差,一定等于这个数中的两个数字差的9倍。
题中已知两个倒转数的差是54,那么,两个数字的差就是54÷9=6,因为十位上的数字是个位上数字的3位,比个位上的数字多2倍,所以6÷(3-1)=3,个位上的数字是3,十位上的数字是3×3=9。
原来的两位数是93。
做一做1有一个两位数,十位上的数字是个位上数字的2倍。
如果把这两个数字对调位置,组成一个新的两位数,这两个两位数的差是36。
求原来的两位数。
【例2】有一个四位数,4个数字均不相同,且不含数字0,它的千位和百位上的数字的和为10。
如果把这个四位数倒过来读,就比原数增加7875,求原数。
(倒过来读指数字的前后顺序和上下都颠倒,如901就成为106,又如6891就成为1689。
)
分析与解能倒过来读的数字只有0,1,6,8,9。
根据千位数字与百位数字的和是10,倒过来读就比原来增加7875,可知千位数字为1,百位数字为9。
又四个数字均不同,不含数字0,可知十位和个位数字只能是8和6。
从比原数增加7875可以看出:
个位上增加了5,原数的个位数字就一定是6,所以原数是1986。
做一做2一个两位数的个位和十位上的数的和是10,此数比它的倒转数多72。
求这个两位数。
【例3】有一类自然数,从第三个数字开始,每个数字都恰好是它前面两个数字之和,如257,1459等,这类自然数中最大的是。
(2002年奥赛初赛题)
分析与解确定一个自然数有两个条件,一是它的位数,一是各数位上的数字,要想自然数尽量大,数位就要尽量多,所以前几位数的数值应尽量小。
设这个数的第一位数字为1,第二位数字是0,依次计算得出所求的这个数是10112358。
做一做3一个自然数,从第三个数字开始,每个数字都是它前面两个数字之积,试求出满足这个条件的最大的六位数。
B级培优竞赛·更上层楼
【例4】37个连续奇数之和是2035,那么其中最大的一个奇数是多少?
分析如果知道了这37个数的第几个数是多少,再由这37个数是连续的奇数,就可知道这37个数各是多少。
2035除以37的商是这37个数的中间那个数,即第19个数,这样问题就解决了。
解由于
2035÷37=55
所以,第19个数是55,于是第20个数是55+2。
将这37个数按从小到大的排列,每一个数都比前一个数大2。
第37个数是55右边的第18个,它比55大18个2。
55+18×2=91
做一做421个连续自然数之和是441,那么其中最小的一个数是多少?
【例5】有三个连续的两位自然数,它们的和也是两位数,并且是29的倍数。
那么,这三个两位数的和是多少?
分析问题涉及的两位数有90个,要从中直接选出3个连续的,且其和是两位数,又要是29的倍数,显然不是轻易就能办到的。
能否通过间接的方式思考呢?
这三个连续数的和还应是3的倍数,由此可找到解题的捷径。
解因为这三个连续的两位数之和也是两位数,所以这三个数的只能是
29×3=87
这三个两位数分别是
28,29,30
做一做5有三个连续的两位自然数,它们的和是三位数,并且是31的倍数。
那么,这三个数的和最小是多少?
【例6】有100个连续自然数按从小到大的顺序排列,其总和是9350,取出其中第2个。
第4个……第100个,那么剩下的数的和是多少?
分析1从100个连续自然数中,取出第2个、第4个……第100个数后,还剩下50个数,这50个数也是连续数。
若知道了剩下50个数中的第1个和最后一个,就可求得和是多少。
解这剩下50个数的第1个和最后一个分别是
1+[9350-(1+2+3+…+100)]÷100=44
99+[9350-(1+2+3+…+100)]÷100=142
所以,剩下的数的和为
(44+142)×50÷2=4650
分析2以上解法是这类问题的一般解法,由于这个问题的特殊性,可以不按常规思维解答。
由问题的条件可知,第2个数比第1个数多1,第4个数比第3个数多1……第100个数比第99个数多1,因此取出的50个数的和比剩下的50个数的和多50。
从总和9350中减去50,再除以2,其商为所求。
解由以上分析可知,剩下的数的和是
(9350-50)÷2=4650
小结后一种解法比前一种解法更为直接、简捷。
做一做6连续32个自然数之和是1136,问这32个自然数中所有偶数之和是多少?
C级(选学)决胜总决赛·勇夺冠军
【例7】将自然数按如下规律排成三角形数阵。
那么,自然数2008是排列在第多少行,左起第几个数?
1
23
654
78910
1514131211
…………………………
分析从三角形数阵可以看出,每行所排列的自然数的个数分别是1,2,3,4,5,6,…
1~2008这2008个自然数可以排列成多少行呢?
先作一个估计。
因为从第1行到100行,要排成(1+2+3+…+100=)5050个数,2008年数可能要排到60行以上。
通过计算来进行调整,就可找到问题的答案。
解由于1+2+3+…+60=1830,而1830+61=1891,1891+62=1953,1953+63=2016,1953<2008<2016,所以,2008在第63行。
单数行的数是从右往左排,双数行的数是从左往右排。
63是单数,又因为2008-1953=55<63,所以2008是第63行的右起第55个数,即左起的第(63-55+1=)9个数。
做一做7把自然数1,2,3,…按下表中的顺序排列在格子里,问最上面的一横行中,从左到右第1995个数是什么?
1
3
6
10
15
2
5
9
14
4
8
13
7
12
11
巧练习——温故知新(十八)
A级冲刺名校·基础点睛
1.有一个两位数,十位上的数字是个位上数字的2倍。
如果把这两个数字对调位置,组成一个新的两位数。
已知这两个两位数的和是132,求原来的两位数是多少。
2.有一个两位数,十位上的数字比个位上的数字少2。
如果把这个两位数的个位与十位上的数字对调,所得的新两位数与原两位数的和是154。
求原来的两位数是多少。
3.在五位数中,即是对称数,又可以写成两个对称数的积的最小的数是多少。
4.一个三位数的各位数字之和是17,其中十位数字比个位数字大1。
如果把这个三位数的百位数字与个位数字对调得到一个新的三位数,则新的一位数比原三位数大198。
求原来的三位数。
5.一个三位数,各位数字的和是12,十位上的数字和百位上的数字一样大小,个位上的数字是十位上数字的2位,求这个三位数。
B级培优竞赛·更上层楼
6.一个三位数,如果把数字2加在它的前面或后面,都能得到一个四位数。
如果这两个四位数的和是8888,那么,原来的三位数是多少。
7.在一个两位数的两个数字中间加一个0,所得的数是原数的7倍。
求这个两位数是多少。
8.一个三位数,个位数字是3。
如果个位数字移作百位数字,原百位数字移作十位数字,原十位数字移作个位数字,那么所得的新数比原数少171。
求原数是多少。
9.把一个两位数的个位数字与十位数字交换后得一个新数,它与原来的数加起来,恰好是某个自然数的平方。
求这个和是多少。
10.将一个四位数的数字顺序颠倒过来,得到一个新的四位数。
如果新数比原数大7992,那么,所有符合这样条件的四位数中,原数最大的是多少?
(1999年奥数初赛题)
C级(选学)决胜总决赛·勇夺冠军
11.如果一个数的各个数位上的数的和是15,而且各数位上的数字不相同,那么符合条件的数最小是,最大是。
12.已知两个四位数的差等于8921,那么这两个四位数的和的最大值是多少?
13.有一个三位数,如果把数字6添在它前面可以得到一个四位数,添在它的后面也可以得到一个四位数,这两个四位数的差是1611。
求原来的三位数。
14.新世纪学校的学生总数是一个三位数,平均每个班36人。
统计员提供的学生总数却比实际人数少180人。
原来,他在记录时粗心地将这个三位数的百位、十位上的数对调了。
求这个学校的学生总数是多少人。
15.有五张卡片,每张卡片上写着三个数字;把五张卡片并排摆在一起,再横着读就能得到三个五位数。
当这些卡片按不同顺序和方向摆放时,所得到的三个五位数之和最小是多少?
巧总结
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- 18 解数 问题