特殊四边形问题特色专题中考数学.docx
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特殊四边形问题特色专题中考数学
特殊四边形问题
【考点综述评价】
平行四边形、矩形、菱形、正方形等特殊四边形,是近年中考的热点问题之一,掌握它们的概念,了解它们之间的关系,掌握有关的性质和判定.通常是通过添加适当的辅助线转化为三角形来解决数学问题和现实问题,注重考查同学们的观察、猜想、推理、探究等活动的能力以及对知识的理解能力.
突显出要把平行四边形转化为三角形来解决,把复杂的图形分解为线段相等或平行等基本图形,运用函数、列方程求解.
【考点分类总结】
考点1:
特殊四边形与函数的联系
【典型例题】(2017四川省乐山市)如图,平面直角坐标系xOy中,矩形OABC的边OA、OC分别落在x、y轴上,点B坐标为(6,4),反比例函数
的图象与AB边交于点D,与BC边交于点E,连结DE,将△BDE沿DE翻折至△B'DE处,点B'恰好落在正比例函数y=kx图象上,则k的值是( )
A.
B.
C.
D.
【方法归纳】
结合特殊四边形的性质,列出关系式,结合选项进行判断.
【变式训练】
(2017湖北省襄阳市)如图,矩形OABC的两边在坐标轴上,点A的坐标为(10,0),抛物线
过点B,C两点,且与x轴的一个交点为D(﹣2,0),点P是线段CB上的动点,设CP=t(0<t<10).
(1)请直接写出B、C两点的坐标及抛物线的解析式;
(2)过点P作PE⊥BC,交抛物线于点E,连接BE,当t为何值时,∠PBE=∠OCD?
(3)点Q是x轴上的动点,过点P作PM∥BQ,交CQ于点M,作PN∥CQ,交BQ于点N,当四边形PMQN为正方形时,请求出t的值.
考点2:
平行四边形探究
【典型例题】(2017山东省泰安市)如图,四边形ABCD是平行四边形,AD=AC,AD⊥AC,E是AB的中点,F是AC延长线上一点.
(1)若ED⊥EF,求证:
ED=EF;
(2)在
(1)的条件下,若DC的延长线与FB交于点P,试判定四边形ACPE是否为平行四边形?
并证明你的结论(请先补全图形,再解答);
(3)若ED=EF,ED与EF垂直吗?
若垂直给出证明.
【方法归纳】
利用平行四边形对边平行且相等这一特征,一般作平行线找到平行四边形的顶点位置,再根据线段相等转化为方程解决.
【变式训练】
(2017青海省西宁市)如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点A,C分别在x轴,y轴的正半轴上,且OA=4,OC=3,若抛物线经过O,A两点,且顶点在BC边上,对称轴交BE于点F,点D,E的坐标分别为(3,0),(0,1).
(1)求抛物线的解析式;
(2)猜想△EDB的形状并加以证明;
(3)点M在对称轴右侧的抛物线上,点N在x轴上,请问是否存在以点A,F,M,N为顶点的四边形是平行四边形?
若存在,请求出所有符合条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由.
考点3:
菱形探究
【典型例题】(2017山东省潍坊市)边长为6的等边△ABC中,点D、E分别在AC、BC边上,DE∥AB,EC=
.
(1)如图1,将△DEC沿射线方向平移,得到△D′E′C′,边D′E′与AC的交点为M,边C′D′与∠ACC′的角平分线交于点N,当CC′多大时,四边形MCND′为菱形?
并说明理由.
(2)如图2,将△DEC绕点C旋转∠α(0°<α<360°),得到△D′E′C,连接AD′、BE′.边D′E′的中点为P.
①在旋转过程中,AD′和BE′有怎样的数量关系?
并说明理由;
②连接AP,当AP最大时,求AD′的值.(结果保留根号)
【方法归纳】
利用菱形的四边相等关系转化为方程解决,也可以转化为等腰三角形问题解决,或者先作出平行四边形,再利用两邻边相等转化为方程解决.
【变式训练】
(2017辽宁省阜新市)在菱形ABCD中,点E为对角线BD上一点,点F,G在直线BC上,且BE=EG,∠AEF=∠BEG.
(1)如图1,求证:
△ABE≌△FGE;
(2)如图2,当∠ABC=120°时,求证:
AB=BE+BF;
(3)如图3,当∠ABC=90°,点F在线段BC上时,线段AB,BE,BF的数量关系如何?
(请直接写出你猜想的结论)
考点4:
矩形探究
【典型例题】(2017山西省)综合与实践
背景阅读早在三千多年前,我国周朝数学家商高就提出:
将一根直尺折成一个直角,如果勾等于三,股等于四,那么弦就等于五,即“勾三,股四,弦五”.它被记载于我国古代著名数学著作《周髀算经》中.为了方便,在本题中,我们把三边的比为3:
4:
5的三角形称为(3,4,5)型三角形.例如:
三边长分别为9,12,15或
的三角形就是(3,4,5)型三角形.用矩形纸片按下面的操作方法可以折出这种类型的三角形.
实践操作如图1,在矩形纸片ABCD中,AD=8cm,AB=12cm.
第一步:
如图2,将图1中的矩形纸片ABCD沿过点A的直线折叠,使点D落在AB上的点E处,折痕为AF,再沿EF折叠,然后把纸片展平.
第二步:
如图3,将图2中的矩形纸片再次折叠,使点D与点F重合,折痕为GH,然后展平,隐去AF.
第三步:
如图4,将图3中的矩形纸片沿AH折叠,得到△AD′H,再沿AD′折叠,折痕为AM,AM与折痕EF交于点N,然后展平.
问题解决
(1)请在图2中证明四边形AEFD是正方形.
(2)请在图4中判断NF与ND′的数量关系,并加以证明.
(3)请在图4中证明△AEN是(3,4,5)型三角形.
探索发现
(4)在不添加字母的情况下,图4中还有哪些三角形是(3,4,5)型三角形?
请找出并直接写出它们的名称.
【方法归纳】
一是转化为直角三角形问题,二是利用对角线相等转化为方程解决.
【变式训练】
(2017甘肃省兰州市)如图,抛物线
与直线AB交于A(﹣4,﹣4),B(0,4)两点,直线
交y轴于点C.点E是直线AB上的动点,过点E作EF⊥x轴交AC于点F,交抛物线于点G.
(1)求抛物线
的表达式;
(2)连接GB,EO,当四边形GEOB是平行四边形时,求点G的坐标;
(3)①在y轴上存在一点H,连接EH,HF,当点E运动到什么位置时,以A,E,F,H为顶点的四边形是矩形?
求出此时点E,H的坐标;
②在①的前提下,以点E为圆心,EH长为半径作圆,点M为⊙E上一动点,求
AM+CM它的最小值.
考点5:
正方形探究
【典型例题】(2017贵州省遵义市)边长为
的正方形ABCD中,P是对角线AC上的一个动点(点P与A、C不重合),连接BP,将BP绕点B顺时针旋转90°到BQ,连接QP,QP与BC交于点E,QP延长线与AD(或AD延长线)交于点F.
(1)连接CQ,证明:
CQ=AP;
(2)设AP=x,CE=y,试写出y关于x的函数关系式,并求当x为何值时,CE=
BC;
(3)猜想PF与EQ的数量关系,并证明你的结论.
【方法归纳】
画出图形,转化为等腰三角形问题解决法归纳总结.
【变式训练】
(2017黑龙江省龙东地区)在四边形ABCD中,对角线AC、BD交于点O.若四边形ABCD是正方形如图1:
则有AC=BD,AC⊥BD.
旋转图1中的Rt△COD到图2所示的位置,AC′与BD′有什么关系?
(直接写出)
若四边形ABCD是菱形,∠ABC=60°,旋转Rt△COD至图3所示的位置,AC′与BD′又有什么关系?
写出结论并证明.
【新题好题训练】
1.(2017贵州省贵阳市)如图,在矩形纸片ABCD中,AB=2,AD=3,点E是AB的中点,点F是AD边上的一个动点,将△AEF沿EF所在直线翻折,得到△A′EF,则A′C的长的最小值是.
2.(2017江苏省盐城市)如图,矩形ABCD中,∠ABD、∠CDB的平分线BE、DF分别交边AD、BC于点E、F.
(1)求证:
四边形BEDF是平行四边形;
(2)当∠ABE为多少度时,四边形BEDF是菱形?
请说明理由.
3.(2017江苏省盐城市)【探索发现】
如图①,是一张直角三角形纸片,∠B=90°,小明想从中剪出一个以∠B为内角且面积最大的矩形,经过多次操作发现,当沿着中位线DE、EF剪下时,所得的矩形的面积最大,随后,他通过证明验证了其正确性,并得出:
矩形的最大面积与原三角形面积的比值为.
【拓展应用】
如图②,在△ABC中,BC=a,BC边上的高AD=h,矩形PQMN的顶点P、N分别在边AB、AC上,顶点Q、M在边BC上,则矩形PQMN面积的最大值为.(用含a,h的代数式表示)
【灵活应用】
如图③,有一块“缺角矩形”ABCDE,AB=32,BC=40,AE=20,CD=16,小明从中剪出了一个面积最大的矩形(∠B为所剪出矩形的内角),求该矩形的面积.
【实际应用】
如图④,现有一块四边形的木板余料ABCD,经测量AB=50cm,BC=108cm,CD=60cm,且tanB=tanC=
,木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点M、N在边BC上且面积最大的矩形PQMN,求该矩形的面积.
4.(2017山东省威海市)如图,四边形ABCD为一个矩形纸片,AB=3,BC=2,动点P自D点出发沿DC方向运动至C点后停止,△ADP以直线AP为轴翻折,点D落在点D1的位置,设DP=x,△AD1P与原纸片重叠部分的面积为y.
(1)当x为何值时,直线AD1过点C?
(2)当x为何值时,直线AD1过BC的中点E?
(3)求出y与x的函数表达式.
5.(2017德州)如图1,在矩形纸片ABCD中,AB=3cm,AD=5cm,折叠纸片使B点落在边AD上的E处,折痕为PQ,过点E作EF∥AB交PQ于F,连接BF.
(1)求证:
四边形BFEP为菱形;
(2)当点E在AD边上移动时,折痕的端点P、Q也随之移动;
①当点Q与点C重合时(如图2),求菱形BFEP的边长;
②若限定P、Q分别在边BA、BC上移动,求出点E在边AD上移动的最大距离.
6.(2017湖南省永州市)已知点O是正方形ABCD对角线BD的中点.
(1)如图1,若点E是OD的中点,点F是AB上一点,且使得∠CEF=90°,过点E作ME∥AD,交AB于点M,交CD于点N.
①∠AEM=∠FEM;②点F是AB的中点;
(2)如图2,若点E是OD上一点,点F是AB上一点,且使
,请判断△EFC的形状,并说明理由;
(3)如图3,若E是OD上的动点(不与O,D重合),连接CE,过E点作EF⊥CE,交AB于点F,当
时,请猜想
的值(请直接写出结论).
7.(2017四川省南充市)如图,在正方形ABCD中,点E、G分别是边AD、BC的中点,AF=
AB.
(1)求证:
EF⊥AG;
(2)若点F、G分别在射线AB、BC上同时向右、向上运动,点G运动速度是点F运动速度的2倍,EF⊥AG是否成立(只写结果,不需说明理由)?
(3)正方形ABCD的边长为4,P是正方形ABCD内一点,当
,求△PAB周长的最小值.
8.(2017枣庄)如图,抛物线
与x轴交于点A和点B,与y轴交于点C,点B坐标为(6,0),点C坐标为(0,6),点D是抛物线的顶点,过点D作x轴的垂线,垂足为E,连接BD.
(1)求抛物线的解析式及点D的坐标;
(2)点F是抛物线上的动点,当∠FBA=∠BDE时,求点F的坐标;
(3)若点M是抛物线上的动点,过点M作MN∥x轴与抛物线交于点N,点P在x轴上,点Q在坐标平面内,以线段MN为对角线作正方形MPNQ,请写出点Q的坐标.
9.(2017山东省烟台市)如图,菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AC=12cm,BD=16cm,动点N从点D出发,沿线段DB以2cm/s的速度向点B运动,同时动点M从点B出发,沿线段BA以1cm/s的速度向点A运动,当其中一个动点停止运动时另一个动点也随之停止,设运动时间为t(s)(t>0),以点M为圆心,MB长为半径的⊙M与射线BA,线段BD分别交于点E,F,连接EN.
(1)求BF的长(用含有t的代数式表示),并求出t的取值范围;
(2)当t为何值时,线段EN与⊙M相切?
(3)若⊙M与线段EN只有一个公共点,求t的取值范围.
10.(2017山东省烟台市)如图1,抛物线
与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,AB=4,矩形OBDC的边CD=1,延长DC交抛物线于点E.
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图2,点P是直线EO上方抛物线上的一个动点,过点P作y轴的平行线交直线EO于点G,作PH⊥EO,垂足为H.设PH的长为l,点P的横坐标为m,求l与m的函数关系式(不必写出m的取值范围),并求出l的最大值;
(3)如果点N是抛物线对称轴上的一点,抛物线上是否存在点M,使得以M,A,C,N为顶点的四边形是平行四边形?
若存在,直接写出所有满足条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由.
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- 特殊 四边形 问题 特色 专题 中考 数学