数学实验课后习题56解答.docx
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数学实验课后习题56解答
5.6实验
§5.6实验
5.6.1实验一:
数据拟合MATLAB人口指数增长模型中的参数
1790--1980年间美国每隔10年的人口记录如表5.3:
[endif]>用以上数据检验马尔萨斯(Malthus)人口指数增长模型,根据检验结果进一步讨论马尔萨斯人口模型的改进.
********************************************************************
提示:
Malthus模型的基本假设是人口的增长率为常数,记为r。
记时刻t的人口为x(t)(既x(t)为模型的状态变量),且初始时刻的人口为
于是得到如下微分方程
需要先求微分方程的解,再用数据拟合模型中的参数,
********************************************************************
解答:
1.多项式拟合
代码:
x=1790:
10:
1980;
y=[3.95.37.29.612.917.123.231.438.650.262.976.092.0106.5123.2131.7150.7179.3204.0226.5];
plot(x,y,'.')%散点图
holdon
p=polyfit(x,y,4)
x1=1760:
5:
1980;
y1=polyval(p,x1);
plot(x1,y1,'r')
holdoff
x2=11;
y2=polyval(p,x2)
图像:
图像5.6.1.1
图像5.6.1.2
图像5.6.1.3
2.指数函数简单拟合
代码:
dsolve('Dx=r*x')
ans=
C1*exp(r*t)
f=dsolve('Dx=r*x','x(0)=x0','t')
f=
x0*exp(r*t)
functiony=lihaibo(a,x)
y=a
(1).*exp(a
(2).*x);
clc,clear
a0=[50,0.02];%赋予a的初始值.
x=[1790:
10:
1980];
y=[3.95.37.29.612.917.123.231.438.650.262.976.092.0106.5123.2131.7150.7179.3204.0226.5];
a=lsqcurvefit('lihaibo',a0,x,y)
xi=[1790:
10:
1980];
yi=lihaibo(a,x);
plot(x,y,'.',xi,yi)
xlabel('x'),ylabel('y=f(x)');
Optimizationterminated:
normofthecurrentstepisless
thanOPTIONS.TolX.
a=
0.00000.0190
图像5.6.1.4
3.指数函数一般拟合
程序代码:
functionf=renkouzengzhangzhishuhanshunihe(a,x)
f=a
(1)./(1+(a
(1)./3.9-1)*exp(-a
(2).*x));
clc
x=0:
10:
190;
y=[3.95.37.29.612.917.123.231.438.650.262.976.092.0106.5123.2131.7150.7179.3204.0226.5];
a0=[500,0];
a=lsqcurvefit('renkouzengzhangzhishuhanshunihe',a0,x,y)
xi=0:
10:
300;
yi=renkouzengzhangzhishuhanshunihe(a,xi);
plot(x,y,'*',xi,yi)
xlabel('t'),ylabel('x=f(t)');
Optimizationterminated:
relativefunctionvalue
changingbylessthanOPTIONS.TolFun.
a=
285.89240.0286
图像:
5.6.2实验二:
旧车价格预测
某年美国旧车价格的调查资料如表5.4,其中
表示轿车的使用年数,
表示相应的平均价格。
试分析用什么形式的曲线来拟合上述的数据,并预测使用4、5年后轿车的平均价格大致为多少
1)此方法为多项式拟合
解答:
程序代码:
x=[12345678910]
y=[2615194314941087765538484290226204]
xi=4.5;
yi=interp1(x,y,xi,'spline')
plot(x,y,'.',xi,yi,'*')
holdon
p=polyfit(x,y,3)
x1=1:
0.0005:
15;
y1=polyval(p,x1);
plot(x1,y1,'r')
holdoff
x2=11;
y2=polyval(p,x2)
yi=
916.5004
p=
1.0e+003*
-0.00270.0800-0.85283.3801
y2=
139.6000
图像:
2)此方法为反比例函数拟合
解答
程序代码:
functionf=fanbilihanshu(t,x);
f=t
(1)./(t
(2)*x+t(3));
x=[12345678910];
y=[2615194314941087765538484290226204];
t0=[111];
a=lsqcurvefit('fanbilihanshu',t0,x,y)
xi=0:
0.01:
10;
yi=fanbilihanshu(a,xi);
plot(x,y,'*',xi,yi)
Optimizationterminated:
relativefunctionvalue
changingbylessthanOPTIONS.TolFun.
a=
-664.6854-0.1478-0.0948
图像:
3)此方法为指数函数拟合
解答
程序代码:
functionf=zhishuhanshu(t,x);
f=t
(1)*exp(-t
(2)*x)+t(3);
x=[12345678910];
y=[2615194314941087765538484290226204];
t0=[123];
a=lsqcurvefit('zhishuhanshu',t0,x,y)
xi=0:
0.01:
10;
yi=zhishuhanshu(a,xi);
plot(x,y,'*',xi,yi)
Optimizationterminated:
relativefunctionvalue
changingbylessthanOPTIONS.TolFun.
a=
1.0e+003*
3.54420.0003-0.0130
图像:
4)此方法为对数函数拟合
解答
程序代码:
functionf=duishuhanshu(p,x);
f=p
(1)*log(p
(2)*x)+p(3);
x=[12345678910];
y=[2615194314941087765538484290226204];
p0=[111];
q=lsqcurvefit('duishuhanshu',p0,x,y)
xi=0:
0.01:
10;
yi=duishuhanshu(q,xi);
plot(x,y,'*',xi,yi)
Warning:
Logofzero.
>Induishuhanshuat2
Induishuhanshudiaoyongat6
Warning:
ImaginarypartsofcomplexXand/orYargumentsignored.
>Induishuhanshudiaoyongat7
Optimizationterminated:
relativefunctionvalue
changingbylessthanOPTIONS.TolFun.
q=
1.0e+003*
-1.11010.00051.9181
Warning:
Logofzero.
>Induishuhanshuat2
Induishuhanshudiaoyongat6
图像
5.6.3实验三:
经济增长模型
[endif]>增加生产、发展经济所依靠的主要因数有增加投资、增加劳动力以及技术革新等,在研究国民经济产值与这些因素的数量关系时,由于技术水平不像资金、劳动力那样容易量化,作为初步的模型,可认为技术水平不变,只讨论产值和资金、劳动力之间的关系。
在科学技术发展不快的时候,如资本主义经济发展的前期,这种模型是有意义的。
用Q,K,L分别表示产值、资金、劳动力,要寻求的数量关系Q(K,L),经过简化假设与分析,在经济学中,推导出一个著名的Cobb-Douglas产生函数
式中
要由经济统计数据确定。
现有美国马萨诸塞州1900—1926年上述三个经济指数的统计数据,如表5.5,试用数据拟合的方法,求(*)式中的参数
****************************************************************
提示:
由于(*)式对参数
是非线性的,因此,可以有两种方式进行拟合,一是直接使用MATLAB软件中的曲线拟合命令,另一个是将非线性函数转化成线性函数的形式,使用线性函数拟合。
解答:
程序代码如下
functiona=curvefun(x,y)
a=x
(1)*(y(1,:
).^x
(2)).*(y(2,:
).^x(3));
a=[1.051.181.291.301.301.421.501.521.461.601.691.811.931.952.012.002.091.962.202.122.162.082.242.562.342.452.58];
y=[1.041.061.161.221.271.371.441.531.572.052.512.632.742.823.243.243.614.104.364.774.754.544.544.584.584.584.54;1.051.081.181.221.171.301.391.471.311.431.581.591.661.681.651.621.861.931.961.951.901.581.671.821.601.611.64];
x0=[0.1,0.1,0.2];
x=lsqcurvefit('curvefun',x0,y,a)
m=linspace(0,2.7,27);n=linspace(0,2.7,27);
[M,N]=meshgrid(m,n);
a=x
(1)*(M.^x
(2)).*(N.^x(3));
mesh(M,N,a);
xlabel('K'),ylabel('L'
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