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完整全国高考理科数学全国一卷试题及答案推荐文档
2018年全国普通高等学校招生全国统一考试
(全国一卷)理科数学
一、选择题:
(本题有12小题,每小题5分,共60分。
)
1、设z=,则∣z∣=()
1
A.1B.2C.1D.
2、已知集合A={x|x2-x-2>0},则A=()
A、{x|-1 C、{x|x<-1}∪{x|x>2}D、{x|x≤-1}∪{x|x≥2} 3、某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番,为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例,得到如下饼图: 则下面结论中不正确的是() A.新农村建设后,种植收入减少 B.新农村建设后,其他收入增加了一倍以上 C.新农村建设后,养殖收入增加了一倍 D.新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4、记Sn为等差数列{an}的前n项和,若3S3=S2+S4,a1=2,则a5=() A、-12B、-10C、10D、12 5、设函数f(x)=x³+(a-1)x²+ax.若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为() A.y=-2xB.y=-xC.y=2xD.y=x → 6、在∆ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则E𝐵=() 3 A.4 →1→ -4 1 B.4 →3→ -4 3 C.4 →1→ +4 1 D.4 →3→ +4 7、某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如右图。 圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从M到N的路径中,最短路径的长度为() A. 2 B. 2 C.3 D.2 2 8.设抛物线C: y²=4x的焦点为F,过点(-2,0)且斜率为3的直线与C交于M,N两点, →→ 则𝐹𝑀·𝐹𝑁=() A.5B.6C.7D.8 9.已知函数f(x)=g(x)=f(x)+x+a,若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是() A.[-1,0)B.[0,+∞)C.[-1,+∞)D.[1,+∞) 10.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形。 此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分 别为直角三角形ABC的斜边BC,直角边AB,AC.△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ,黑色部分记为Ⅱ,其余部分记为Ⅲ。 在整个图形中随机取一点,此点取自Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的概率分别记为p1,p2,p3,则() A.p1=p2 B.p1=p3 C.p2=p3 D.p1=p2+p3 11.已知双曲线C: 2 3 -y²=1,O为坐标原点,F为C的右焦点,过F的直线与C的两条渐近线的交 点分别为M,N.若△OMN为直角三角形,则∣MN∣=() 3 A.2B.3C.D.4 12.已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面积的最大值为() 所成的角都相等,则截此正方体所得截面面 A. B.C.D. 二、填空题: 本题共4小题,每小题5分,共20分。 13. 若x,y满足约束条件则z=3x+2y的最大值为. 14.记Sn为数列{an}的前n项和.若Sn=2an+1,则S6=. 15.从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不同的选法共有 种.(用数字填写答案) 16.已知函数f(x)=2sinx+sin2x,则f(x)的最小值是. 三.解答题: 共70分。 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。 第22、23题为选考题,考生根据要求作答。 17.(12分) (一)必考题: 共60分。 在平面四边形ABCD中,∠ADC=90°,∠A=45°,AB=2,BD=5. (1)求cos∠ADB; (2) 若DC=,求BC. 18.(12分) 如图,四边形ABCD为正方形,E,F分别为AD,BC的中点,以DF为折痕把∆DFC折起,使点 C到达点P的位置,且PF⊥BF. (1)证明: 平面PEF⊥平面ABFD; (2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值. 19.(12分) 2 设椭圆C: 2+y²=1的右焦点为F,过F的直线l与C交于A,B两点,点M的坐标为(2,0). (1)当l与x轴垂直时,求直线AM的方程; (2)设O为坐标原点,证明: ∠OMA=∠OMB. 20、(12分) 某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检 验出不合格品,则更换为合格品,检验时,先从这箱产品中任取20件产品作检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品做检验,设每件产品为不合格品的概率都为P(0 (1) 记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(P),求f(P)的最大值点。 (2) 现对一箱产品检验了20件,结果恰有2件不合格品,以 (1)中确定的作为P的值,已知每件产品的检验费用为2元,若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用。 (i)若不对该箱余下的产品作检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X,求EX; (ii)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否该对这箱余下的所有产品作检验? 21、(12分) 已知函数 . (1)讨论f(x)的单调性; (2)若f(x)存在两个极值点x1,x2,证明: . (二)选考题: 共10分。 请考生在第22、23题中任选一题作答。 如果多做,则按所做的第一题计分。 22.[选修4-4: 坐标系与参数方程](10分) 在直角坐标系xOy中,曲线C₁的方程为y=k∣x∣+2.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建 立极坐标系,曲线C₂的极坐标方程为𝜌²+2𝜌cos𝜃 (1)求C₂的直角坐标方程: -3=0. (2)若C₁与C₂有且仅有三个公共点,求C₁的方程. 23.[选修4-5: 不等式选讲](10分)已知f(x)=∣x+1∣-∣ax-1∣. (1)当a=1时,求不等式f(x)﹥1的解集; (2)若x∈(0,1)时不等式f(x)﹥x成立,求a的取值范围. 绝密★启用前 2018年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题参考答案 一、选择题 1.C2.B3.A4.B5.D6.A 7.B8.D9.C10.A11.B12.A 二、填空题 13.614.-6315.1616.-33 三、解答题 17.解: (1)在△ABD中,由正弦定理得BD= sin∠A AB sin∠ADB. 由题设知,5 sin45︒ =2,所以sin∠ADB=. sin∠ADB5 由题设知,∠ADB<90︒所以cos∠ADB==. 5 (2) 由题设及 (1)知,cos∠BDC=sin∠ADB=. 5 在△BCD中,由余弦定理得 BC2=BD2+DC2-2⋅BD⋅DC⋅cos∠BDC =25+8-2⨯5⨯22⨯2 5 =25. 所以BC=5. 18.解: (1)由已知可得,BF⊥PF,BF⊥EF,所以BF⊥平面PEF. 又BF⊂平面ABFD,所以平面PEF⊥平面ABFD. (2)作PH⊥EF,垂足为H.由 (1)得,PH⊥平面ABFD. 以H为坐标原点,HF的方向为y轴正方向,|BF|为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系H-xyz. 由 (1)可得,DE⊥PE.又DP=2,DE=1,所以PE=.又PF=1,EF=2,故PE⊥PF. 可得PH=3,EH=3. 22 则H(0,0,0),P(0,0, 3),D(-1,-3,0),uuur= 33),uuur=(0,0, 3)为平面ABFD的法向量. DP (1,, HP 22222 设DP与平面ABFD所成角为,则sin=| uuuruuur HP⋅DP uuuruuur|= |HP||DP| 3 4=. 4 所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为3. 4 19.解: (1)由已知得F(1,0),l的方程为x=1. 由已知可得,点A的坐标为(1,2)或(1,- 2 2). 2 所以AM的方程为y=-2x+ 2 或y= x-. 2 (2)当l与x轴重合时,∠OMA=∠OMB=0︒. 当l与x轴垂直时,OM为AB的垂直平分线,所以∠OMA=∠OMB. 当l与x轴不重合也不垂直时,设l的方程为y=k(x-1)(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),则x1<, x2<,直线MA,MB的斜率之和为kMA +kMB =y1+y2x-2-2 12 由y1=kx1-k,y2=kx2-k得 =. k+k2kx1x2-3k(x1+x2)+4k MAMB(x-2)(x-2) 12 将y=k(x-1)代入 x2+2= 2 (2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0. 4k2 所以,x1+x2=2k2+1, 2k2-2 x1x2=2k2+1. 则2kxx-3k(x+x)+4k=4k3-4k-12k3+8k3+4k=0 1212 2k2+1. 从而kMA+kMB=0,故MA,MB的倾斜角互补.所以∠OMA=∠OMB. 综上,∠OMA=∠OMB. 20.解: 20 (1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)=C2p2(1-p)18.因此 2020 f'(p)=C2[2p(1-p)18-18p2(1-p)17]=2C2p(1-p)17(1-10p). 令f'(p)=0,得p=0.1.当p∈(0,0.1)时,f'(p)>0;当p∈(0.1,1)时,f'(p)<0.所以f(p)的最大值点为 p0=0.1. (2)由 (1)知,p=0.1. (ⅰ)令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数,依题意知YB(180,0.1),X=20⨯2+25Y,即 X=40+25Y. 所以EX=E(40+25Y)=40+25EY=490. (ⅱ)如果对余下的产品作检验,则这一箱产品所需要的检验费为400元.由于EX>400,故应该对余下的产品作检验. 21.解: '1ax2-ax+1 (1)f(x)的定义域为(0,+∞),f(x)=-x2-1+x=-x2. (ⅰ)若a≤2,则f'(x)≤0,当且仅当a=2,x=1时f'(x)=0,所以f(x)在(0,+∞)单调递减. (ⅱ)若a>2,令f'(x)=0得,x=或x=. 22 当x∈ a-a2-4a+ a2-4+∞'< (0,)U(,22 )时,f (x)0; 当x∈(a-a2-4, ' 时,f(x) > 0. 所以f(x)在(0,a-a2-4),(a+a2-4,+∞)单调递减,在 (a-a2-4 2222 )单调递增. 22 (2)由 (1)知,f(x)存在两个极值点当且仅当a>2. 由于f(x)的两个极值点x,x满足x2-ax+1=0,所以xx=1,不妨设x 1212122 f(x1)-f(x2)=-1-1+alnx1-lnx2=-2+alnx1-lnx2=-2+a-2lnx2, x-xxx x-x x-x 1-x 121212 12 2 x2 所以f(x1)-f(x2) <0. x-x x22 122 设函数g(x)=1-x+2lnx,由 (1)知,g(x)在(0,+∞)单调递减,又g (1)=0,从而当x∈(1,+∞)时, x g(x)<0. 所以1-x+2lnx<0,即f(x1)-f(x2) 2x1-x2 22.解: (1)由x=cos,y=sin得C2的直角坐标方程为 (x+1)2+y2=4. (2)由 (1)知C2是圆心为A(-1,0),半径为2的圆. 由题设知,C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线.记y轴右边的射线为l1,y轴左边的射线为l2.由于 B在圆C2的外面,故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点,或 l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点. 当l与C只有一个公共点时,A到l所在直线的距离为2,所以|-k+2|=2,故k=-4或k=0.经检验,当 1213 k=0时,l与C没有公共点;当k=-4时,l与C只有一个公共点,l与C有两个公共点. 1231222 当l2 与C2 只有一个公共点时,A到l2 所在直线的距离为2,所以|k+2|=2,故k=0或k=4.经检验,当 3 k=0时,l与C没有公共点;当k=4时,l与C没有公共点. 12322 综上,所求C的方程为y=-4|x|+2. 13 23.解: ⎧-2, x≤-1, (1)当a=1时,f(x)=|x+1|-|x-1|,即f(x)=⎪2x, ⎪2, -1 x≥1. 故不等式f(x)>1的解集为{x|x>1}. 2 (2)当x∈(0,1)时|x+1|-|ax-1|>x成立等价于当x∈(0,1)时|ax-1|<1成立.若a≤0,则当x∈(0,1)时|ax-1|≥1; 若a>0,|ax-1|<1的解集为0 aa 综上,a的取值范围为(0,2]. Attheend,XiaoBiangivesyouapassage.Minandoncesaid,"peoplewholearntolearnareveryhappypeople.".Ineverywonderfullife,learningisaneternaltheme.Asaprofessionalclericalandteachingposition,Iunderstandtheimportanceofcontinuouslearning,"lifeisdiligent,nothingcanbegained",onlycontinuouslearningcanachievebetterself.Onlybyconstantlylearningandmasteringthelatestrelevantknowledge,canemployeesfromallwalksoflifekeepupwiththepaceofenterprisedevelopmentandinnovatetomeettheneedsofthemarket.Thisdocumentisalsoeditedbymystudioprofessionals,theremaybeerrorsinthedocument,ifthereareerrors,pleasecorrect,thankyou!
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