届河北省石家庄市高三教学质量检测二数学文试题解析版.docx

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届河北省石家庄市高三教学质量检测二数学文试题解析版

2018届河北省石家庄市高三教学质量检测

（二）数学（文）试题

一、单选题

1．设集合，，则（）

A.B.

C.D.

【答案】A

【解析】

则

故选

2．2．已知复数满足，若的虚部为1，则在复平面内对应的点在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【解析】,虚部为,即,故对应点在第一象限.

3．在等比数列中，2，，则（）

A.28B.32C.64D.14

【答案】B

【解析】,故选.

4．设且，则“”是“”的（）

A.必要不充分条件

B.充要条件

C.既不充分也不必要条件

D.充分不必要条件

【答案】C

【解析】或;而时,有可能为.所以两者没有包含关系,故选.

5．我国魏晋期间的伟大的数学家刘徽，是最早提出用逻辑推理的方式来论证数学命题的人，他创立了“割圆术”，得到了著名的“徽率”，即圆周率精确到小数点后两位的近似值，如图就是利用“割圆术”的思想设计的一个程序框图，则输出的值为（）（参考数据：

，，）

A.24B.36C.48D.12

【答案】C

【解析】,判断否,,判断否,,判断否,,判断是,输出,故选.

6．若两个非零向量，满足，则向量与的夹角为（）

A.B.C.D.

【答案】D

【解析】根据向量运算的几何性质可知,以为邻边的平行四边形对角线相等,所以该四边形为矩形,两个向量相互垂直,且且对角线与的夹角为,与的夹角为,故选.

7．已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则（）

A.B.18C.D.2

【答案】C

【解析】奇函数满足，

是周期为的函数

当时，，

故选

8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（）

A.B.C.8D.

【答案】A

【解析】由三视图可知,该几何体为下图所示的四棱锥,故体积为.

9．某学校A、B两个班的数学兴趣小组在一次数学对抗赛中的成绩绘制茎叶图如下，通过茎叶图比较两个班数学兴趣小组成绩的平均值及方差

①A班数学兴趣小组的平均成绩高于B班的平均成绩

②B班数学兴趣小组的平均成绩高于A班的平均成绩

③A班数学兴趣小组成绩的标准差大于B班成绩的标准差

④B班数学兴趣小组成绩的标准差大于A班成绩的标准差

其中正确结论的编号为（）

A.①④B.②③C.②④D.①③

【答案】A

【解析】班平均值,标准差.班平均值,标准差,故班平均值高,标准差小,故选.

10．已知函数的部分图象如图所示，已知点，，若将它的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的图象的一条对称轴方程为（）

A.B.C.D.

【答案】D

【解析】,,,所以,右移的到,将选项代入验证可知选项正确.

11．已知，是双曲线的两个焦点，点是双曲线的右顶点，是双曲线的渐近线上一点，满足，如果以点为焦点的抛物线经过点，则此双曲线的离心率为（）

A.B.2C.D.

【答案】C

【解析】由题意得：

，

即

是双曲线的渐近线上一点，

，代入得

在抛物线上

则，

得

故选

12．已知函数图象上三个不同点的横坐标成公差为1的等差数列，则面积的最大值为（）

A.B.C.D.

【答案】D

【解析】不妨设

横坐标公差为

设的斜率为

将代入得：

由

化简，令

原式

当时，取得最值代入

故

面积最大值为

故选

点睛：

本题主要考查的知识点是在曲线上三角形面积问题。

在解答过程中，运用了割补法，将三角形沿垂直于轴分割，表示出三角形的面积，然后在计算中还运用了换元法，本题的计算量比较大，属于难题。

二、填空题

13．口袋中有形状和大小完全相同的五个球，编号分别为1，2，3，4，5，若从中一次随机摸出两个球，则摸出的两个球的编号之和大于6的概率为_____________.

【答案】

【解析】画树状图为：

共有种等可能的结果数，其中两次摸出的小球的编号之和大于的结果数为

两次摸出的小球的编号之和大于的概率为

14．设变量满足约束条件，则的最大值为__________．

【答案】3

【解析】画出可行域如下图所示,由图可知,目标函数在点处取得最大值为.

15．已知数列的前项和，如果存在正整数，使得成立，则实数的取值范围是_____________.

【答案】

【解析】当时,,当时,,所以,当时,当为大于的偶数时,为递减数列;当为大于的奇数时为负数,且为递增数列,即的长度不断减小,要使得成立,则需,故填.

【点睛】本小题主要考查数列已知求的方法,考查数列的单调性和一元二次不等式的解法.由于题目给定的表达式,故可利用公式求得数列的通项公式为

.这个数列奇数项为负数,偶数项为正数,并且分别趋向于零,所以最外面的两个数即是的取值范围.

16．正四面体的棱长为6，其中平面，分别是线段的中点，以为轴旋转正四面体，且正四面体始终在平面的同侧，则线段在平面上的射影长的取值范围是_____________.

【答案】

【解析】分别是线段的中点

取的中点，连接，

，

在正四面体中，，

平面

，的垂直性保持不变，当正四面体以为轴旋转

当平面时，此时与平面的夹角为，

设在平面上射影长为

则由勾股定理可得，

此时射影长最小为

当平面时，的射影长取最大

故线段在平面上的射影长的取值范围是

点睛：

本题主要考查的知识点是空间直线与平面之间的位置关系，需要空间想象力。

在操作过程中要找出最大与最小的两种特殊的形态。

然后再根据勾股定理计算得出结果，本题属于难题。

三、解答题

17．已知的内角的对边长分别为，且.

（1）求角的大小；

（2）设为边上一点，且，，求.

【答案】

（1）;

（2）.

【解析】试题分析：

利用正弦定理和同角三角函数关系化简得，即可计算出角的大小用余弦定理算出，三角形为等边三角形求出的值

解析：

（1）在△ABC中

（2）由BD=5，DC=3，,得

18．随着网络的发展，网上购物越来越受到人们的喜爱，各大购物网站为增加收入，促销策略越来越多样化，促销费用也不断增加，下表是某购物网站2017年1-8月促销费用（万元）和产品销量（万件）的具体数据：

月份

1

2

3

4

5

6

7

8

促销费用

2

3

6

10

13

21

15

18

产品销量

1

1

2

3

5

4

（1）根据数据绘制的散点图能够看出可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明；（系数精确到）；

（2）建立关于的回归方程（系数精确到）；如果该公司计划在9月份实现产品销量超6万件，预测至少需要投入促销费用多少万元（结果精确到）.

参考数据：

，，，，，其中，分别为第个月的促销费用和产品销量，.

参考公式：

（1）样本的相关系数.

（2）对于一组数据，，…，，其回归方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.

【答案】

（1）见解析；

（2）万元.

【解析】试题分析：

由题可知，代入求出关系数，并加以说明

（2）将数据代入解得，，求出方程，算出结果

解析：

（1）由题可知，

将数据代入得

因为与的相关系数近似为0.995，说明与的线性相关性很强，从而可以用回归模型拟合与的的关系.（需要突出“很强”，“一般”或“较弱”不给分）

（2）将数据代入得

所以关于的回归方程

由题解得，即至少需要投入促销费用万元.

19．如图，三棱柱中，侧面是边长为2且的菱形，.

（1）证明：

平面平面.

（2）若，，求点到平面的距离..

【答案】

（1）见解析；

（2）.

【解析】试题分析：

连接交于，连接，由条件求出，再运用判定定理证明

（2）运用等体积法，算出各长度计算求得点到平面的距离

解析：

（1）连接交于，连接

侧面为菱形，

，为的中点，

又，平面，

平面平面平面

（2）由，，，平面，平面

，又，，平面

菱形的边长为2且，

又，，

设点B到平面的距离为

由得

点B到平面的距离为.

20．已知圆的圆心在抛物线上，圆过原点且与抛物线的准线相切.

（1）求该抛物线的方程.

（2）过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，分别在点处作抛物线的两条切线交于点，求三角形面积的最小值及此时直线的方程.

【答案】

（1）

（2）三角形面积最小值为4，此时直线的方程为

【解析】【试题分析】

（1）写出圆心/半径,焦点坐标和准线方程,根据原点在圆上及圆心到抛物线的距离建立方程,解方程组求得的值,由此得到抛物线方程.

（2）设出直线的方程,联立直线的方程和抛物线线的方程,写出韦达定理,利用导数求出切线的方程,求出交点的坐标,利用弦长公式和点到直线距离公式写出三角形面积的表达式,并由此求得最小值.

【试题解析】

（1）由已知可得圆心，半径，焦点，准线

因为圆C与抛物线F的准线相切，所以，

且圆C过焦点F，

又因为圆C过原点，所以圆心C必在线段OF的垂直平分线上，

即

所以，即，抛物线F的方程为

（2）易得焦点，直线L的斜率必存在，设为k，即直线方程为

设

得，，

对求导得，即

直线AP的方程为，即，

同理直线BP方程为

设，

联立AP与BP直线方程解得，即

所以，点P到直线AB的距离

所以三角形PAB面积，当仅当时取等号

综上：

三角形PAB面积最小值为4，此时直线L的方程为.

【点睛】本小题主要考查抛物线方程的求法,考查直线和抛物线的位置关系.直线与圆锥曲线位置关系的判断、有关圆锥曲线弦的问题等能很好地渗透对函数方程思想和数形结合思想的考查，一直是高考考查的重点，特别是焦点弦和中点弦等问题，涉及中点公式、根与系数的关系以及设而不求、整体代入的技巧和方法，也是考查数学思想方法的热点题型.涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．

21．已知函数.其中

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）若对于任意，都有恒成立，求的取值范围.

【答案】

（1）见解析；

（2）.

【解析】试题分析：

求出，令其为，则，由此利用导数性质能求出函数的单调区间；

令，求导，分类讨论，，和三种情况，求出的取值范围

解析：

（1），令其为，则所以可得即单调递增，

而，则在区间上，，函数单调递减；在区间上，函数单调递增.

（2），另，可知，

，令，

当时，结合对应二次函数的图像可知，，即，所以函数单调递减，，时，，时，，

可知此时满足条件.

当时，结合对应二次函数的图像可知，可知，单调递增，，时，，时，，，可知此时不成立.

当时，研究函数，可知，对称轴，

那么在区间大于0，即在区间大于0，在区间单调递增，，可知此时，所以不满足条件.

综上所述：

.

点睛：

本题主要考查的知识点是运用导数求函数的单调区间和不等式的恒成立问题，在求解恒成立问题时注意本题的方法，将复杂函数分割为两个函数的乘积形式，然后对含有参量的函数进行分类讨论，从而求出结果。

22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（其中为参数），曲线.以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求曲线、的极坐标方程；

（2）射线与曲线、分别交于点（且均异于原点）当时，求的最小值.

【答案】

（1）的极坐标方程为，的极坐标方程为；

（2）.

【解析】【试题分析】

（1）利用消去参数得到圆的直角坐