最新北师大版八年级数学上册《勾股定理》单元测试题及解析.docx

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最新北师大版八年级数学上册《勾股定理》单元测试题及解析

《第1章勾股定理》

一、填空题

1．已知直角三角形的两边的长分别是3和4，则第三边长为　　．

2．如图所示，某风景名胜区为了方便游人参观，计划从主峰A处架设一条缆车线路到另一山峰C处，若在A处测得∠EAC=30°，两山峰的底部BD相距900米，则缆车线路AC的长为　　米．

3．已知，如图所示，Rt△ABC的周长为4+2

，斜边AB的长为2

，则Rt△ABC的面积为　　．

4．如图，一架10米长的梯子斜靠在墙上，刚好梯顶抵达8米高的路灯．当电工师傅沿梯上去修路灯时，梯子下滑到了B′处，下滑后，两次梯脚间的距离为2米，则梯顶离路灯　　米．

5．在△ABC中，∠C=90°，AB=5，则AB2+AC2+BC2=　　．

6．已知三角形三边长2n+1，2n2+2n，2n2+2n+1，n为正整数，则此三角形是　　三角形．

7．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm．A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为　　dm．

8．如图是2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，它是由4个相同的直角三角形拼和而成．若图中大小正方形的面积分别为52cm2和4cm2，则直角三角形的两条直角边的和是　　cm．

9．直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为　　．

10．一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为　　．

11．如图，一根树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离底部12米处．树折断之前有　　米．

12．如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中标出尺寸（单位：

mm）计算两圆孔中心A和B的距离为　　．

13．如图梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根C的距离为2米，梯子的顶端B到地面的距离为7米，现将梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′到墙根C的距离等于3米，同时梯子的顶端B下降至B′，那么BB′①等于1米②大于1米③小于1米．其中正确结论序号是　　．

14．小刚准备测量河水的深度，他把一根竹竿插到离岸边1.5m远的水底，竹竿高出水面0.5m，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，河水的深度为　　m．

二、选择题

15．已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长是（　　）

A．5B．25C．

D．5或

16．已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是（　　）

A．24cm2B．36cm2C．48cm2D．60cm2

17．直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（　　）

A．121B．120C．90D．不能确定

18．放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是40米/分，小红用15分钟到家，小颖20分钟到家，小红和小颖家的直线距离为（　　）

A．600米B．800米C．1000米D．不能确定

三、解答题

19．如图，在一棵树的10米高B处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树20米的池塘C，而另一只爬到树顶D后直扑池塘C，结果两只猴子经过的距离相等，问这棵树有多高？

20．小东拿着一根长竹竿进一个宽为3米的城门，他先横着拿不进去，又竖起来拿，结果竿比城门高1米，当他把竿斜着时，两端刚好顶着城门的对角，问竿长多少米？

21．如图，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EC的长．

22．如图所示，某人到岛上去探宝，从A处登陆后先往东走4km，又往北走1.5km，遇到障碍后又往西走2km，再转向北走到4.5km处往东一拐，仅走0.5km就找到宝藏．问登陆点A与宝藏埋藏点B之间的距离是多少？

23．如图，将一根25cm长的细木棒放入长、宽、高分别为8cm、6cm和10

cm的长方体无盖盒子中，求细木棒露在盒外面的最短长度是多少？

24．某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，如图所示，∠ACB=90°，AC=80米，BC=60米，若线段CD是一条小渠，且D点在边AB上，已知水渠的造价为10元/米，问D点在距A点多远处时，水渠的造价最低？

最低造价是多少？

25．如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家，他要完成这件事情所走的最短路程是多少？

26．印度数学家什迦逻（1141年﹣1225年）曾提出过“荷花问题”：

平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲．

出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边，

离开原处二尺远，花贴湖面像睡莲．

能算诸君请解题，湖水如何知深浅？

27．如图，甲乙两船从港口A同时出发，甲船以16海里/时速度向北偏东40°航行，乙船向南偏东50°航行，3小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛．若C、B两岛相距60海里，问乙船的航速是多少？

28．如图，A市气象站测得台风中心在A市正东方向300千米的B处，以10

千米/时的速度向北偏西60°的BF方向移动，距台风中心200千米范围内是受台风影响的区域．

（1）A市是否会受到台风的影响？

写出你的结论并给予说明；

（2）如果A市受这次台风影响，那么受台风影响的时间有多长？

《第1章勾股定理》

参考答案与试题解析

一、填空题

1．已知直角三角形的两边的长分别是3和4，则第三边长为　5或

　．

【考点】勾股定理．

【专题】分类讨论．

【分析】已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论：

①3是直角边，4是斜边；②3、4均为直角边；可根据勾股定理求出上述两种情况下，第三边的长．

【解答】解：

①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时：

第三边的长为：

=

；

②长为3、4的边都是直角边时：

第三边的长为：

=5；

综上，第三边的长为：

5或

．

故答案为：

5或

．

【点评】此题主要考查的是勾股定理的应用，要注意的是由于已知的两边是直角边还是斜边并不明确，所以一定要分类讨论，以免漏解．

2．如图所示，某风景名胜区为了方便游人参观，计划从主峰A处架设一条缆车线路到另一山峰C处，若在A处测得∠EAC=30°，两山峰的底部BD相距900米，则缆车线路AC的长为　600

　米．

【考点】勾股定理的应用．

【专题】几何图形问题；转化思想．

【分析】过点C作CO⊥AB，垂足为O，由图可看出，三角形OAC为一直角三角形，已知一直角边和一角，则可求斜边．

【解答】解：

过点C作CO⊥AB，垂足为O，

∵BD=900，

∴OC=900，

∵∠EAC=30°，

∴∠ACO=30°．

在Rt△AOC中，

∵AC=2OA，

设OA=x，则AC=2x，

（2x）2﹣x2=OC2=9002，

∴x2=270000，

∴x=300

∴AC=600

米．

故答案为600

．

【点评】本题考查了直角三角形的性质和勾股定理．

3．已知，如图所示，Rt△ABC的周长为4+2

，斜边AB的长为2

，则Rt△ABC的面积为　1　．

【考点】勾股定理．

【专题】几何图形问题．

【分析】根据已知列方程组，再根据完全平方公式即可求得两直角边的积，从而不难求得三角形的面积．

【解答】解：

设AC=a，BC=b，

∴

，

∴

，

∴（a+b）2=a2+b2+2ab=12+2ab=16，

∴ab=2，

∴Rt△ABC的面积为

ab=

×2=1．

故答案为：

1．

【点评】此题考查了勾股定理及完全平方公式的综合运用．

4．如图，一架10米长的梯子斜靠在墙上，刚好梯顶抵达8米高的路灯．当电工师傅沿梯上去修路灯时，梯子下滑到了B′处，下滑后，两次梯脚间的距离为2米，则梯顶离路灯　2　米．

【考点】勾股定理的应用．

【专题】几何图形问题；转化思想．

【分析】根据题意，将梯子下滑的问题转化为直角三角形的问题解答．

【解答】解：

在直角三角形AOB中，根据勾股定理，得：

OB=6m，

根据题意，得：

OB′=6+2=8m．

又∵梯子的长度不变，

在Rt△A′OB′中，根据勾股定理，得：

OA′=6m．

则AA′=8﹣6=2m．

【点评】熟练运用勾股定理，注意梯子的长度不变．

5．在△ABC中，∠C=90°，AB=5，则AB2+AC2+BC2=　50　．

【考点】勾股定理．

【分析】根据勾股定理可得AB2=AC2+BC2，然后代入数据计算即可得解．

【解答】解：

∵∠C=90°，

∴AB2=AC2+BC2，

∴AB2+AC2+BC2=2AB2=2×52=2×25=50．

故答案为：

50．

【点评】本题考查了勾股定理，是基础题，熟记定理是解题的关键．

6．已知三角形三边长2n+1，2n2+2n，2n2+2n+1，n为正整数，则此三角形是　直角　三角形．

【考点】勾股定理的逆定理．

【分析】根据勾股定理的逆定理：

如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形判定则可．如果没有这种关系，这个三角形就不是直角三角形．

【解答】解：

∵（2n+1）2+（2n2+2n）2=4n2+4n+1+4n4+8n3+4n2=4n4+8n3+4n2+4n+1，

（2n2+2n+1）2=4n4+8n3+4n2+4n+1，

∴（2n+1）2+（2n2+2n）2=（2n2+2n+1）2，

∴此三角形是直角三角形．

【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．

7．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm．A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为　25　dm．

【考点】平面展开-最短路径问题．

【专题】计算题；压轴题．

【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．

【解答】

解：

三级台阶平面展开图为长方形，长为20dm，宽为（2+3）×3dm，

则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．

可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm，

由勾股定理得：

x2=202+[（2+3）×3]2=252，

解得x=25．

故答案为25．

【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答．

8．如图是2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，它是由4个相同的直角三角形拼和而成．若图中大小正方形的面积分别为52cm2和4cm2，则直角三角形的两条直角边的和是　10　cm．

【考点】勾股定理；列代数式．

【专题】应用题．

【分析】根据已知列方程组，再根据完全平方公式即可求得直角三角形的两条直角边的和．

【解答】解：

设直角三角形的两条直角边是a，b

根据题意得：

两个方程相加，得（a+b）2=100，解得：

a+b=10cm．

【点评】此题要根据勾股定理以及正方形和直角三角形的面积公式得到两条直角边的平方和和两条直角边的积的2倍，最后熟练运用完全平方公式．

9．直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为　

　．

【考点】勾股定理．

【分析】本题可先用勾股定理求出斜边长，然后再根据直角三角形面积的两种公式求解即可．

【解答】解：

由勾股定理可得：

斜边长2=52+122，

则斜边长=13，

直角三角形面积S=

×5×12=

×13×斜边的高，

可得：

斜边的高=

．

故答案为：

．

【点评】本题考查勾股定理及直角三角形面积公式的综合运用，看清题中条件即可．

10．一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为　6，8，10　．

【考点】勾股定理．

【分析】根据连续偶数相差是2，设中间的偶数是x，则另外两个是x﹣2，x+2根据勾股定理即可解答．

【解答】解：

根据连续偶数相差是2，设中间的偶数是x，则另外两个是x﹣2，x+2根据勾股定理，得

（x﹣2）2+x2=（x+2）2，

x2﹣4x+4+x2=x2+4x+4，

x2﹣8x=0，

x（x﹣8）=0，

解得x=8或0（0不符合题意，应舍去），

所以它的三边是6，8，10．

【点评】注意连续偶数的特点，能够熟练解方程．

11．如图，一根树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离底部12米处．树折断之前有　24　米．

【考点】勾股定理的应用．

【分析】根据勾股定理，计算树的折断部分是15米，则折断前树的高度是15+9=24米．

【解答】解：

因为AB=9米，AC=12米，

根据勾股定理得BC=

=15米，

于是折断前树的高度是15+9=24米．

故答案为：

24．

【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟练运用勾股定理进行计算，是基础知识，比较简单．

12．如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中标出尺寸（单位：

mm）计算两圆孔中心A和B的距离为　100mm　．

【考点】勾股定理的应用．

【分析】如图，在Rt△ABC中，AC=120﹣60=60，BC=140﹣60=80，然后利用勾股定理即可求出两圆孔中心A和B的距离．

【解答】解：

如图，在Rt△ABC中，∵AC=120﹣60=60，BC=140﹣60=80，

∴AB=

=100（mm），

∴两圆孔中心A和B的距离为100mm．

故答案为：

100mm．

【点评】此题主要考查勾股定理在实际中的应用，首先正确从图中找到所需要的数量关系，然后利用公式即可解决问题．

13．如图梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根C的距离为2米，梯子的顶端B到地面的距离为7米，现将梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′到墙根C的距离等于3米，同时梯子的顶端B下降至B′，那么BB′①等于1米②大于1米③小于1米．其中正确结论序号是　③　．

【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．

【专题】压轴题．

【分析】利用勾股定理求得AB长，进而求得CB′求解．

【解答】解：

由勾股定理得：

梯子AB=

，CB′=

．

∴BB′=7﹣

＜1，故选③．

【点评】本题主要利用了勾股定理求解．

14．小刚准备测量河水的深度，他把一根竹竿插到离岸边1.5m远的水底，竹竿高出水面0.5m，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，河水的深度为　2　m．

【考点】勾股定理的应用．

【分析】河水的深、竹竿的长、离岸的距离三者构成直角三角形，作出图形，根据勾股定理即可求解．

【解答】解：

在直角△ABC中，AC=1.5cm．AB﹣BC=0.5m．

设河深BC=xm，则AB=0.5+x米．

根据勾股定理得出：

∵AC2+BC2=AB2

∴1.52+x2=（x+0.5）2

解得：

x=2米．

故答案为：

2．

【点评】本题主要考查了勾股定理在实际生活中的应用，根据勾股定理可以把求线段的长的问题转化为解方程得问题解决．

二、选择题

15．已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长是（　　）

A．5B．25C．

D．5或

【考点】勾股定理．

【专题】分类讨论．

【分析】分为两种情况：

①斜边是4有一条直角边是3，②3和4都是直角边，根据勾股定理求出即可．

【解答】解：

分为两种情况：

①斜边是4有一条直角边是3，由勾股定理得：

第三边长是

=

；

②3和4都是直角边，由勾股定理得：

第三边长是

=5；

即第三边长是5或

，

故选D．

【点评】本题考查了对勾股定理的应用，注意：

在直角三角形中的两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方．

16．已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是（　　）

A．24cm2B．36cm2C．48cm2D．60cm2

【考点】勾股定理；完全平方公式．

【分析】要求Rt△ABC的面积，只需求出两条直角边的乘积．根据勾股定理，得a2+b2=c2=100．根据勾股定理就可以求出ab的值，进而得到三角形的面积．

【解答】解：

∵a+b=14

∴（a+b）2=196

∴2ab=196﹣（a2+b2）=96

∴

ab=24．

故选A．

【点评】这里不要去分别求a，b的值，熟练运用完全平方公式的变形和勾股定理．

17．直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（　　）

A．121B．120C．90D．不能确定

【考点】勾股定理．

【分析】连续自然数，两数的差是1，较大的是斜边，根据勾股定理就可解得．

【解答】解：

设另一直角边为a，斜边为a+1．

根据勾股定理可得，（a+1）2﹣a2=92．

解之得a=40．则a+1=41，则直角三角形的周长为9+40+41=90．

故选C．

【点评】本题综合考查了勾股定理，解这类题的关键是利用直角三角形，用勾股定理来寻求未知系数的等量关系．

18．放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是40米/分，小红用15分钟到家，小颖20分钟到家，小红和小颖家的直线距离为（　　）

A．600米B．800米C．1000米D．不能确定

【考点】勾股定理的应用．

【分析】两人的方向分别是东南方向和西南方向，因而两人的家所在点与学校的连线正好互相垂直，根据勾股定理即可求解．

【解答】解：

根据题意得：

如图：

OA=40×20=800m．

OB=40×15=600m．

在直角△OAB中，AB=

=1000米．

故选C．

【点评】本题考查正确运用勾股定理的应用，解题时从实际问题中整理出直角三角形是本题的关键．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．

三、解答题

19．如图，在一棵树的10米高B处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树20米的池塘C，而另一只爬到树顶D后直扑池塘C，结果两只猴子经过的距离相等，问这棵树有多高？

【考点】勾股定理的应用．

【分析】首先根据题意，正确画出图形，还要根据题意确定已知线段的长，再根据勾股定理列方程进行计算．

【解答】解：

设BD=x米，则AD=（10+x）米，CD=（30﹣x）米，

根据题意，得：

（30﹣x）2﹣（x+10）2=202，

解得x=5．

即树的高度是10+5=15米．

【点评】能够根据题意用同一个未知数表示出直角三角形的三边是解决此题的关键．

20．小东拿着一根长竹竿进一个宽为3米的城门，他先横着拿不进去，又竖起来拿，结果竿比城门高1米，当他把竿斜着时，两端刚好顶着城门的对角，问竿长多少米？

【考点】勾股定理的应用；一元一次方程的应用．

【专题】几何图形问题．

【分析】根据题意可构造出直角三角形，根据勾股定理列出方程，便可得出答案．

【解答】解：

设秆长x米，则城门高（x﹣1）米，根据题意得x2=（x﹣1）2+32，

解得x=5

答：

秆长5米．

【点评】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，比较简单．找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．

21．如图，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EC的长．

【考点】翻折变换（折叠问题）．

【专题】计算题．

【分析】根据矩形的性质得DC=AB=8，AD=BC=10，∠B=∠D=∠C=90°，再根据折叠的性质得AF=AD=10，DE=EF，在Rt△ABF中，利用勾股定理计算出BF=6，则FC=4，设EC=x，则DE=EF=8﹣x，在Rt△EFC中，根据勾股定理得x2+42=（8﹣x）2，然后解方程即可．

【解答】解：

∵四边形ABCD为矩形，

∴DC=AB=8，AD=BC=10，∠B=∠D=∠C=90°，

∵折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处

∴AF=AD=10，DE=EF，

在Rt△ABF中，BF=

=

=6，

∴FC=BC﹣BF=4，

设EC=x，则DE=8﹣x，EF=8﹣x，

在Rt△EFC中，

∵EC2+FC2=EF2，

∴x2+42=（8﹣x）2，解得x=3，

∴EC的长为3cm．

【点评】本题考查了折叠的性质：

折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了勾股定理．

22．如图所示，某人到岛上去探宝，从A处登陆后先往东走4km，又往北走1.5km，遇到障碍后又往西走2km，再转向北走到4.5km处往东一拐，仅走0.5km就找到宝藏．问登陆点A与宝藏埋藏点B之间的距离是多少？

【考点】勾股定理的应用．

【分析】本题需要把实际问题转化为数学模型，过点B作过点A的直线的垂线，构造直角三角形，利用勾股定理完成．

【解答】解：

过点B作BC⊥AD于C，则AC=4﹣2+0.5=2.5km，BC=6km，

在Rt△ABC中，由勾股定理求得AB=

=

=6.5（km）．

所以登陆点A与宝藏埋藏点B之间的距离是6.5km．

【点评】本题的关键是把实际问题转化为数学模型，运用勾股定理进行求解．

23．如图，将一根25cm长的细木棒放入长、宽、高分别为8cm、6cm和10

cm的长方体无盖盒子中，求细木棒露在盒外面的最短长度是多少？

【考点】勾股定理的应用．

【专题】应用题．

【分析】长方体内体对角线是最长的，当木条在盒子里对角放置的时候露在外面的长度最小，这样就是求出盒子的对角线长度即可．

【解答】解：

由题意知：

盒子底面对角长为

=10cm，

盒子的对角线长：

=20cm，

细木棒长25cm，

故细木棒露在盒外面的最短长度是：

25﹣20=5cm．

【点评】本题重点考查学生的空间想象能力及勾股定理的应用．

24．某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，如图所示，∠ACB=90°，AC=80米，BC=60米，若线段CD是一条小渠，且D点在边AB上，已知水渠的造价为10元/米，问D点在距A点多远处时，水渠的造价最低？

最低造价是多少？

【考点】勾股定理的应用．

【专题】应用题．

【分析】当CD为斜边上的高时，CD最短，从而水渠造价最低，根据已知条件可将CD的长求出，在Rt△ACD中运用勾股定理可将AD边求出．

【解答】解：

当CD为斜边上的高时，CD最短，从而水渠造价最低，

∵∠ACB=90°，AC=80米，BC=60米，

∴AB=

=

=100米，

∵CD•AB=AC•BC，即CD•100=80×60，

∴CD=48米，

∴在Rt△ACD中AC=80，CD=48，

∴AD=

=

=64米，

所以，D点在距A点64米的地方，水渠的造价最低，其最低造价为480元．

【点评】本题的关键是确定D点的位置，在运算过程中多次用到勾股定理．

25．如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家，他要完成这件事情所走的最短路程是多少？

【考点】轴对称-最短路线问题．

【专题】应用题．

【分析】先作A关于MN的对称点，连接A′B，构建直角三角形，利用勾股定理即可得出答案．

【解答】解：

如图，作出A点关于